6.7. Подобие и моделирование физических явлений

Одно из главных значений теории размерностей состоит и том, что она открывает законы подобия физических явлений и позволяет осуществлять моделирование этих явлений, то есть позволяет заменять интересующее наблюдателя явление в натуре аналогичным явлением в уменьшенном или увеличенном масштабе в условиях эксперимента.

Чтобы пояснить сущность проблемы моделирования, рассмотрим два примера. Допустим, требуется вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, стороны которого очень велики, например, 1 км, 2 км, 3 км. Конечно, эта задача легко решается простым алгебраическим расчетом. Однако если бы понадобилось выполнить это измерение опытным путем, то можно было бы поступить так: на листе бумаги изобразить уменьшенный треугольник, подобный данному. Например, взять треугольник со сторонами 10 см, 20 см, 30 см. Коэффициент подобия такого треугольника натурному равен 10000. Вписав в изобра­женный треугольник окружность, легко измерить ее радиус. Затем найденное число умножается на коэффициент подобия, то есть на 10000, и находится искомое значение радиуса окружности, вписанной в натурный треугольник. Рассмотренный пример является простейшим случаем геометрического моделирования.

Другой пример больше связан с инженерной практикой. Допустим, необходимо выяснить, выдержит ли плотина, построенная на реке, напор паводковых вод. С этой целью изготовлена уменьшенная копия этой плотины, которая устанавливается на модели реки в лаборатории. Легко понять, что если плотину сделать из того же материала, что и в натурных условиях, или скорость течения реки взять такую же, как и в натуре, то правильный ответ на поставленный вопрос не будет найден. Дело в том, что при уменьшении линейных размеров явления, мало обеспечить геометрическое подобие. Нужно специальным образом изменить масштабы и многих других параметров этого яв­ления.

Два явления называются подобными, если по заданным параметрам одного из них, аналогичные параметры другого находятся простым пересчетом, таким же, как при переходе от одной системы единиц измерения к другой. Каждое из нескольких подобных явлений называется моделью любого другого явления из этой совокупности.

Критерии подобия и техника моделирования

Установим необходимые и достаточные условия подобия двух явлений. Пусть явление состоит в том, что некоторая физическая величина А определяется рядом физических параметров так, что

. (6.21)

Рассматриваемая модель этого явления состоит в зависимости аналогичной физической величины от тех же физических параметров, значения которых, однако, отличаются от значений параметров, определяющих величину A. Имеем

. (6.22)

Согласно π-теореме обе зависимости (6.21) и (6.22) могут быть переписаны в безразмерном виде

, (6.23)

где k — число размерно-независимых параметров среди величин .

Равенства (6.23) показывают, что если параметры подобраны таким образом, что выполняются условия

, (6.24)

то будет также выполняться и условие

, (6.25)

т.е. значение параметра A будет находиться по значению параметра простым пересчетом

, (6.26).

и, по определению, рассматриваемые явления будут подобны.

Таким образом, необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет условие равенства безразмерных комплексов, определяющих эти явления: условия (7.24). Поэтому безразмерные параметры называют еще критериями подобия.

В качестве примера двух подобных явлений рассмотрим пример моделирования установившегося движения несжимаемой жидкости в трубе на установке, размеры которой уменьшены по сравнению с натурой.

В соответствии с формулой (6.15) эта зависимость имеет вид:

Обозначим посредством значения гидродинамических параметров течения, относящиеся к установке. Без индекса „штрих" эти величины относятся к моделируемому явлению. Тогда

Ясно, что, выбрав параметры установки и режим движения жидкости так, чтобы выполнялись соотношения

, (6.27)

или

мы обеспечим равенство

или

.

Если задаться отношением , показывающим, во сколько раз уменьшены размеры установки по сравнению с натурным объектом, а также - отношением вязкостей жидкости, текущей в натурной трубе и жидкости, применяемой для моделирования , то скорость движения жидкости в экспериментальной установке и шероховатость стенок установки, которые необходимы для подобия, будут определены соотношениями:

.

Формулы (6.27) показывают, что в рассматриваемом случае подобие обеспечивается соблюдением двух условий: равенства чисел Рейнольдса и относительной шероховатости на натуре и на модели. Поэтому число Рейнольдса и относительная шероховатость служат важными критериями подобия различных течений жидкости в трубе.

159