5.4. Течение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера

Наиболее просто замкнутая система дифференциальных уравнений записывается в случае модели идеальной жидкости (см. гл. 3), используемой в задачах гидромеханики, в которых касательные напряжения (например, напряжения трения) намного меньше, чем нормальные (силы давления), и поэтому могут не учитываться. Для получения модели идеальной жидкости следует положить

Тогда получается система четырех уравнений

(5.9)

для пяти неизвестных функций и .

В общем случае для замыкания этой системы уравнений используется связь между плотностью жидкости и давлением. Если эта связь не содержит температуру

(5.10)

(такая жидкость называется баротропной), то получается замкнутая система пяти уравнений (5.9) - (5.10) для определения пяти функций. В частности, для однородной несжимаемой жидкости, движущейся в условиях изотермического режима, система уравнений особенно упрощается и принимает вид:

(5.10)

где

Существует большей раздел гидромеханики, посвященный решению различных задач в рамках модели идеальной жидкости. К числу таких задач относится большинство проблем газовой динамики, аэромеханики и др.

Если зависимость плотности от давления содержит температуру, то уравнений (5.9), (5.10) недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, поскольку появляется еще одна неизвестная функция — температура. В этом случае необходимо привлекать к рассмотрению уравнение, выражающее закон сохранения энергии (4.49).

5.5. Течение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса

В гидромеханике широко применяется модель вязкой жидкости, называемой «ньютоновской». Некоторые сведения об этой модели уже приводились в гл. 2. В общем виде реологические соотношения, определяющие эту модель, имеют вид:

(5.11)

Формулы (5.11) получены для несжимаемой вязкой жидкости. В случае сжимаемой жидкости (вязкого газа) они имеют несколько другой вид, в котором присутствует еще один коэффициент, называемый второй вязкостью и связанный со сжимаемостью среды. Подробное объяснение и вывод формул (5.11) можно найти во многих учебниках по гидромеханике, например, в фундаментальной монографии Л. Г. Лойцянского [«Механика жидкости и газа»].

В частном случае чисто сдвигового течения, происходящего параллельно плоскости в направлении оси , вектор скорости имеет только одну отличную от нуля компоненту , зависящую от координаты : , поэтому формулы (5.11) дают:

Отсюда видно, что отлична от нуля только одна компонента касательных напряжений , для которой получается выражение, совпадающее с соответствующей формулой гл. 3.

Подставляя выражения для напряжений (5.11) в уравнения движения (5.8), получаем уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:

(5.12)

Эти уравнения представляют систему дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Вместе с уравнением неразрывности (5.4), они образуют замкнутую систему уравнений для описания движения вязкой несжимаемой жидкости.