1. Означення функції кількох незалежних змінних.

Якщо кожній точці Р(х₁, х₂,..., х_n) множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність з деяким законом одне і тільки одне число z  E  R, то кажуть, що в області D  Rⁿ задано функцію n незалежних змінних z=f(x₁, x₂,…, x_n). При цьому D називають областю ф-ії, Е- областю значень ф-ії.

2.Границя та неперервність функції кількох змінних

Число В називається границею ф-ії z=f(x;y) при хx₀, yy₀, якщо для будь-якого >0 існує число >0 таке, що при виконанні нерівності 0<(x-x₀)²+(y-y₀)²< виконується нерівність |f(x;y)-B|< і позначається:

Зауваження: Для ф-ії багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку чи частки, які аналогічні відповідним теоремам для ф-ії однієї незалежної змінної. Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в точці P₀(x₀;y₀), якщо

Ф-ія являється неперервною в т. якщо виконуються умови:

1)ф. визначена у цій т.

2)ф. має скінчену границю при

3)границя ф. дорівнює значеню ф. в цій точці.

3. Частинні прирости та похідні функції кількох змінних

Різницею називають повним приростом ф-ії при переході від точки (х₀;у₀) до точки і позначають z. Різницю називають Частковим приростом по х, а різницю - частковим приростом по у.

Аналогічно визначаються прирости ф-ії більш ніж двох змінних.

Частиною похідною ф. двох змінних по одній з цих змінних наз. границя відношення, якщо вона існує, приросту ф. по цій змінній до приросту самої змінної,позначається:

;

4.Повний диференціал функції кількох змінних

Ф-ія називається диференційовною у точці (х₀;у₀), якщо її повний приріст z можливо подати у вигляді: , де А, В – числа, ,  – нескінченно малі при x0, y0.

Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто Ах+Ву називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x₀, y₀ і позначається dz:

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x₀,y₀), тоді існують границі:

5.Застосування повного диференціала до наближених обчислень

Головна частина повного приросту ф. наз. повним диф.ф. і познч. ; ,де частинні диферент.ф.

Якщо вважати, що і використати формулу , , при ,то одержимо формулу ддля наближеного обчислення:

6.Похідна у заданаму напрямку

Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P₀=(x₀;y₀); l­ деякий промінь з початком в точці P₀=(x₀;y₀); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, околу точки P₀=(x₀;y₀); l – довжина відрізка P₀Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р₀ і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі О_{х ,} а – за напрямом осі О_у.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P₀=(x₀;y₀) за напрямом .

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P₀=(x₀;y₀) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом причому де – значення частинний похідних в точці P₀=(x₀;y₀).