19. Линейная свертка
Свертка - это математический способ комбинирования двух сигналов для формирования третьего сигнала. Свертка связывает три сигнала: входной сигнал, выходной сигнал и импульсную характеристику системы.
Формулой свертки называют линейное уравнение вида:
где h[(n -т)Т] - импульсная характеристика, задержанная дискретизации.
Реакция системы у(пТ) вычисляется как дискретная свертка воздействия s(nT) и импульсной характеристики h(nT).
При стандартном обозначении операции свертки, формула записывается в комплексном виде
Рассмотрим две апериодические последовательности s(n) длины L , и последовательность h(n) длины M.
Апериодическая или линейная свертка этих последовательностей имеет длину L + М -1 и определяется как:
6. Циклическая свертка
Свертка - это математический способ комбинирования двух сигналов для формирования третьего сигнала. Свертка связывает три сигнала: входной сигнал, выходной сигнал и импульсную характеристику системы.
Циклическая свертка определяется для периодических последовательностей длины N выражением:
h(l) и s(l) – последовательности.
Матричная запись:
22. Вычисление сверток при помощи дискретных преобразований
Свертка - это математический способ комбинирования двух сигналов для формирования третьего сигнала. Свертка связывает три сигнала: входной сигнал, выходной сигнал и импульсную характеристику системы.
Свертка двух векторов:
Для получения свертки следует выполнить следующие действия:
1) найти преобразования Фурье (обобщенные спектры) сходных последовательностей;
2) вычислить поточечное произведение этих последовательностей;
3) вычислить обратное преобразование Фурье от произведения спектров.
Может показаться, что такой метод вычисления свертки довольно сложен, тем не менее, во многих случаях он позволяет сократить объем вычислений.
В тех случаях, когда одна последовательность намного длиннее другой, используют разбиение длинной последовательности на короткие секции. Затем вычисляются короткие свертки и из них формируется конечный результат.
Существует два метода секционирования - метод перекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.
10. Корреляция и ее вычисление прямым методом и с помощью дискретных преобразований
Корреляция – число, отражающее степень совпадения 2-х функций.
Для надёжного обнаружения перекрывающихся сигналов и сигналов смеси с шумом применяется метод корреляции.
Пусть датчик генерирует сигнал s(n), и мы хотим обнаружить в нем последовательность g(n) некоторой конечной длины. Для поиска этой последовательности вычисляются скалярные произведения сигналов s(t+n) и g(n) для различных t. Необходимо «приложить» искомый сигнал во всех возможных положениях к сигналу с датчика и найти их «степень похожести» (скалярное произведение) для каждого положения. Таким образом, на выходе мы получаем сигнал r(t), показывающий, насколько сигнал с датчика s(n) в позиции t похож на искомый сигнал g(n).
Если во входном сигнале присутствует только шум, то и значения корреляции будут шумом небольшой амплитуды. Но как только в шуме входного сигнала появится форма, похожая на искомый сигнал, так значение корреляции в этой точке станет высоким.
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной).
Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов. АКФ сигнала s(n)9 является количественной характеристикой формы сигнала, и определяется суммой от произведения двух копий сигнала s(n), сдвинутых относительно друг друга. АКФ
Прямой метод. Выполняется векторно-матричное произведение входного вектора на матрицу, строки которой представляют собой всевозможные сдвиги исходного сигнала.
Матричное представление
