6) Решив систему относительно и1 и u2, определим узловые напряжения цепи. Искомые токи находим по закону Ома.

Иллюстрация метода узловых напряжений

Полученный результат можно обобщить на произвольную резистивную схему с п узлами. Если принять п-й узел за базисный, то система уравнений по методу узловых напряжений будет иметь вид:

G₁₁u₁ - G₁₂u₂ - ... - G_1(n-1)u_(n-1) = i_у1 ; (3.15)

-G₂₁u₁ + G₂₂u₂ - ... - G_2(n-1)u_(n-1) = i_у2 ;

..........................................................

-G_(n-1)1u₁ - G_(n-1)2u₂ - ... + G_(n-1)(n-1)u_(n-1) = i_у(n-1) ,

где i_у1, i_у2, ..., i_у(n-1) - задающие узловые токи в узлах 1, 2, ..., (n - 1). Решение системы можно получить с помощью определителей:

u₁ = ₁/_G; u₂ = ₂/_G; ... ; u_(n-1) = _(n-1)/_G, (3.16)

где  _G - определитель системы:

(3.17)

Определители ₁, ₂, ..., _(n-1) находятся путем замены соответствующего столбца в системе задающими узловыми токами i_у1, i_у2, ..., i_у(n-1). Отсюда следует, что узловые напряжения определяются алгебраической суммой частных узловых напряжений, обусловленных действием каждого задающего узлового тока в отдельности, т. е. как и в методе контурных токов, эти уравнения отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей.

1.3.3 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника. Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным - в противном случае. На рисунках активный двухполюсник будем обозначать буквой А, а пассивный - П. Различают две модификации метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод базируется на теореме Тевенина, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с задающими напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Суть теорем Тевенина и Нортона

После замены активного двухполюсника эквивалентным источником на рисунке 3.3, в соответствии с этой схемой имеем:

i = u_xx/(R + R_э) , (3.18)

где R_э - можно найти либо экспериментальным, либо расчетным путем.

Пример. Найти ток в сопротивлении R₃ (рисунок 3.4, а) методом эквивалентного источника напряжения.

Рисунок 3.4 - Применение метода эквивалентного источника напряжения

Разомкнем ветвь с R₃ и определим u_хх (рис. 3.4, б) по ЗНК для 1-го контура:

1) u_хх + R₂i₂ - u_г2 = 0. Отсюда u_хх = u_г2 - R₂i₂, где i₂ = (u_г2 - u_г1)/(R₁ + R₂).

2) Эквивалентное сопротивление R_Э пассивного двухполюсника определяется из схемы на рисунке 3.4, в: R_Э = R₁R₂/(R₁ + R₂).

3) Подставив u_хх и R_Э в уравнение для i, найдем: i₃ = u_хх/(R₃ + R_Э).

Метод эквивалентного источника тока. В основе этого метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви (см. рисунок 3.3. в).

Искомый ток можно найти по формуле: i = i_кз[R_э/(R + R_э)].

Пример. Найти ток в резистивном элементе R₃ (рисунок 3.4, а) методом эквивалентного источника тока.

Замкнем ветвь с R₃ (рис.3.4, г) и найдем ток i_3кз, методом наложения:

i_3кз = i^'_3кз + i^''_3кз = u_г1/R₁ + u_г2/R₂ .

Эквивалентную проводимость определим согласно схеме на рис. 3.4, в:

G_э = 1/R₁ + 1/R₂ = (R₁ + R₂)/R₁R₂ = 1/R_э .

Подставив значения R_э и i_3кз в выражение для i, получим искомое значение тока i₃.

Очевидно, что методы эквивалентного источника как напряжения, так и тока дают один и тот же результат. Применение того или иного метода определяется удобством и простотой нахождения u_хх или i_кз.

Принцип дуальности и баланс мощности