Лекции по ТОЭ / ЛЕКЦИЯ8
.doc2.2.1 Простые колебательные контуры
Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или резонансными цепями.
Резонансные цепи являются составной частью многих устройств: избирательные цепи, частотно-зависимые элементы автогенераторов, фильтров, других аналоговых устройств. Для получения высоких технико-экономических показателей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента прямоугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи должны иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связанные цепи, активные резонансные системы и др.).
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостной элементы, соединенные последовательно (последовательный контур) или параллельно (параллельный контур). Различают два типа резонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре возникает резонанс напряжении, а в параллельном — резонанс токов. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.
2.2.2 Последовательный колебательный контур и резонанс напряжений
На рисунке 8.1 изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре.
Рисунок 8.1 - Последовательный колебательный контур
Приложим к контуру гармоническое напряжение с частотой . Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно уравнению:
= R + jX = R + j( L - 1/ C), (1)
а ток в контуре уравнением = //(R + jX).
Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением
= arctg = arctg X/R . (2)
При резонансе = 0, что возможно, если X = L - (1/ C) = 0. Отсюда получаем уравнение резонансной частоты 0:
= 0 = . (3)
На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е. = R, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения . Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте 0 будут равны друг другу:
XL0 = XC0 = 0L = 1/(0C) = = . (4)
Величина носит название волнового (характеристического) сопротивления контура. Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура: Q = /R.
Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметра Q найдем отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
UL0/U = UC0/U = (I0w0L)/U = I0/(0CU) = /R = Q . (5)
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение. Отсюда следует и термин “резонанс напряжений”. Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется.
2.2.3 Частотные характеристики и полоса пропускания последовательного колебательного контура
Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC-цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они являются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов ХL и ХC от частоты . На рисунке 8.2 изображены зависимости ХL(), ХC(), Z(), (), определяемые формулами:
ХL() = L; ХC() = 1/(C); Х() = L - 1/C; (6)
Z() = , (7)
() = arctg{[L - 1/(C)]/R}. (8)
Рисунок 8.2 - Зависимость сопротивлений и фазы от частоты в последовательном колебательном контуре
Зависимости ХL(), ХC(), X(), Z() носят название частотных характеристик параметров цепи, а зависимость () - фазо-частотной характеристики (ФЧХ).
Из представленных характеристик следует, что при < 0 цепь имеет емкостной характер (Х<0; <0) и ток опережает по фазе приложенное напряжение; при > 0 характер цепи индуктивный (X>0; >0) и ток отстает по фазе от приложенного напряжения; при = 0 наступает резонанс напряжений (X=0; =0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при этом минимальное значение Z = R.
Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти:
. (9)
Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти согласно закону Ома:
UL() = I()XL() = . (10)
UC() = I()XC() = . (11)
Зависимости I(), UL(), UC() называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансными характеристиками, (рисунок 8.3).
Рисунок 8.3 - АЧХ и полоса пропускания последовательного колебательного контура
Анализ зависимости I( ) показывает, что она достигает максимума при резонансе = 0: I0 = U/R. Зависимости UL() и UC() также носят экстремальный характер, причем при = : (XL = ) и UL( ) = U;
при = 0 имеем:
UL(0) = UL0 = UC0 = I0r = UQ. (12)
Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток снижается в раз относительно I0 (рисунок 8.3). Абсолютная полоса пропускания fA определяется как разность граничных частот f2 и f1:
fA = f2 - f1 = f0/Q; (13)
Уравнение (13) может быть положено в основу экспериментального определения добротности по АЧХ. Чем выше добротность Q, тем меньше полоса пропускания и наоборот. Причем, поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутренним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.
Параллельный колебательный контур и его свойства