Лекции по ТОЭ / ЛЕКЦИЯ9

2.3.1 Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R₁ и R₂ имеет вид, изображенный на рисунке 9.1а.

Рисунок 9.1 - Параллельный колебательный контур с потерями и векторные диаграммы

Комплексная входная проводимость такого контура:

Y = + = G₁ + G₂ - j(B₁ - B₂) = G - jB, (1)

где = G₁ - jB₁; = G₂ - jB₂ - комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно.

Проводимости G₁, G₂, B₁, B₂ можно найти из формул преобразования:

G₁ = R₁/Z²₁; G₂ = R₂/Z²₂; B₁ = L/Z²₁; B₂ = (1/C)/Z²₂, (2)

где Z₁ = ; Z₂ = .

Из условия резонанса токов имеем  = arctg(B/G) = 0. Отсюда следует:

B = B₁ - B₂ = {L/[R₁² + (L)²]} - {(1/C)/[R₂² + (1/C)²]} = 0. (3)

Решив (3) относительно  , получим уравнение резонансной частоты

 _p = . (4)

Резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R₁ <  и R₂ <  или R₁ >  и R₂ >  ).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу:

I_p1 = UB₁ = I_p2 = UB₂. (5)

При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения:

i₀ = U/R_0э , (6)

где активное сопротивление R_0э называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура.

Входной ток контура совпадает по фазе с приложенным напряжением. Величину R_0э можно найти из условия резонанса токов. Так как при резонансе токов В = 0, то полная эквивалентная проводимость контура:

G_0э = G₁ + G₂ = . (7)

Подставив значение _р, получим G_0э = (r₁ + R₂)/(² + R₁R₂), откуда:

R_0э = ( ² + R₁R₂)/(R₁ + R₂) . (8)

Наибольший теоретический и практический интерес представляют резонанс токов в контурах без потерь и с малыми потерями.

Контур без потерь. Для контура без потерь (R₁ = R₂ = 0) уравнение резонансной частоты принимает вид:

_р = ₀ = 1/, (9)

т. е. совпадает с выражением для последовательного контура.

Эквивалентное сопротивление контура без потерь R_0э =  и входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконечность.

Сумма энергий электрического и магнитного полей для параллельного контура без потерь, как и для последовательного контура, остается неизменной.

Контур с малыми потерями. (R₁ <<  ; R₂ <<  ). Резонансная частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой ₀. Для контура с малыми потерями можно принять, что ² >> R₁R₂, тогда:

R_0э   ²/(R₁ + R₂) =  ²/R = Q²R, (10)

где R = R₁ + R₂.

Ток в неразветвленной части цепи: I₀ = U/R_0э = U/(Q²R), а действующие значения токов в ветвях:

I₁ = I₂ = U/ = U/(QR). (11)

То есть, отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: I₁/I₀ = I₂/I₀ = Q, т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин “резонанс токов”). На рисунке 9.1в изображена векторная диаграмма токов для этого случая. В контуре с потерями сумма энергий электрического и магнитного полей не остается постоянной.

При R₁ = R₂ =  для _р получаем неопределенность, при этом входное сопротивление контура будет носить чисто активный характер на любой частоте (случай безразличного резонанса).

2.3.2 Частотные характеристики параллельного контура

Контур без потерь. Частотные зависимости параметров параллельного контура от частоты имеют вид:

B_L() = 1/(L); B_C() = C; B() = (1/L) - C; X() = 1/B() . (12)

На рисунке 9.2 изображены графики этих зависимостей. Из рисунка следует: при  < ₀ входное сопротивление контура Х носит индуктивный, а при  > ₀ ёмкостной характер, причём вследствие отсутствия потерь при переходе через частоту  = ₀ ФЧХ контура изменяется скачком от -/2 до /2, а входное реактивное сопротивление контура претерпевает разрыв (|Х| =  ).

Частотная зависимость входного тока определяется уравнением I() = U|B()|, т. е. является зеркальным отображением модуля реактивной проводимости В() (на рисунке 9.2 показано штриховой линией).

Рисунок 9.2 - Частотные зависимости параллельного контура без потерь

Контур с малыми потерями. Комплексное эквивалентное сопротивление контура можно определить уравнением:

. (13)

Выделяя активную R_Э и реактивную X_Э составляющие, получим уравнения частотных характеристик:

; ; ; . (14-17)

На рисунке 9.3 изображены нормированные относительно R_0э частотные характеристики R_э/R_0э, X_э/R_0э и Z_э/R_0э как функции обобщенной расстройки .

Рисунок 9.3 - Нормированные частотные характеристики параллельного контура

Фазочастотная характеристика цепи определится уравнением:

 = -arctg(X_э/R_э) = -arctgx . (18)

Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему виду частотные характеристики контура с потерями существенно отличаются от характеристик контура без потерь. Это отличие касается, прежде всего, зависимости реактивного сопротивления контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно оказывается равным нулю, а в контуре без потерь терпит разрыв (см. рисунок 9.2).

Частотная зависимость токов I₁(w) и I₂(w) в ветвях определяется согласно закону Ома:

; , (19, 20)

т. e. I₁ с увеличением w уменьшается, а I₂ растет, причем в пределе I₁(µ ) = 0; I₂(µ ) = U/R₂.

Колебательный контур подключается обычно к источнику с задающим напряжением и определённым внутренним сопротивлением R_Г. При этом напряжение на контуре определяется:

. (21)

При резонансе токов: . (22)

Определяя частотную зависимость и вводя понятие эквивалентной добротности контура

, (23)

могут быть получены АЧХ и ФЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению U_КР :

; . (24, 25)

На рисунке 9.4 показан характер этих зависимостей при различных сопротивлениях R_Г источника.

Рисунок 9.4 - Частотные характеристики параллельного контура

Полоса пропускания параллельного контура определяется как полоса частот, на границах которой напряжение на контуре уменьшается в раз относительно U_КР. Отсюда уравнения граничных частот полосы пропускания:

; (26)

(абсолютная полоса) (27)

Параллельный контур в общем случае имеет более широкую полосу, чем последовательный. И только при R_г =  (см. рисунок 9.4) их полосы пропускания будут равны. Так образом, для улучшения избирательных свойств параллелью контура его необходимо возбуждать источником тока. Параллельный контур нельзя использовать для усиления напряжения, так как всегда U_к.р < U_г.

Электрические фильтры. Общие положения