Лекции по ТОЭ / ЛЕКЦИЯ6

1.6.1 Гармонические колебания в пассивных R, L, C - цепях

Резистивные цепи. Пусть к резистивному элементу R приложено синусоидальное гармоническое напряжение. Согласно закону Ома через него будет протекать ток:

i = u/R = (U_m/R)sin(t + _u) = I_msin(t + _i) , (1)

где I_m = U_m/R - амплитуда; _i = _u - начальная фаза тока. Ток i и напряжение u в резистивном элементе совпадают по фазе друг с другом (рисунок 6.1а).

Рисунок 6.1 - Векторные диаграммы для R, L, C - цепей

Средняя за период Т мощность, выделяемая в R, будет:

. (2)

Индуктивные цепи. Под действием напряжения в индуктивном элементе будет протекать ток (c учётом, что :

, (3)

где I_m = U_m/( L) = U_m/X_L; X_L - индуктивное сопротивление; _i = _u - /2 - начальная фаза тока.

Как следует из полученных выражений, ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения на /2, т. е, фазовый сдвиг между током i и напряжением u (рисунок 6.1б):  = _u - _i = /2. Средняя за период мощность в индуктивном элементе равна нулю.

Ёмкостные цепи. Для емкостного элемента имеем (с учётом, что

:

i = C=C U_msin(t + _u + p/2) = I_msin(t + _i) , (4)

где I_m = U_m/(1/С) = B_CU_m; _i = _u + /2 - начальная фаза тока. Величину X_C = 1/(C) называют емкостным сопротивлением.

Из приведенных уравнений следует, что ток в емкости опережает приложенное напряжение на /2 (рисунок 6.1в). Средняя за период мощность в емкостной цепи также равна нулю.

1.6.2 Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R, L, С элементов

Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединенные элементы R, L, С (рисунок 6.2), протекает ток i = I_msin(t + _i). Согласно ЗНК напряжение на отдельных участках цепи определяется уравнением:

u = u_R + u_L +u_C = Ri +L. (5)

Рисунок 6.2 - RLC-цепь

На рисунке 6.2 изображена векторная диаграмма напряжений, описываемых этими уравнениями. Напряжение U_mR на активном сопротивлении R называется активной составляющей приложенного напряжения и обозначается U_ma = U_mR; разность напряжений U_mp = U_mL - U_mC называют реактивной составляющей. Согласно этому определению имеем: U_ma = I_mR; U_mp = I_m(X_L - X_C) = I_mX.

Величина Х = Х_L - X_C = L - 1/(С) называется реактивным сопротивлением, а величина Z = полным сопротивлением цепи.

Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряжениями U_ma, U_mp, U_m называют треугольником напряжений, рисунок 6.3.

Если U_mL > U_mC (X_L > X_C), то цепь носит индуктивный характер (приложенное напряжение опережает ток);

если U_mL < U_mC (X_L < X_C), то цепь носит емкостной характер (приложенное напряжение отстает от тока).

Треугольник со сторонами R, Х и Z, подобный треугольнику напряжений, называется треугольником сопротивлений.

Рисунок 6.3 - Векторные диаграммы элементов R, L, C

Из треугольников сопротивлений и напряжений следует:

; (6)

 = arctg(U_mp/U_ma) = arctg(X/R); (7)

R = Zcos ; X = Zsin . (8)

Пример. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R, L, С элементов

Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные элементы R, L, С (рисунок 6.4), напряжение u = U_msin(wt + j_u).

Рисунок 6.4 - Схема параллельной цепи

Согласно ЗТК ток в неразветвленной части цепи будет:

i = i_R + i_L + i_C = Gu +.

Или: .

Перепишем это уравнение в виде:

i = I_mRsin(wt + j_R ) + I_mLsin(wt + j_L) + I_mCsin(wt + j_C) ,

где I_mR = U_m/R = GU_m; I_mL = В_LU_m; I_mC = B_CU_C; j_R = j_u; j_L = j_u - p/2; j_C = j_u + p/2.

На рисунке 6.4 изображена векторная диаграмма токов, описываемых этим уравнением. Ток в активном сопротивлении I_mR называют активной составляющей тока I_ma; разность токов I_mp = I_mL - I_mC - реактивной составляющей тока.

По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений при параллельном соединении элементов можно ввести треугольник токов и проводимостей (рисунок 6.5).

Рисунок 6.5 - Треугольники токов и проводимостей

Как следует из этого рисунка, при I_mL > I_mC цепь носит индуктивный характер (общий ток отстает от приложенного напряжения) и при I_mL < I_mC - емкостной характер (ток опережает приложенное напряжение). Из треугольников токов и проводимостей следует:

;

j = arctg(I_mp/I_ma) = arctg(B/G) ;

G = Ycosj ; B = Ysinj .

Сравнение треугольников токов и проводимостей с треугольниками напряжений и сопротивлений показывает их дуальный характер. Дуальны также и все соотношения, описывающие цепи при последовательном и параллельном соединениях элементов, дуальны и сами цепи.

Символический метод расчёта при гармоническом воздействии