1.3.1 Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с n_в-ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из n_в уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют метод контурных токов и узловых напряжений. Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока i_к, направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Рассмотрим резистивную цепь, схема которой изображена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Иллюстрация метода контурных токов

Для контурных токов i_к1 и i_к2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде:

-u_г1 + (R₁ + R₃)i_к1 + R₃i_к2 = 0 ; (3.1)

-u_г2 + R₃i_к1 + (R₂ + R₃)i_к2 = 0. (3.2)

Перенесем u_г1 и u_г2 в правую часть системы и получим так называемую каноническую форму записи уравнений по методу контурных токов:

R₁₁i_к1 + R₁₂i_к2 = u_к1 , (3.3)

R₂₁i_к1 + R₂₂i_к2 = u_к2 , (3.4)

где R₁₁ = R₁ +R₃; R₂₂ = R₂ + R₃ называют собственными или контурными сопротивлениями 1-го и 2-го контуров; R₁₂ = R₂₁ = R₃ - взаимным сопротивлением 1-го и 2-го контуров; u_к1 = u_г1; u_к2 = u_г2 - контурными задающими напряжениями. Истинные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов: i₁ = i_к1, i₂ = i_к2, i₃ = = i_к1 + i_к2.

Решая систему уравнений, находят величины контурных токов:

i_к1 = ₁/_R ; i_к2 = ₂/_R ; i_кk = _k/_R . (3.5)

где _R - определитель системы:

. (3.6)

Определитель _k находится путем замены k-го столбца правой частью приведённой выше системы. Например, для ₁ имеем:

. (3.7)

Иллюстрация метода контурных токов

Полученный результат отражает рассмотренный ранее принцип наложения.

Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь l пассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток определенной величины, то этот же источник, будучи помещенный в ветвь k, вызывает в ветви l ток той же величины. Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений i_kk с учетом того, что _lk = _kl.

1.3.2 Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений широко применяется для расчета электрических цепей, в частности в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем. Метод узловых напряжений базируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, равной n_у-1. В основе этого метода лежит расчет напряжений в (n_у-1)-м узле цепи относительно базисного узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения на соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых напряжений на примере резистивной цепи, изображенной на рисунке 3.2 а.

1) Примем потенциал V₃ = 0 (базисный узел) и преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока (рис. 3.2 б), где i_г1 = u_г1G₁; i_г2 = u_г2G₂; i_г3 = u_г3G₃; G₁ = 1/R₁; G₂ = 1/R₂; G₃ = 1/R₃; G₄ = 1/R₄; G₅ = 1/R₅.

2) Составим уравнения для узлов 1 и 2 по ЗТК: -i₁ + i₂ - i₄ + i₅ = 0 ; i₄ + i₃ - i₂ = 0.

3) Каждый из этих токов можно выразить через узловые напряжения и токи i_г1, i_г2, i_г3:

i₁ = i_г1 - u₁G₁ ; i₂ = i_г2 - (u₂ - u₁)G₂ ; i₃ = i_г3 + u₂G₃ ; i₄ = (u₂ - u₁)G₄ ; i₅ = u₁G₅ . (3.8)

Рисунок 3.2 - Расчёт схем по методу узловых напряжений

4) Подставив эти значения в уравнения для узлов, получим после группировки членов при u₁, и₂ и переносе i_г1, i_г2, i_г3 в правую часть:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅)u₁ - (G₂ + G₄)u₂ = i_г1 - i_г2 ; (3.9)

-(G₂ + G₄)u₁ + (G₂ + G₃ + G₄)u₂ = i_г2 - i_г3 . (3.10)

5) Введем следующие обозначения:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅) = G₁₁; (G₂ + G₃ + G₄) = G₂₂; (G₂ + G₄) = G₁₂ = G₂₁; (3.11)

i_г1 - i_г2 = i_у1 ; i_г2 - i_г3 = i_у2. (3.12)

Тогда получим систему уравнений:

G₁₁u₁ - G₁₂u₂ = i_у1; (3.13)

-G₂₁u₁ + G₂₂u₂ = i_у2. (3.14)

Проводимости G₁₁ и G₂₂ представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G₁₂ = G₂₁ равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов i_у1 и i_у2 источников тока, подключенных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком “+”, если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и “-”, если от узла.