Лекции по ТОЭ / ЛЕКЦИЯ7

2.1.1 Символический метод расчёта при гармоническом воздействии

Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении элементов в режиме гармонических воздействий обычно осуществляется символическим методом. Это объясняется тем, что классический метод расчета приводит к громоздким интегрально-дифференциальным уравнениям и требует большого объема тригонометрических преобразований. Символический метод позволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами, что существенно упрощает расчет. При этом могут быть использованы все методы преобразований и анализа, изложенные ранее. Допустимость использования символического метода объясняется тем, что в линейных цепях в режиме гармонических воздействий в цепи устанавливаются гармонические колебания той же частоты. Таким образом, неизвестными параметрами токов и напряжений будут лишь амплитуды и фазы, определяемые однозначно их комплексными амплитудами (). Запишем основные законы электрических цепей в символической форме.

Для резистивного элемента R связь между комплексными амплитудами тока и напряжения можно определить согласно закону Ома путем замены мгновенных значений токов i и напряжений u их комплексными амплитудами:

. (1)

Для индуктивного элемента L связь между и (с учётом, что ) определится:

; , (2, 3)

гдe j = e^j/2 - (из формулы Эйлера) множитель, характеризующий фазовый сдвиг между вектором тока и напряжением. Уравнение отражает закон Ома для индуктивных элементов.

Для емкостного элемента С можно записать (с учётом, что ):

или . (4, 5)

Аналогично можно получить уравнения законов Кирхгофа в комплексной форме. Так, для ЗТК, заменив мгновенные значения токов i_k их комплексными амплитудами , получим:

, а для 3HK: . (6, 7)

Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме лежат в основе символического метода расчета линейных цепей при гармонических воздействиях. Причем, при переходе к комплексной записи операции дифференцирования d/dt заменяются умножением на j , операции интегрирования - делением на j. В результате вместо системы интегрально-дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений, решение которой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов и напряжений. Например:

; (8)

. (9)

Применим символический метод к анализу гармонических колебаний в цепи при последовательном соединении элементов R, L, С. Для последовательного соединения R, L, С согласно ЗНК имеем:

=, (10)

или . (11)

Величина в уравнении есть комплексное сопротивление цепи:

= R + jX . (12)

Комплексное сопротивление можно выразить в показательной или тригонометрической форме:

= Ze^j = Zcos + jZsin . (13)

Таким образом, рассмотренное ранее полное сопротивление цепи Z представляет собой модуль комплексного сопротивления:

Z = || =, (14)

а фазовый сдвиг  - аргумент (фазу) комплексного сопротивления:

 = arg = arctg (X/R) . (15)

При анализе различных электрических цепей часто возникает необходимость преобразования схемы последовательно соединенных элементов в эквивалентное параллельное соединение и наоборот (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 - Преобразование соединений элементов

В основе подобных преобразований лежит принцип эквивалентности. Согласно этому принципу ток i и напряжение u в исходной и преобразованной схемах должны остаться неизменными. Для первой схемы =, для второй . Из равенства токов и напряжений для обеих схем имеем:

. (16)

Из этого равенства (16) следуют формулы преобразования параллельного участка в эквивалентный последовательный:

R = G/Y² ; X = B/Y² . (17, 18)

Аналогично из равенства = l/ можно получить формулы преобразования последовательного участка в эквивалентный параллельный:

G = R/Z² ; B = X/Z² . (19, 20)

Эти преобразования можно положить в основу разложения тока в последовательном участке и напряжения в параллельном на активную и реактивную составляющие.

Символический метод особенно эффективен при анализе сложных разветвленных цепей. Причем поскольку все методы расчета подобных цепей (метод контурных токов, узловых напряжений, наложения и др.) базируются на законах Ома и Кирхгофа, то эти методы могут использоваться и при комплексной форме с заменой соответствующих величин (токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей) их комплексными значениями.

2.1.2 Мощность в цепях при гармонических воздействиях

Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под воздействием источника гармонического напряжения, в форме двухполюсника. Под воздействием напряжения u = U_msinwt в цепи будет протекать ток i = I_msin(t - ). Отдаваемая источником в цепь за период Т средняя мощность:

. (21)

Согласно закону Ома U = IZ, или (так как Z = R/cosj), U = RI/cos .

Тогда P = I²R = U²G.

Таким образом, средняя за период мощность Р равна мощности, рассеиваемой на активном сопротивлении (проводимости) цепи. В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в Ваттах (Вт).

Кроме активной мощности Р в цепях гармонического тока используют понятие реактивной мощности Q = UIsin = I²X = U²B, и комплексной мощности = = P + jQ = UIcosj + jsinj = UIe^jj = Ie^-jj =. Модуль комплексной мощности называется полной мощностью:

S = || =. (22)

Единица измерения реактивной и полной мощности - Вольт х Ампер (В·А). Активная мощность равна реальной части, а реактивная - мнимой части комплексной мощности . А также: cos = P/S.

Это отношение в энергетике называется коэффициентом мощности (косинусом ) и является важной характеристикой электрических машин и линий электропередач. Чем выше cos тем меньше потери энергии в линии и выше степень использования электрических машин и аппаратов. Максимальное значение cos = 1, при этом P = S; Q = 0, - т. е. цепь носит чисто активный характер и сдвиг фаз между током i и напряжением u равен нулю.

Условие передачи максимальной мощности от генератора в нагрузку можно найти из условия: ,

где - комплексное внутреннее сопротивление источника;

- комплексно-сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие следует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы, приведенной на рисунке 7.2.

Рисунок 7.2 - Передача мощности в нагрузку

Ток в данной цепи достигает максимума при Х_г = -Х_н и выполнении условия R_г = R_н, что и доказывает равенство . При этом мощность в нагрузке будет определяться уравнением: р_нmax = u_г²/(4R_г).

По аналогии с треугольниками токов, напряжений, сопротивлений и проводимостей можно ввести треугольники мощностей. Так треугольники мощностей для цепей, носящих индуктивный или ёмкостной характер, приведены на рисунке 7.2.

Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармоническом воздействии. В силу справедливости первого и второго законов Кирхгофа для комплексных действующих значений тока и напряжения в каждой из ветвей рассматриваемой цепи можно записать теорему Телледжена в комплексной форме:

. (23)

Однако поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряженным токам то можно записать:

. (24)

Это уравнение отражает баланс комплексной мощности, согласно которому сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи, равна нулю.

Баланс комплексной мощности можно сформулировать и в другой форме: сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи:

. (25)

Из условия баланса комплексной мощности следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

; . (26)

Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает из закона сохранения энергии.

Последовательный колебательный контур и его свойства