Лекции по ТОЭ / ЛЕКЦИЯ4

1.4.1 Принцип дуальности

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в предыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип теории электрических цепей - принцип дуальности (двойственности). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (дуальной). Таблица 4.1 иллюстрирует двойственный характер основных законов и соотношений в электрических цепях.

Таблица 4.1 - Двойственный характер соотношений в электрических цепях

Понятия
исходные	дуальные
Напряжение u Сопротивление R Индуктивность L Задающее напряжение uг	Ток i Проводимость G Ёмкость C Задающий ток iг
ЗТК: u = Ri; . Метод контурных токов. Метод эквивалентного генератора напряжений.	ЗНК: i = Gu; . Метод узловых напряжений. Метод эквивалентного генератора тока.
Последовательное: ; ; .	Параллельное: ; ; .

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то используя дуальные соотношения можно сразу записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

1.4.2 Баланс мощности

Одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей является теорема Телледжена. Рассматривая произвольную электрическую цепь, содержащую n_в ветвей и n_у узлов, для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Телледжена гласит: сумма произведений напряжений u_k и токов i_k всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю:

. (1)

Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных, цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей).

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение u_ki_k представляет собой мгновенную мощность р_k k-й ветви, поэтому сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Пример. Составить баланс мощности для цепи, изображенной на рисунке.

1) Сумма мощностей, развиваемых источниками напряжения и тока Р_ист = u_г1i₁ + + u₃₂i_г.

2) Потребляемая мощность с учетом закона Ома: Р_пот = u₁i₁ + u₂i₂ + u₃i₃ + u₄i₄ = R₁i² + R₂i₂² + R₃i₃² + R₄i₄². В соответствии с балансом мощностей Р_ист = Р_пот.

При определении Р_ист произведение u_гi берется со знаком "+", если направления задающего напряжения u_г и тока i направлены навстречу друг другу, и со знаком "-" в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника направлено навстречу задающему току i_г берется знак “+”, а если напряжение совпадает с током - знак “-”. Баланс мощности выражает не что иное, как закон сохранения энергии в электрической цепи.

Рисунок 1 - Иллюстрация к составлению баланса мощности

Одной из важнейших практических задач является оптимальная передача электрической энергии от активного к пассивному двухполюснику. Оптимум обычно понимается в смысле получения максимальной мощности в нагрузке R_н. Для цепи постоянного тока активный и пассивный двухполюсники можно заменить эквивалентной схемой, изображенной на рисунке 2.

Рисунок 2 - Активный и пассивный двухполюсники

Мощность p определим:

p_н = i²R_н = (u_г²)R_н / (R_г + R_н)² . (2)

Напряжение на нагрузке u_н = u_г - iR_г. Максимум мощности будет достигаться при R_н = R_г, при этом ток в цепи принимает значение i_o = = u_г/(2R_г), а мощность р_{н max} = u_г²/(4R_г).

Коэффициент полезного действия системы передачи определяется равенством:

 = р_н/р_ист = (u_гi - i²R_г) / (u_гi) = 1 - iR_г/u_г . (3)

При i = i_o и p_н = p_{н max} имеем  =0,5 (50 %). На рисунке 3 представлены зависимости р_ист, р_н и  от тока i.

Рисунок 3 - Зависимости мощностей, выделяющихся на источнике и нагрузке при R_н = R_г

Представление гармонических колебаний