2.6 Переходные процессы в цепи rc
Значительный практический интерес представляют нестационарные явления, возникающие при заряде и разряде емкости.
Предположим, что цепь на рисунке 11.1 в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения. Напишем для этой цепи второй закон Кирхгофа:
uс + ur = e(t), t ³ 0. (1)
Рисунок 11.1 - Заряд ёмкости через сопротивление
Учитывая,
что ток в цепи i
= С
и ur
= ir
= rC
, будем
иметь
rC
+
uc
= e(t),
(2)
или
(3)
Полученное равенство представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией uc.
Общее решение уравнения можно записать в виде суммы свободной uсв и вынужденной ив составляющих напряжения:
(4)
где tц = rC — постоянная времени цепи rС.
Рассмотрим некоторые примеры переходных процессов при paзличных формах внешнего воздействия.
Включение в цель rС постоянного напряжения (заряд емкости через сопротивление).
Если цепь rС подключается к источнику постоянного напряжения U0, функция е(t) имеет вид скачка напряжения.
Величина ив в этом случае должна быть равна внешнему напряжению U0, так как при t ® µ емкость заряжается до напряжения источника питания. Следовательно,
(5)
Для определения постоянной интегрирования А введем начальные условия. Так как значение энергии, запасённой конденсатором не может изменяться во времени скачками то напряжение на ёмкости при любом конечном изменении воздействия должно изменяться во времени непрерывным образом. Поэтому можно утверждать, что напряжение на емкости при скачкообразном изменении внешнего воздействия от 0 до U0 остается неизменным.
В соответствии с этим будем иметь uc(0+) = uc(0-) = 0, откуда вытекает, что А = -U0.
Таким образом, при t ³ 0:
;
.
(6, 7)
Из последнего выражения видно, что напряжение на емкости в процессе заряда возрастает по экспоненциаль ному закону, стремясь к величине U0 (рисунок 11.2).
Рисунок 11.2 - Переходной процесс в rC цепи при включении постоянного напряжения
Скорость заряда ем кости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного сопротивления, определяющих tЦ, тем медленнее растет напряжение uc.
Ток
(8)
с течением времени убывает по экспоненте, направление его совпадает с выбранным при составлении дифференциального уравнения условно положительным направлением. Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении
(9)
В момент включения источника питания значение иr изменяется скачком от нуля до максимума. График изменения иr(t) изображен на рисунке 11.2. Здесь же показана кривая uсв(t).
Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t®µ достигает величины Wcmax = CU02/ 2. Одновременно часть энергии, отдаваемой источником питания, расходуется в активном сопротивлении. Причем энергия, теряемая в сопротивлении, равна энергии, запасаемой в емкости.
Если напряжение на емкости к моменту включения равно Uн, начальные условия должны быть записаны в виде:
Uc (0+) = Uc(0-) = Uн .
В этом случае напряжение uc определяется формулой
. (10)
Пример: включение в цепь r, С гармонического напряжения.
Пусть при t ³ 0 функция внешнего воздействия
e(t) = Ucos(wt + y).
Поскольку напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2, вынужденное напряжение на конденсаторе будет
,
где
;
.
Подставив значение uв в (4), получим
.
Если до включения внешнего источника емкость заряда не имела, то при t = (0+) напряжение uc = 0, откуда вытекает, что
.