1.19. Основи теорії деформованого стану
1.19.1. Загальні визначення.
Усі реальні тіла під дією зовнішніх навантажень деформуються, тобто змінюють свою форму і розміри. Деформований стан навантаженого тіла характеризується лінійними і кутовими деформаціями.
Представимо тіло з розмірами dx, dy, dz, на гранях якого діють напруження.
Під дією напружень тіло деформується. Деформація полягає в зміні довжини його ребер на величину dy, dz, dx (рис.1.19.1.) і в зміні кутів між його гранями на величину xy, yz, xz (рис.1.19.2.).
Рис. 1.19.1. Подовжній розтяг тіла.
Рис.1.19.2. Поперечний зсув граней тіла.
Величини dx, dy, dz називають абсолютними подовженнями (укороченнями). Вони являють собою різницю між довжиною відповідного ребра тіла до і після деформації.
Абсолютне подовження, що приходиться на одиницю первісної довжини, називається відносним.
x
=
;
y
=
;
z
=
.
Відносні подовження (укорочення) тіла називаються лінійними деформаціями. Величини xy, yz, xz називаються кутами зсуву або кутовими деформаціями. Лінійні деформації () пов’язані з дією нормальних напружень (), а кутові деформації () пов’язані з дією дотичних напружень ().
1.19.2. Закон Гука. Коефіцієнт Пуассона.
Закон Гука встановлює залежність між напруженнями та деформаціями: деформація прямо пропорційна напруженню. Це можна виразити формулами:
= E · , = G · ,
де - нормальне напруження, мПа;
- дотичне напруження, мПа;
- лінійна деформація;
- кутова деформація;
E – модуль пружності материала при розтязі, мПа, (для сталі
E = 2·105 мПа);
G – модуль пружності матеріала при зсуві, мПа.
При розтязі (стиску) виникають подовжня () та поперечна (’) деформації ( = ; ’ = ), між якими існує залежність:
’ = – ·,
де
-
коефіцієнт Пуассона, що характеризує
здатність матеріала до поперечних
деформацій (0
0,5).
1.19.3. Розрахунки на жорсткість.
Для того, щоб конструкція під час експлуатації працювала нормально, її деформація не повинна перевищувати допустимої величини:
max
[
]
,
де max – максимальна розрахункова узагальнена деформація;
[ ] – допустима узагальнена деформація.
В загальному випадку відносна деформація визначається за узагальненою формулою:
Внутрішнє зусилля (N, T, M)
Відносна деформація (, ) = ----------------------------------------------------------------- .
Жорсткість поперечного перерізу (ES, EI, GIp)
Далі розглянемо окремі випадки розрахунків на жорсткість.
1.19.3.1. Розтяг – стиск.
Розрахунок на жорсткість при розтязі-стиску виконують за формулою:
або
,
де
–
відносна
деформація;
S – площа перерізу, м2 .
1.19.3.2. Зсув (зріз).
У випадку зсуву (зрізу) розрахунок на жорсткість зазвичай не виконують. В інженерних розрахунках поперечною деформацією нехтують.
1.19.3.3. Згин (згинання, вигин).
Розрахунок на жорсткість при згинанні виконують за формулою:
або
,
де K = 1 / - кривизна нейтральної лінії.
Рис.1.19.3. До розрахунку на жорсткість при згинанні.
1.19.3.4. Кручення.
Якщо на поверхню круглого стержня нанести пряму лінію паралельну осі стержня (рис.1.19.4.), то після прикладення моменту, що крутить, ця лінія повернеться на кут Цей кут називають кутом зсуву або відносним зсувом. Кут між положенями радіуса поперечного перерізу стержня до і після деформації називають кутом закручування. Відношення кута закручування до довжини стержня називається відносним кутом закручування:
.
Розрахунок на жорсткість при крученні виконують за формулою:
,
де – кут закручування;
l – довжина стержня;
– відносний кут закручування;
T – крутний момент;
Iр – полярний момент інерції перерізу;
G – модуль пружності при зсуві.
Рис.1.19.4. До розрахунку на жорсткість при крученні.