5.4. Затухающие колебания.

 Затухающими колебаниями называются колебания, механическая энергия которых расходуется на работу против диссипативных сил (силы трения).

Амплитуда и частота колебаний уменьшаются, колебания затухают.

 Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Для случая малых колебаний в отсутствии сухого трения можно считать, что сила трения равна

, — коэффициент трения.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

,

где — коэффициент затухания, — собственная частота свободных колебаний.

Рис.5.4.1

Рис. 4.4.1

 Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний

выбирается в виде гармонической функции амплитуда которой экспоненциально убывает со временем (рис 5.4.1):

.

Циклическая частота затухающих колебаний определяется формулой .

 Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд соседних колебаний в моменты времени:

.

Время релаксации: — время за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз.

— количество колебаний после которых амплитуда колебаний уменьшается в раз.

5.5. Вынужденные колебания

 Вынужденные гармонические колебания происходят под действием трех сил: квазиупругой, сопротивления и внешней вынуждающей силы, которая меняется по гармоническому закону:

, где

– циклическая частота вынуждающей силы,

– максимальное значение (амплитуда) силы.

Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими и совершаются с частотой вынуждающей силы .

 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

,

где — коэффициент затухания (5.4.),

— собственная частота свободных колебаний.

 Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний выбирается в виде гармонической функции:

,

где — сдвиг фазы между смещением и вынуждающей силой .

— амплитуда колебаний зависит от соотношения и .

Резонансные кривые

Рис. 5.5.1

 Анализ амплитуды вынужденных колебаний. Резонанс.

На рисунке 5.5.1 приведены кривые зависимости амплитуды А от циклической частоты вынуждающей силы — резонансные кривые.

1. При амплитуда — статическая деформация системы под действием постоянной внешней силы .

2. При , .

3. При наступает резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы (рис.5.5.1). Амплитуда увеличивается до тех пор, пока работа сил трения не сравняется с работой внешней силы. При отсутствии трения возрастание амплитуды неограниченно.

5.6. Автоколебания.

Рис. 5.6.1

Рис. 5.6.2

 Автоколебательной называется колебательная система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии не обладающего колебательными свойствами. Например, механические часы, анкерный механизм которых обеспечивает обратную связь постоянного источника энергии (гиря) с маятником (рис 5.6.1).

На рис.5.6.2. показана автоколебательная система с отрицательной обратной связью (сифон). Негармонические колебания совершает уровень воды в сосуде.

Рис. 5.6.3

 Обратная связь. Любая автоколебательная система состоит из четырех частей (рис 5.6.3):

а) Колебательная система.

б) Источник энергии, компенсирующий потери энергии.

в) Клапан – устройство, регулирующее поступление энергии в колебательную систему.

г) Обратная связь – основной признак автоколебательной системы – устройство для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан.

Положительная обратная связь "раскачивает", возбуждает систему, отрицательная – возвращает систему в исходное положение.