Многочлен Чебишева на проміжку [a,b]

Іноді виникає потреба побудови многочлена Чебишева на проміжку [a,b]

, , , (1)

(2)

Причому коефіцієнт при буде рівна

Тоді многочлен Чебишева із старшим коефіцієнтом «1», який найменше відхиляється від нуля

(3)

Це многочлен першого роду на проміжку [a,b], тоді відповідно корені цього многочлена :

(4) - корені

В теорії чисельних методів виникає задача:

Знайти многочлени, які найменше відхиляються від нуля на [a,b]. Це многочлени n-го степеня, які при рівні одиниці. Вигляд такого многочлена може бути записаний

(5) , тоді із рівностей (3) і (5) ми одержимо

(6)

(7)

Введемо в розгляд заміну змінної

, ,

:::

, де

Серед всіх многочленів степеня (n) які при приймають значення «1» і найменше відхиляються на прміжку [a,b] від нуля.

, , ,

Також ставиться інша задача, яка розглядається при виборі оптимальних параметрів для цілих процесів

(9) підбираємо таким чином щоб мінімізувати величину . Многочлен (9) задовольняє умову . Цю задачу можна вирішити за допомогою многочлена Чебишева(8). Корені (9) :

тоді ці корені повинні співпадати з коренями многочлена (8)

Тоді,

,

і тоді відхилення від нуля буде мінімальним

Ітераційні методи Чебишовським набором параметрів

Розглянемо СЛАР виду (1) з симетричною додатньовизначеною матрицею А. будемо розв’язувати систему (1) за допомогою явного нестаціонарного ітераційного методу.

(2) де – початкове наближення

Поставимо задачу про вибір оптимальних параметрів, тобто в відшуканні таких чисел в яких буде мінімальною

, де – -а компонента

Теорема_1.

Нехай матриця А симетрична додатньовизначена і є відповідними min і max власним значенням, і нехай задано число ітерацій n, тоді серед методів типу (2) найменшу похибку має метод для якого ,

(4)

Тоді якщо параметр вибираєм з (3) і (4) то для похибки буде справедлива оцінка.

(5)

, ,

Доведення. Позначимо через де k – точний розвязок

(7)

(9)

(8):

Так як E і A є симетричні то також є симетричною і норма симетричної матриці співпадає з її спектральним радіусом, тобто з найбільшим власним значенням по модулю, тоді

максимальне власне значення матриці

Тоді треба так параметр так щоб було найменшим. Нехай власні значення матриці А розташуєм їх у порядку то власні значеня для матриці будуть відповідно числа

Треба вибрати та параметр щоб було мінімальним

(10)

, тому ця задача розвязується за допомогою многочленів Чебишева. Корені многочлена (10) і вони повинні співпадати з коренями многочлена

(11)

, , (12)

Тоді корені многочлена будуть знаходитись в точках

(13)

То відхилення від нуля буде мінімальним і таке максимальне відхилення буде дорівнювати

(14) де визначається з (12)

,

Доведено.

Знайдемо кількість ітерацій які необхідні для досягнення деякої точності

З нерівності(5):

, де визначається з (12)

, ,

, , ,

, ,

,

,

З (15) вибираємо кількість ітерацій яка необхідна для досягнення зданої точності .