Канонічна форма однокрокових ітераційних методів

Доцільно ввести деякий єдиний запис ітераційного методу. Канонічною формою одно крокових ітераційних методів системи (1) будем називати запис, де - розвязок на n- ій ітерації

(9)

- матриця яка визначає той чи інший ітераційний метод, – ітераційний параметр.

Припустимо, що введемо деяке початкове наближення , тоді існує матриця . Тоді з рівняння (9) у нас можуть бути визначені послідовно , тоді для знаходження достатньо розв’язати таку систему рівнянь у матричній формі

Ітераційний процес буде називатися нестаціонарним, якщо параметри будуть вибиратися окремо. Якщо , , то такий проуес називається стаціонарним.

Якщо , то такий процес називається явним ітераційним методом.

Приклад розв’язання методом Зейделя та Якобі

- точний розвязок.

Методом Якобі: - початкове наближення

Методом Зейделя: - початкове наближення

Порівнявши виконані операції на обох методах дійшли висновку, що метод Зейделя збігається швидше ніж метод Якобі.

Метод простої ітерації

Метод простої ітерації – це явний стаціонарний метод з сталими параметром .

(10)

Якщо ж параметр буде змінний то одержимо метод Річадсона (11)

(11)

Для ітераційних методів (10) і (11) є відомий метод вибору параметрів та в тому випадку коли матриця А є симетрична і додатньовизначена

Узагальненим метод Зейделя (8) є метод з введеним парметром і може бути записаний

(12)

Такий метод (12), де носить назву верхньої релаксації. Введем розрахункові формули для методу (12)

Запишемо метод верхньої релаксації в координатній формі

Дослідження збіжності ітераційних методів

Розглянемо систему Ax=f (1) із не виродженою дійсною матрицею А і одно кроковий стаціонарний метод, процес може бути записаний у виді (2) .

(2) де - задане початкове наближення

Будемо говорити що ітераційний метод (2) є збіжним якщо . Під нормою вектора будемо розуміти середньоквадратичну норму , де елемент m – вимірного векторного простору H із заданим скалярним добутком , u,v

При дослідженні збіжності будемо використовувати деякі матричні нерівності. Для дійсної матрисі С нерівність означає що , . Тоді з випливає параметр , що , якщо і С – симетрична матриця, тоді всі її власні значення є додатніми, і тоді в якості ми можемо вибрати min з цих власних значень . якщо і С – не симетрична, тоді транспонована до С і тоді за беремо min власне значення Із оцінки випливає що . Якщо , тоді , то може і не існувати ю

Похибка розв’язання системи (1) методом (2) на n-ій ітерації може бути записана . Підставивши похибку у рівняння (2)

(3)

Тоді справедлива теорема

Теорема 1

Нехай А–симметрична додатньовизначена матриця і нехай виконується ,(4) тоді ітераційний метод (2) є збіжним.

Доведення. Достатньо показат, що середньоквадратична норма розвязку рівння (3) при будь-якому початковому наближенні . Для цього спочатку покажемо, що при виконанні умови (4) послідовність являєтья не зростаючою, тоді із рівняння (3) можемо записати

Так як матриця А за умовами теореми є симетричною , тоді попередню нерівність можемо переписати

(5)

Тоді враховуючи нерівність (4) . Таким чином послідовність є монотонною і обмеженою знизу нулем і (6). Із додатньої визначеності матриці випливає існування константи , тоді із рівності (5) одержимо нерівність , перейшовши до границі при і врахувавши рівність (6) бачимо що . врахувавши що матриця А є додатньовизначеною і відповідно оборотною . З останньої нерівності Доведено.

Наслідок 1.

Нехай матриця А –додатньовизначена і симетрична з діагональною перевагою, тобто для неї виконується така нерівність (7) , тоді метод Якобі є збіжним.

Доведення. Умова збіжності (4) у даному випадку матиме вигляд . покажемо, що така матрична нерівність випливає із нерівності (7). Запишемо квадратну форму . Скориставшись оцінками для квадратичної форми

так як матриця А – симетрична і додатньовизначина, то

(8), тоді (7) можна записати

і тоді (8) запишеться

(9)

Остання оцінка еквівалентна умові . Доведено.

Наслідок 2

Нехай матриця А і додатньовизначена і симетрична, тоді метод верхньої релаксації

збігається при умові .

Відповідно метод Зейделя збігається при .

Доведення .

Із симетричності матриці А транспонована для , тому

. Умова (4) прийме вигляд = враховуючи попередні рівності можемо записати

Виконання такої нерівності можливе, якщо

Наслідок. Теорема (необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації )

(10)

Для того щоб ітераційний процес (10) був збіжним необхідно і досить, щоб (11)

Доведення

Достатність. Для того, щоб ітераційний процес був збіжним достатньо щоб виконувалось (4) і тоді (12), тоді умова (12) еквівалентна тому, що всі власні значення матриці повинні бути додатніми. Нехай матриця A має власні значення тоді

є власними значеннями . тоді найменшим серед цих власних значень , цього достатньо, щоб вон обуло і тоді звідки випливає (11)ю

Необхідність. Покажемо, що нерівність (11) є необхідною умовою для збіжності (10). Припустимо, що нерівність (11) порушена, тоді знайдеться деяке початкове наближення ,для якого при . Покажемо це, припустимо , де - точний розвязок системи (1) а - власний вектор матриці А, що відповідає , тобто тоді при виборі початкового наближення похибка . Тоді з формули (10)

.

Припустимо, що ,

=

Враховуючи, що є власними значеннями можемо записати

, тоді .

Враховуючи властивості норми

1. Якщо тоді

2. Якщо тоді ,

Таким чином умова є необхідною умовою для збіжності ітераційного методу (10).