Модифікація методу Гауса

Якщо ,то в подальшому будемо розглядати систему

Така модифікація називається модифікацією методу Гауса з вибором головного елемента у рядку. В ролі головного елемента буде виступати .

Якщо , то будемо розглядати систему

головний елемент -

Цей метод відповідає за пере нумерування рядків у даній системі.

Метод Гауса з вибором головного елемента по всій матриці:

Тоді формально метод зводиться до перестановки рядків і стовпців.

Підрахуємо кількість операцій множення і ділення,які виконуються у ході методу Гауса.

Обчислимо кількість операцій ділення коефіцієнта матриці С

Обчислимо кількість операцій множення для обчислення коефіцієнта

Таким чином для обчислення елементів матриці С необхідно виконати таку кількість операцій

При достатньо великих m.

При обчисленні у формулі (14) буде виконуватись ділення, а для знаходження формули (14) буде виконуватись дій множення і ділення.

При прямому ході методу Гауса буде виконуватись

Для обчислення оберненого ходу методу Гауса ми будемо виконувати таку кількість операцій множення:

Для виконання всього методу Гауса здійснюються

Тоді в середньому для обчислення значень однієї невідомої можемо прийняти дій.

Умови застосування методу Гауса і його зв'язок з розкладом матриці на множники.

Розглянемо систему (1) яку ми зводили до вигляду (2), де с-матриця діагональна з одиницями на головній діагоналі. Випишемо формули, які зв’язують

k=1,…,m (3)

(4)

(5) i=k

Покладемо і=1 к=1

К=2 і=1

У рівності (5) поставимо і=2 к=1

і=3 к=1

і=3 к=2

і=3 к=3

(6) де (7)

f=By (8) - матриця з нулями вище головної діагоналі

Враховуючи нерівність (7) запишемо матрицю В через:

Діагональні елементи матриці В є ті елементи,які за припущенням методу Гауса не дорівнюють 0.

BCx=f; тоді А=В-С;

Розклад матриці А на добуток двох матриць називається факторизацією. Тоді метод Гауса може бути зведений до розв’язування системи

(9)

Розклад матриці на добуток відповідного прямого ходу методу Гауса,а розв'язок системи (9) – зворотному.

А=LU (10)

Позначимо - мінори j-го порядку матриці А.

Тоді обґрунтованість розкладу матриці А на добуток двох матриць виражається теоремою.

Теорема: Нехай всі мінори матриці А .Тоді матриця А може бути представлена,причому єдиним способом у вигляді добутку (10), де L – нижня трикутна матриця з не нульовими діагональними елементами, U – верхня трикутна матриця.

Доведення: Доведення проведемо методом математичної індукції. Перевіримо виконання умови теореми для матриці 2 – го порядку.

Елементи , , , - невідомі.

Припускаємо,що теорема справедлива для матриці А к-1 порядку. Переконаємось,що теорема виконується при к-му порядку матриці А.

(11)

Ці матриці мають властивості,вказані в теоремі.

(12)

Перемножимо

(13)

(14)

(15)

(16)

Із припущення індукції випливає обернена матриць , тоді із (14)(15)

Таким чином ми показали що LU розклад існує. Покажемо, що det k- го порядку 0

detA=det

Покажемо єдність:

Припустимо що є два розклади . Якщо виконується така рівність ми маємо добуток двох діагональних, то це може виконуватись у випадку, коли зліва і справа є одинична матриця, тоді тобто розклад є єдиним.

Зауваження: при застосуванні методу Гаусса необхідно перевірити відмінність від нуля кутових елементів. Так, як рівність одного з них нулю приводить до неможливого LU розкладу, а відповідно до застосування методу Гаусса.