1.8. Особливості роботи довгої лінії зі втратами

З урахуванням опору дроту та електропровідності ізоляції вихідні рівняння, що описують напругу і струм у довгій лінії (1) і (2), доповнюються доданками з погонними параметрами R₁ і G₁:

; або , (23)

або . (24)

Після перетворень можна отримати рівняння, аналогічні (6)

, (25).

де

, (26)

тобто коефіцієнт α є вже комплексною, а не дійсною величиною , як у лінії без втрат.

Можна довести, що розв’язок рівнянь (23) і (24) має вигляд, аналогічний (11) і (12) за винятком того, що хвильовий опір лінії зі втратами стає теж комплексною величиною:

, (27)

, (28)

(29)

(звичайно, переходить в при R₁ = 0, G₁ = 0).

Отже, у разі довгої лінії зі втратами її роботу не можна узгодити, прийнявши ₁ = R_н , оскільки тепер хвильовий опір – комплексне число. Однак, скорегувавши параметри лінії L₁, C₁, R₁ і G₁, деякого узгодження можна досягти. Зробимо над виразом для перетворення:

,

у результаті чого стає зрозумілим, що за умови

(30)

хвильовий опір лінії зі втратами стає дійсним і таким самим, як у лінії без втрат.

Виконання умови (30), яка носить ім’я умови Хевісайда (автора теорії передачі сигналів по довгій лінії), означає, що в лінії відсутня хвиля, відбита від її кінця. Однак затухання сигналу при цьому залишається. Дійсно, при і ₁ = R_н напруга в лінії дорівнює

. (31)

Знайдемо за умови :

_.

Підстановка знайденого в (27) дає

або

. (32)

Формула (32) описує біжучу хвилю, що поширюється проти x

(від генератора до споживача), а множник – згасання амплітуди хвилі. Зауважимо, що дорівнює величині, оберненій своєрідній добротності лінії .

Оскільки зазвичай на практиці , умову Хевісайда задовольняють, включаючи через певні відстані S котушки індуктивності L, тим самим збільшуючи дальність передачі телеграфних повідомлень в 3–5 разів (рис. 5).

Рис. 5. Схема пупінізації лінії зв’язку.

Реалізація ідеї штучного збільшення індуктивності довгої лінії О. Хевісайда була запропонована М. Пупіним (1900 р.). Лінія, оснащена котушками Пупіна (зазвичай через 0.5–2 км), називається пупінізованою.

1.9. Rс і lc фільтри, перехідні, диференціюючі та інтегруючі кола

Кола, які складаються всього з двох елементів – з резистора R та конденсатора С, можуть виконувати важливі функції, зокрема, пропускати електричні коливання в певному діапазоні частот і не пропускати в іншому (тобто служити електричними фільтрами), пропускати сигнал із входу на вихід без змін, виконувати операцію диференціювання або інтегрування. Аналогічні операції можна виконувати за допомогою не тільки RС, але й RL кіл.

1.9.1. Rc фільтр високих частот

Проаналізуємо проходження електричного сигналу через RС-коло (рис. 1). Перетворення сигналу в будь-якому чотириполюснику найбільш повно описується коефіцієнтом передачі, який визначається як

. (1)

Оскільки досліджуване коло містить у собі реактивний елемент, то для розрахунку К скористаємося комплексним методом, замінивши С і R комплексними опорами = R , = 1/iωC:

, (2)

Рис. 1. RC-фільтр високих частот

де , і – комплексні аналоги відповідно U_вх , U_вих та струму в колі I, а величина RC =  має розмірність часу й називається постійною часу RC-кола.

Скориставшись формулою перетворення комплексного числа

a + ib = ·e^iφ, де φ = arctg(b/a), перепишемо (2) у вигляді

, (3)

де  – зсув фази, а модуль визначає співвідношення між вхідною й вихідними напругами, тобто коефіцієнт передачі кола:

, (4)

. (5)

Проаналізуємо одержану залежність коефіцієнта передачі К від частоти ω, тобто частотну характеристику даного чотириполюсника.

В області досить високих частот величина 1 / ω є малою, так що U_вих ≈ U_вх, тобто високочастотні коливання проходять через досліджуване коло без зміни величини. Іншими словами, таке коло є перехідним для високочастотних коливань. Інша справа низькі частоти (НЧ). При зменшенні ω другий доданок у знаменнику формули (3) збільшується, тобто К зменшується (при ω  0 К  0). Залежність К(ω) схематично зображена на рис. 2.

Рис. 2. Частотна характеристика RС-фільтра високих частот.

Коло, яке пропускає ВЧ і затримує НЧ коливання, називається фільтром ВЧ. Різкої межі між частотами коливань, які пропускаються й затримуються, не спостерігається. Прийнято вважати граничною частотою або частотою зрізу ω_зр таку частоту, при якій коефіцієнт передачі менший від максимального значення в раз. У даному разі максимальне значення К = 1, тому ω_зр можна знайти, прирівнявши праву частину (5) до 1/ :

_. (6)

Отже, коло на рис. 2 пропускає коливання з частотами, вищими 1/RC, і затримує коливання з частотами, нижчими 1/RC. Частоту зрізу можна регулювати, змінюючи величину R або/і C.