1.3. Спектральний склад електричного сигналу

Як відомо з математики, будь-яку періодичну функцію ƒ(х) з періодом Т можна представити тригонометричною сумою (рядом Фур’є):

, (2)

де n = 1,2…, а коефіцієнти a_n і b_n визначаються формулами Ейлера:

,

, (3)

.

Оскільки електричний сигнал описується якоюсь функцією часу, то це означає, що його теж можна представити у вигляді ряду Фур’є. Складові, що описуються синусоїдами й косинусоїдами, називаються гармонічними складовими, або гармоніками. Зі збільшенням номера гармоніки її амплітуда зменшується. Це означає, що сигнал як завгодно складної форми можна представити кінцевою сумою гармонічних складових.

Для прикладу розглянемо, як подається симетричний сигнал прямокутної форми рядом Фур’є (2). Задача спрощується завдяки тому, що у розкладі симетричної функції відсутні парні складові, а також косинусоїди, тобто прямокутний сигнал описується сумою з коефіцієнтами, пропорційними 1/n:

. (6)

На рис. 5 ліворуч наведені перші три синусоїдальні гармоніки зі все меншими амплітудами, а праворуч – сума першої й третьої (1+3), а також першої, третьої й п’ятої гармонік (1+3+5). Як видно, у міру збільшення кількості гармонік форма їх суми все більше наближається до прямокутної.

Рис. 5. Представлення симетричного прямокутного сигналу

сумою гармонічних складових.

Згідно з теоремою В.А. Котельникова (Найквіста–Шеннона), при передачі інформації в цифровій формі неперервний сигнал, спектр якого обмежений верхньою граничною частотою f_макс, повністю визначається, якщо частота дискретних відліків f_дискр удвічі перевищує f_макс (практично f_дискр = (2.3–2.4) f_макс).

1.4. Символічний метод розрахунку електричних лінійних кіл (метод комплексних амплітуд)

Оскільки будь-який сигнал можна представити сумою гармонічних складових, для аналізу електричного кола достатньо з’ясувати, що відбувається з гармонічним сигналом у широкому діапазоні частот. Знаючи ж поведінку гармонік, можна відповісти на запитання, як зміниться сигнал складної форми, представлений цими гармоніками. Це, однак, справедливо тільки для так званих лінійних кіл. Електричне коло називається лінійним, якщо воно складається з лінійних елементів. Лінійним називається елемент, параметри якого не залежать від прикладеної напруги й струму, що протікає в ньому, потужності, що в ньому виділяється. Лише в цьому разі процеси в колі відбувається незалежно, тобто діє принцип суперпозиції. Прикладом лінійних елементів є широко застосовувані в електротехніці й електроніці резистори R, конденсатори C й котушки індуктивності L. Лінійність елементів R, C і L зберігається лише в певних межах. При достатньо великих напругах і струмах резистор нагрівається і головний його параметр – величина опору R – змінюється, тобто резистор перестає бути лінійним елементом. Так само змінюється величина ємності конденсатора С при великих напругах, величина індуктивності котушки L при значних струмах. Однак в електротехніці й електроніці елементи R, C і L працюють у переважній більшості в такому режимі, щоб їх можна було вважати лінійними.

Щоб обійти громіздкі розрахунки, при аналізі лінійних кіл часто застосовується метод комплексних амплітуд, або символічний метод. Суть його полягає в наступному.

Нехай у колі діє гармонічна напруга . У комплексному методі ця напруга замінюється її комплексним аналогом , де і = ¹⁾. Усі необхідні математичні перетворення виконуються над комплексними величинами.

Тому й розрахований при цьому струм отримаємо теж у комплексному вигляді = , де φ – зсув фаз між напругою й струмом, який у загальному випадку не дорівнює нулю. Фізичний зміст має лише дійсна частина. , підґрунтям чого є те, що дійсна й уявна частини комплексного числа перетворюються незалежно. Прикладом таких лінійних перетворень є додавання й віднімання, множення на постійну дійсну величину, диференціювання й інтегрування. У разі нелінійних операцій, таких як множення й ділення, результатом розрахунку є не дійсна частина комплексного числа, а його модуль.

Продемонструємо цей метод для розрахунку струму в послідовному коливальному контурі – електричному колі, яке обов’язково містить у собі індуктивність L і ємність C (рис. 6). Коливальні контури широко використовують в електротехніці й електроніці, тому викладене нижче має не тільки методичне, але й практичне значення.

Нехай у колі діє зовнішня електрорушійна сила Е = Е_оcost. Згідно з другим правилом Кірхгофа, у замкненому контурі алгебраїчна сума спадів напруг на всіх ділянках кола дорівнює алгебраїчній сумі всіх електрорушійних сил у цьому контурі.

Рис. 6. Коливальний контур з послідовно сполученими R, L і С, увімкнений послідовно до джерела гармонічної напруги Е.

Напруга спадає на опорі R (U_R = ІR) та інших опорах: на провідниках, якими сполучені елементи схеми, на провіднику, який намотаний на котушку, та на внутрішньому опорі джерела напруги Е. Усі ці опори ввімкнені послідовно, тому їх можна врахувати, відповідно збільшивши його величину, тобто під R розуміти сума всіх опорів.

Напруга спадає також на конденсаторі, яку позначимо U_C і яка дорівнює q/С (q – заряд на пластинах конденсатора).

У колі діє електрорушійна сила Е = Е₀cost та електрорушійна сила індукції

.

Отже, згідно з правилом Кірхгофа,

або після підстановки

. (7)

Оскільки

,

то замість (7) маємо

. (8)

Розв’яжемо інтегро-диференціальне рівняння (8) методом комплексних амплітуд, для чого замінимо електрорушійну силу Е = Е₀cost її комплексним аналогом

.

Як уже зазначалось, струм у колі завжди можна представити як

.

Диференціюючи та інтегруючи İ за часом, відповідно отримуємо:

,

.

Отже, диференціювання комплексної величини зводиться до множення її на іω, а інтегрування – до ділення на іω.

Підставимо знайдені величини у (8) у комплексному вигляді . У результаті замість інтегро-диференціального рівняння отримуємо алгебраїчне рівняння

або

. (9)

З рівняння (9) видно, що у комплексній формі закон Ома для кола зі змінним струмом виглядає аналогічно, як для кола з постійним струмом. У знаменнику (2) фігурують так звані комплексні опори, з якими можна маніпулювати як із звичайними опорами:

₍₁₀₎

Згідно з (10), закони постійного струму справджуються і для кола із змінним струмом , якщо під R, L і C мати їх комплексні аналоги , і . Нагадаємо, що реальний опір, який чинить індуктивність при проходженні змінного струму, дорівнює ωL, а конденсатор – 1/ωС.

Щоб знайти дійсну частину (9), яка й має фізичний зміст струму в коливальному контурі, скористаємось перетвореннями

,

в результаті чого з (9) отримаємо:

.

Оскільки , то

,

де

, (11)

. (12)

Отримані вирази (11) і (12) – добре відомі з курсу «Електрика і магнетизм» формули для амплітуди струму й зсуву фаз між струмом і напругою у послідовному коливальному контурі.