1.6. Процеси у довгій лінії. Телеграфні рівняння

Довга лінія являє собою два паралельні провідники, довжина яких l перевищує довжину хвилі електромагнітного коливання  (l  10), яке поширюється по ній від джерела (генератора) до споживача (навантаження). Ще в 1880 р. у телеграфії зіткнулись з проблемою передачі коливань високої частоти (малої довжини хвилі) на значні відстані. Складність пов’язаної з цим проблемами зумовлена тим, що лінія передачі являє собою коливальну систему з розподіленими параметрами (до цього часу розглядались електричні кола із зосередженими R, C і L параметрами¹⁾).

Властивості довгої лінії визначаються погонними параметрами: індуктивністю L₁, ємністю C₁, опором провідників R₁ і провідністю ізоляції G₁ (величина, обернена її опору), віднесених до одиниці довжини лінії.

Розглянемо процеси в довгій лінії без втрат, коли можна нехтувати опором провідників R₁ = 0 і провідністю ізоляції G ₁ = 0. Таке наближення виправдовується в цілому ряді практично важливих випадків.

Щоб установити зв’язок між миттєвими значеннями напруги U між проводами і струмом I у будь-якій точці довгої лінії, виберемо систему відліку, наведену на рис. 1: 1) спрямуємо лінію вздовж осі х, 2) у точці 0 розташуємо кінець лінії, де ввімкнемо навантаження R_н, 3) фазу будемо відраховувати теж від точки 0, тобто для навантаження вважатимемо U_н = U₀cost.

Для спаду напруги на відрізку x, x + dx запишемо:

; або , (1)

а для струму

або . (2)

З (1) знайдемо другу похідну і, підставивши в праву частину з (2), отримаємо

. (3)

Аналогічно з (1) і (2) маємо для другої похідної :

. (4)

Рис. 1. Довга лінія.

Введемо позначення

(5)

і тоді з (3) і (4) матимемо так звані телеграфні рівняння:

(6).

Розв’яжемо перше з двох рівнянь для , а знайдемо, скориставшись (1), як

. (7)

Розв’язок рівняння (6) для будемо шукати у вигляді

, (8)

для чого першу й другу похідну

,

підставимо в перше з рівнянь (6), що дає , звідки

, тобто .

Підставляючи знайдені корені і , в (8), маємо

(9)

Скориставшись (7), зразу ж можна записати вираз для струму

.

Згідно з (5),

.

Величина

називається хвильовим опором довгої лінії.

Отже, для струму маємо

(10)

Постійні інтегрування і знайдемо, скориставшись граничними умовами, а саме тим, що в точці х = 0 напруга дорівнює , а струм – . Прирівнявши праві частини (9) і (10) відповідно до і , отримаємо два алгебраїчні рівняння:

,

,

розв’язок яких відносно і дає

і .

Отже, для напруги й струму в будь-якій точці лінії остаточно маємо:

, (11)

. (12)

1.7. Режими роботи та застосування довгої лінії

Насамперед розглянемо поведінку довгої лінії на низьких частотах. Якщо ω → 0 (у цьому разі  0), з (11) і (12) маємо:

і ,

тобто в усіх точках лінії напруга і струми однакові. Це й зрозуміло, оскільки при ω → 0 довжина хвилі  →  , тобто лінія не довга.

Перейдемо тепер до аналізу довгої лінії на високих частотах. У загальному випадку це зробити складно, тому розглянемо три випадки.

(1) Лінія розімкнута в кінці R_н → ∞, ₁/R_н  0 і тому з (11) і (12) маємо¹⁾

або

,

звіди легко знаходимо дійсну частину :

. (13)

Ми отримали рівняння стоячої хвилі, яку можна розглядати як дві хвилі, одна з яких поширюється вздовж x , а друга – назустріч.

(2) Короткозамкнена довга лінія R_н → 0, ₁/R_н >> 1. У цьому разі з (11) і (12) маємо:

.

Тепер дійсна частина має вигляд

(14)

і описує теж стоячу хвилю, але, на відміну від (13), з пучністю при x = 0 (sin0 = 0), а не вузлом (cos0 = 1).

(3) Виберемо опір навантаження R_н таким, щоб він чисельно дорівнював хвильовому опору довгої лінії ρ₁. Тепер, знову ж таки, з (11) і (12)

,

а дійсна частина

. (15)

Рівняння (15) описує вже не стоячу, а біжучу хвилю, що поширюється проти x, тобто від джерела до навантаження. Отже, для передачі сигналів (енергії) на високих частотах опір навантаження довгої лінії R_н має дорівнювати її хвильовому опору ρ₁. Вочевидь, при проміжних значеннях R_н у лінії присутня не тільки біжуча, але й стояча хвиля, тобто сигнал частково відбивається (коли R_н = 0 або R_н = , коефіцієнт відбивання від кінця лінії дорівнює 1).

На практиці довга лінія часто застосовується у формі так званої «екранованої» лінії, або коаксіального кабелю, коли один із провідників має круглий поперечний перетин, другий – форму циліндра, а простір між ними заповнений діелектриком, суцільним або з порожнинами (рис. 1). Важливою перевагою коаксіального кабелю порівняно з «відкритою» лінією (наприклад, двох дротів на опорах) є мінмальне випромінювання в навколишнє середовище, можливість розташування кабелів близько один до одного.

Слід зазначити, що довжина довгої лінії може бути зовсім незначною, якщо довжина хвилі мала (частота коливань висока). У міліметровому діапазоні коливань, наприклад, два паралельні провідники довжиною порядку сантиметра – відкрита довга лінія. На дуже високих частотах навіть при довжині порядку сантиметра лінія довга. Таку довгу лінію можна виготовити, наносячи вузенькі металеві стрічки на ізолюючу підкладинку, наприклад – керамічну (рис. 2).

Рис. 2. Коаксіальний кабель.

Рис. 2. Стрічкова довга лінія.

Оскільки електромагнітні хвилі поширюються вздовж лінії з кінцевою швидкістю, її відрізки застосовують не лише для передачі високочастотних сигналів, але й для їх затримки в часі. Щоб визначити час затримки, формулу (15) запишемо у вигляді

. (16)

Фізичний зміст множника ( /) в (15) – величина, обернена швидкості поширення сигналу . Тому можна записати:

, (17)

звідки час затримки сигналу  t, що пройшов відрізок довгої лінії довжиною l, визначається індуктивністю та ємністю всієї лінії L і С:

. (18)

Якщо знайти погонну індуктивність L₁ і ємність C₁ двопровідної або коаксіальної лінії, як це робиться в курсі «Електрика і магнетизм», і підставити L₁ і C₁ в (18), отримаємо  = (L₁C₁)^–1/2 = 310⁸ м/c, тобто швидкість поширення світла в лінії збігається зі швидкістю світла у вакуумі с. Якщо простір між провідниками заповнений речовиною з діелектричною й магнітною проникністю відповідно  і , то  = с/()^1/2 (для коаксіальної лінії, наприклад,  =2.25,  = 1).

На практиці для затримки сигналів застосовують відрізки коаксіального кабелю, якщо йдеться про час затримки 10^–9-10^–8 с = 1-10 нс. Для збільшення часу затримки (частки мікросекунди) довжину кабелю доводиться збільшувати, але в розумних межах. Якщо ж потребується затримка в часі, наприклад, декілька мікросекунд, довжина коаксіального кабелю повинна складати вже сотні метрів.

Рис. 3. Штучна довга лінія.

Збільшити час затримки до десятків мікросекунд можна завдяки штучному збільшенню як погонної індуктивності, так і ємності. Одним із таких способів є виготовлення центрального провідника коаксіальної лінії у формі спіралі, завдяки чому погонна індуктивність L₁ значно зростає. Ще більшої часової затримки можна досягти, застосовуючи штучну лінію – електричну схему із значної кількості однакових конденсаторів і котушок індуктивності L і С (рис. 3). У цьому разі час затримки визначається сумарною індуктивністю nL і ємністю nC (n – кількість LС-ланцюжків):

.

Слід зазначити, що надмірне збільшення кількості LС ланцюжків штучної лінії може призвести до неприпустимого спотворення форми й послаблення амплітуди сигналів.

Розглянемо тепер вхідний опір лінії, який знайдемо, поділивши напругу на струм, що визначаються формулами (11) і (12), при x = l (l – як і раніше, довжина лінії):

(19)

Як видно, при R_н = ρ₁ вхідний опір лінії має суто активний характер і дорівнює її хвильовому опору незалежно від її довжини.

У разі розімкненої лінії (R_н = )

, (20)

тобто вхідний опір лінії має вже суто реактивний характер, а його величина залежить від її дожини l. Умову резонансу такої коливальної системи знайдемо, прирівнявши уявну частину до нуля, тобто вважаючи ctgl = 0. Згадаємо позначення (5)  = (L₁C₁)^1/2, і тоді умова резонансу матиме вигляд

де m = 0,1,2,…, а _m – частоти, на яких спостерігається резонанс.

Отже, відрізок довгої лінії може виконувати функцію коливального контуру з високою добротністю (дійсна частина дорівнює 0!). Ще одна особливість такого коливального контуру полягає в тому, що резонанс спостерігається на багатьох частотах, причому кожну з них можна «підстроювати» змінюючи довжину лінії.

Ще одне практичне застосування довгої лінії зумовлене властивостями короткозамкненого її відрізка довжиною  /4. Приймаючи у цьому разі в (16) R_н  ρ₁, маємо

. (21)

Знайдемо  l при l =  /4:

. (22)

Отже, вхідний опір  /4-хвильового короткозамкненого відрізка довгої лінії дорівнює нескінченності, тобто може служити ізолятором. Це лежить в основі роботи своєрідної закритої довгої лінії, якою є металевий хвилевід ¹.

Якщо до двопровідної відкритої лінії приєднувати короткозамкнені /4-хвильові відрізки, як це показано на рис. 4, ліворуч, то це ніяк не вплине на процеси в лінії (адже приєднуються «ізолятори»). Вочевидь, те ж саме відбуватиметься, якщо двопровідну лінію зі значною кількістю /4-хвильові відрізків замінити металевою конструкцією, показаною на рис. 4, праворуч, тобто хвилеводом.

Рис. 4. Металевий хвилевід. Ліворуч – представлення хвилеводу множиною короткозамкнених  /4-хвильових відрізків, приєднаних до двопровідної лінії.

Такі хвилеводи широко застосовуються як лінії передачі в сантиметровому й дециметровому діапазонах довжин хвиль¹. Порівняно з відкритими двопровідними лініями й коаксіальними кабелями, хвилеводи дозволяють передавати електромагнітне випромінювання великої потужності з малими втратами й малим випромінюванням у навколишнє середовище.