17. Топологічні простори. Гомеоморфізми. Ейлерова х-ка

О: Нех х деяка непор м-на, - система підм-ин м-ни х, т.що: 1)

2)порож м-на 3)Обєднання сукупності елементів 4) перетин скінч сукупності ел . –наз топологією на м-ні х; -тополог простір. Приклади: 1) метр простір є топологічним

2) нех х –м-на III форм 3)

4)Нех х –дов м-на, тоді -мінімум, -всі підм-ни м-ни х –максимум..

О: відобр наз неперервним в т.х₀ якщо для околу т.f(x₀) окіл т.х₀ (Ux₀), що яке тільки О: відобр неперервне в кожній т. простору наз неперервним О: відобр наз гомеоморфізмом якщо викон умови: 1) -бієкція; 2) -неперер.

Гомеоморфізмом наз відобр яке встановлює бієкцію між самими ел простору так і між топологіями. Приклад негомеоморф відобр: 1. відрізок [0,1] і інтервал (0,1); 2.Коло і круг; 3.Коло і пр О:N-вимірним многовидом наз тополог простір, т що окіл його т. гомеоморфний простору Rⁿ Приклад одновимірних многовидів: коло і пр, двовимірних: тор, сфера, проект пл.., лист Мобіуса. О: многовидом з краєм розмірності n наз тополог простір який є обєднанням м-ин точок 2-ох типів: 1)ті що мають околи гомеоморфні простору Rⁿ 2)ті що мають околи гомеоморф простору . Прикл: відрізок, напіввідкритий інтервал, круг, куля, кільце. Е. х-ка Нех задано якесь розбиття многовида на клітини. Познач - к-сть усіх вершин, - к-сть сторін, -к-сть клітин(граней). О:величину -наз Е.х-кою многовида і познач X(F).Приклади: Тетраедр X(F)=2; сфера X(F)=2; куб X(F)=2. Т.Ейлера:для простого многогранника має місце формула: В-Р+Г=2, де В-к-сть вершин, Р-к-сть ребер, Г-к-сть граней.Е х-ка не залежить від вибору розбиття на клітини і зберігається при гомеоморфізмах

18. Зображення плоских і простр фігур у парал проекц Теор Польке

О:Зображенням фіг F у площ наз така фігура у площ яка подібна деякій парал проекції фігури Fна площ тобто має рівність -парал проект на площ , -перетв подібн на площ .Т:Нехай і дві площ що перетин Fта -фігури в цих площинах.Фігура є зображ фігури F коли вона їй афінно-еквівалентна.Л:нехай АВСД і -афінно-еквівалентні чотирикутники,які містяться в площинах -відповідно.Тоді існує така площ що ортогональна проекція чотири АВСДна площину буде подібною дочотир .Т(Польке-Шварца)Вершини будь-якого чотирик АВСД є зображенням репера рівного заданому реперу Дов:Нехай дано чотир АВСД у площині і тетраедр вершинами якого є елементи репера .Позначимо через такі точки на прямих відповідно,щоб викон умови де О-точка перетину АС та ВД.Нехай .Розгл паралельне проектування за напрямком на площ (ортогон).При цьому проектуванні тетраедр відобразиться в чотирикутник ,а точки відобраз в одну й туж саму точку де -точка перетину та відзначимо,що парал проектування зберігає поділ відрізка,тому врахувавши рівності отрим З цих рівностей випливає афінна-еквів чотирикутників АВСД і .За лемою Існує така площ що проекція на площину за напрямком будеподібноюдо АВСД.Позначимоцю проекцію .Якщо розглянути проект репера за напрямком на площину ,одержимо вершини чотирик подібного до заданого чотирик АВСД.Залишається виконати такий рух -простору при якому .Якщо позначити через ,то одержимо що є паралельною проекц який рівний реперу до того ж АВСД подібний .Отже АВСД є зображенням репера ,що й треба було довести