- •1.Пряма на площині.
- •2. Лінії іі порядку.
- •3 Скалярний, век, міш добутки векторів.
- •2) Дистрибутивність. Дов.
- •4.Площина в просторі.
- •5. Пряма в просторі. Способи задання:
- •6. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання.
- •8. Група рухів площини. Задання рухів.
- •9. Група перетворень подібності. Гомотетія.
- •10. Група афінних перетворень. Задання афінних перетворень.
- •11. Проективний простір. Принцип двоїстості. Т. Дезарга
- •12. Група проективних перетворень площини. Аналітичний запис
- •13. Система акс Вейля, повнота і несуперечливість.
- •14. Акс. І площина Лобачевского. Наслідки.
- •15. Многокутники. Площа мн-ка .Th існування та єдиність
- •16. Геометричні побудови на пл. Система постулатів побудов.
- •17. Топологічні простори. Гомеоморфізми. Ейлерова х-ка
- •18. Зображення плоских і простр фігур у парал проекц Теор Польке
- •19. Лінії в евкл просторі кривизна та скрут лінії Френе
- •20. Поверхні в евкл прост дот площина і нормаль до поверх
11. Проективний простір. Принцип двоїстості. Т. Дезарга
О.: Нехай Р – мн елементів довільної природи. Мн Р наз проективним простором, якщо існує таке відображення П: V|{ } Р, що задовольняє умови: 1) П – сюрєкція 2) П(х)=П(у) х= у , 0. 2 осн моделі:
1. Модель пучка. Зафіксуємо на Евкл пл. т. О-центр пучка і співставимо кожному ненульовому вектору пл. пряму, що прох через т.О // цьому вектору. Одержимо пучок прямих Е, який задов озн проект простору розмірності 1(кожна пр має напрямний вектор) 2.Модель розширеної прямої. Зафікс на евкл пл. пряму d, т. .Визначимо проект пр з пучком з центром в т.О.Співставимо прямим пучка їх точки перетину з d.Поставимо прямій пучка у відпов невласну т. і доповнемо цією т. пр d. .Принц двоїстості. Розгл т.А(а1,а2,а3)і т.В(в1,в2,в3).
–відношення інцедентності.1 малий принцип: якщо в твердженні про точки,пр і їх інцедентність на проект пл. поміняти місцями слова т. та пр. то одержимо твердж. вихідному твердж. Прикл.:на проект пл. безліч т. – на проект пл. безліч пр. 2. Великий: в твердж. про інцидент. точок,прямих і пл., слово т. можна замінити на пл. і навпаки.Прикл.: якщо пр пл. то вона перет її в 1 т. – через т. і пр. поза нею проходить єдина пл..
О: тривершин. наз фігура,що склад з 3-х т. загального положення і 3-х пр., які їх попарно сполуч. Знайдемо двоїсту фігуру до 3-вершинника. 3-вершинник двоїстий сам собі за малим принципом 2. інколи двоїсту фігуру на до 3-вер наз 3-сторонником. дана фігура: точок 3, прямих 3, через кожні 2 точки проходить 1 пряма, 2 пр перетинаються в 1 т. ДВОЇСТА ФІГУРА: прямих 3, точок 3, через 2 пр проходить 1 т, 2 т перет в 1 пр.
Т. Дезарга: якщо пр.,що сполуч відпов вершини 2-х триверш. в 1т., то прямі, які містять відповідні сторони тривірш, перетинаються в точках, які лежать на 1 пр. ДОВ: нехай А,В,С і А/,В/,С/ - тривершинник, А і А/ , В і В/, С і С/ відповідні. Нехай виконується умова теореми. Т. О є АА/ , О є ВВ/, О є СС/. Розглянемо т. А, А/ , О – колінеарні, породжуються П(а)=А, П(а/)=А/ . П(0)=0, вектори а не = а/, отже, вони утворюють базис векторного простору. Тоді 0=л1а+л2а/. (1) аналогічно 0=м1в+м2В/,(2) 0=v1c+v2c/.(3)
(1)-(2), (2)-(3), (3)-(1) . л1а+л2а/- м1в+м2В/=0, м1в+м2В/- v1c+v2c/=0, v1c+v2c/- л1а+л2а/=0. л1а- м1в= м2В/- л1а=р, м1в- v1c= v2c/- м2В/=n, v1c- л1а= л2а/- v2c/=m. П(р)=Р, П(n)=N, П(m)=М. р+ n+ m=0. (біля всіх 0 вектори стоять). А отже, всі точки М, N, Р лежать на 1 прямій, що й треба було довести.
12. Група проективних перетворень площини. Аналітичний запис
О: проективним пертворенням ф наз таку відповідність між точками проективних просторів, при якому 4 т. 1 пр переходять у 4 т. іншої прямої і при цьому зберігається складне відношення 4 т. якщо при цьому відобр точки що леж на 1 пр.
Т: - репери на проект пл. тоді єдине проект перетв пл.,т.що Дов: Існування: співставимо кожній т.М(х1,х2,х3)R т.M’(x1,x2,x3)R’ і познач -перетворення. Покажемо що задов умові теореми. R з коорд (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1);(1,1,1).Образами цих т. будуть т. з коорд.. але в R’. Єдиність: припуст що -проект перетв пл. які задов умові теореми . Розгл пр А1А2 і нех Е3=А1А2 А3Е тоді за умовою ,
де Розгл т.М на пр А1А2 і позначемо .За означ зберігає відношення 4-ох точок:
.Розгл випадок т.М міститься поза коорд прими.Через т.М проведемо пр яка перетне коорд вісі в точках P,Q,R-лежать на коорд вісях
. Якщо ж одержимо
Отже
т.М пл., отже Доведено
Щоб одержати ф-ли аналіт задання скорист попер теоремою тоді аналог до випадків рухів і афінних перетв пл. одержимо:
.В матричному вигляді: ,де
А-матриця переходу, - коеф пропорційності.
Познач - м-ну всіх проект перетвор пл.. Задамо на Ф композицію перетворень і покажемо що побудована алгебра є групою: 1. композиція перетворень є асоціативною операцією, отже і проект перетворень теж 2. тотожнє перетворення є проект і відіграє роль нейтрального елемента. 3. перетворення обернене до проективного є проективним. 4. композиція проект перетв є проект перетворенням так як при виконанні 2-ох проект перетв послідовно не зміниться а ні належність точок до пр а ні їх складне відношення. Таким чином маємо групу проект перетв пл.