1. Что понимается под задачей синтеза дискретного фильтра?

Под синтезом дискретного фильтра понимается выбор таких наборов коэффициентов , при которых характеристики проектируемого фильтра удовлетворяют заданным требованиям. Строго говоря в задачу синтеза также входит и выбор подходящей структуры фильтра с учётом конечной точности вычислений.

2. Может ли частотная характеристика дискретного фильтра в точности совпадать с частотной характеристикой аналогового прототипа? Почему?

Нет, не может. При синтезе ДФ по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(p) в функцию передачи ДФ H(z). Получившийся ДФ не может быть полностью идентичен аналоговому прототипу хотя бы потому, что частотные характеристики ДФ являются периодическими. Можно лишь говорить об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров.

3. Опишите процедуру синтеза дискретного фильтра по аналоговому прототипу методом билинейного z-преобразования.

Операторный коэффициент передачи аналогового фильтра представляет собой дробно-рациональную функцию . Для дискретного фильтра осуществляется переход в z-область, функция передачи ДФ также представляет собой дробно-рациональную функцию(но по переменной z). Чтобы частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров были связаны простой зависимостью, искомая замена переменной должна отображать мнимую ось в p-области на единичную окружность в z-области. Тогда частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров будут связаны лишь трансформацией частотной оси. Простейшей функцией, удовлетворяющей этим требованиям, является билинейное преобразование:

4. Приведите формулу, описывающую трансформацию частотной оси при билинейном z‑преобразовании.

, где - частота аналогового сигнала, - частота дискретизации.

5. Накладывает ли метод билинейного z-преобразования какие-либо ограничения на тип ачх синтезируемых фильтров? Если да, то какие именно?

Да, накладывает. Исходя из типа АЧХ фильтра, необходимо учитывать следующее соответствие между частотными характеристиками аналогового и дискретного фильтров:

, тогда если , то , поэтому в области НЧ частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров почти совпадают. Далее, по мере роста функции тангенса, ЧХ будет сильнее сжиматься по горизонтали и на частоте Найквиста примет значение, которое ЧХ аналогового фильтра имела бы на бесконечной частоте. Выше сказанное проиллюстрируем на рисунке ниже:

6. У какого фильтра нижних частот крутизна спада АЧХ больше — у аналогового прототипа или у дискретного фильтра, синтезированного по этому прототипу методом билинейного z-преобразования? Ответ обосновать.

Частотные характеристики аналогового K_A(w) и дискретного K_Д(w) фильтров связаны друг с другом трансформацией частотной оси:

На низких частотах, когда wT<<1 тангенс примерно равен своему аргументу, поэтому в области НЧ АЧХ аналогового и дискретного фильтров почти совпадают. По мере роста ускорения функции тангенса, частотная характеристика дискретного фильтра все сильнее сжимается по горизонтали (по сравнению с прототипом). Т.е. АЧХ дискретного идет круче.

7. На каких частотах дискретный фильтр, синтезированный методом билинейного z‑преобразования, имеет такой же комплексный коэффициент передачи, как аналоговый прототип при частоте, стремящейся к бесконечности?

Частотные характеристики аналогового K_A(ω) и дискретного K_Д(ω) фильтров связаны друг с другом трансформацией частотной оси:

На частоте Найквиста, равной π/Т, ЧХ дискретного фильтра достигает значения, которое частотная характеристика аналогового фильтра имела бы на бесконечной частоте. И соответственно такие же значения она будет иметь на частотах: