19. Коливальні типові динамічні ланки в лінійних сау.

а).Колебательное звено.

В этом случае z<1 и корни комплексно- сопряженные. Решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид

Произвольные постоянные С1 и С2 вычисляются, как известно, по начальным условиям и если последние нулевые то

В этих выражениях

Тогда выражение для переходной функции колебательного звена после элементарных преобразований примет вид

. (2.5)

Продифференцировав это выражение, получим функцию веса звена

(2.6)

Вид переходной функции и функции веса колебательного звена показаны на рисунках 2.8 и 2.9.

Рис. 2.8. Переходная функция Рис. 2.9. Функция веса колебательно- колебательного звена. ного звена.

Определим частотные характеристики звена.

В соответствии с изложенной выше методикой вычисления частотных характеристик, получим

Проанализируем последнее выражение. Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена показана на рис. 2.10.

Рис. 2.10. АФЧХ колебательного звена.

Из выражения (2.8) следует

Из рисунка 2.10 следует, что при w>1/T , пользуясь формулой (1.36) будем вычислять не фазовый сдвиг, а некоторый угол a(w), являющийся только добавкой к действительному фазовому сдвигу фазовому, который в данном случае равен Окончательно для ФЧХ колебательного звена получим

(2.9)

Рис. 2.11. АЧХ колебательного звена Рис. 2.12. ЛЧХ колебательного звена

Для логарифмической амплитудной характеристики можно записать

При w<1/T получим, что w²T²<<1 и 4T²z²w²<<1. Тогда в этом диапазоне частот ЛАХ звена можно считать равной L(w)=20lgk. Это уравнение прямой, параллельной оси частот. При w>1/T с достаточной для практики точностью справедливы соотношения: w²T²>>1 и (w²T²)²>>4T²z²w². В этом частотном диапазоне можно считать L(w)=20lgk- 40lgTw. Это уравнение прямой имеющей наклон -40дб/дек и начинающейся при частоте w0 = 1/T (рис. 2.12). В окрестности этой точки точная ЛАХ при малых значениях показателя затухания z может сильно отличаться от асимптотической. В этих случаях необходимо уточнить асимптотическую ЛАХ в окрестности частоты сопряжения. Для решения этой задачи разработаны специальные таблицы и графики.

Показанная на рисунках резонансная частота wр может быть вычислена по формуле

В этой точке

(2.10)

Из выражения (2.7) для АЧХ видно, что при T= const амплитуда колебаний на выходе звена тем меньше, чем больше величина z. В тоже время частота колебаний b с увеличением z так же уменьшается и при z=1 становится равной нулю. Таким образом увеличение z приводит к затуханию колебательного процесса и, с этой точки зрения, параметр z получил название относительного показателя затухания.

20. Реальна та ідеальна інтегруючі типові динамічні ланки в лінійних сау.

Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt = k u(t),

т.е. скорость изменения выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

Общее решение: y(t) = y(0) + t0k u() d.

3/5/7a

Пример реализации звена – интегрирующая емкость (рис. 3.5.7а).

3/5/6

Передаточная функция звена: W(p) = k/p.

Переходная характеристика при u(t) = 1(t) и ну-левых начальных условиях (рис. 3.5.6):

H(t) = k 

t

0

1() dkt. H(p) = k/p2.

Весовая функция при u(t) = (t) и нулевых на-чальных условиях (рис. 3.5.6):

h(t) = k 1(t). h(p) = k/p.

АФЧХ интегратора: W(j) = k/j= -jk/= k exp(-j/2)/.

Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усили-вает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 3.5.7) расположен вдоль отрицатель-ной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -π/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90о. Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от значения ∞, стремясь к 0. Коэффи-циент усиления бесконечно малых частот тео-ретически неограничен.

ЛАЧХ интегратора:

L() = 20 lg |W(j| = 20 lg k – 20 lg .

Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте = k.

При k = 1 звено представляет собой ―чистый‖ интегратор W(p) = 1/p. Интегри-рующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирую-щих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

3/5/7

Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.8) описывается дифференциальным уравнением: T d2y(t)/dt2 + dy(t)/dt = k u(t).

3/5/8

Передаточная функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

Для нахождения временных ха-рактеристик звена удобно представить передаточную функцию в виде суммы:

W(p) = k/p – kT/(1+Tp).

Соответственно, решение урав-нения будет складываться в виде сум-мы решений для идеального интегри-рующего звена и апериодического зве-на первого порядка. Переходная харак-теристика:

H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).

Весовая функция:

h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).

Частотные характеристики звена:

L() = 20 lg [k/(2T)(1 )].

График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые

L1() = 20 lg(k) – 20 lg(), < 1/T,

L2() = 20 lg(k/T) – 40 lg(), > 1/T,

с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.__