Циркуляция поля. Ротор поля.

!Пусть векторное поле образовано вектором .

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.

Циркуляцией вектора вдоль кривой , называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру от вектор - функции .

Ц=

Другое обозначение Ц= (dr={dx,dy,dz}, скалярное произведение)

Физический смысл циркуляции: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль контура L.

Циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.

При этом важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в пространстве.

Пример: найти циркуляцию поля по контуру окружности , расположенной в плоскости Оxy.

(знак минус указывает на то, что контур в данном поле будет вращаться в направлении, противоположном принятому за положительное.)

Если этот же контур поместить в поле этого вектора, но в плоскости параллельной плоскости Оxz, то вектор в любой точке плоскости будет иметь одно и тоже значение, циркуляция будет равна нулю.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор, определяемый формулой

В символическом виде

Направление ротора - это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по направлению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площади S.

Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.

Пример: найти поле линейной скорости материальной точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью вокруг оси Oz.

Решение: угловую скорость представим в виде вектора лежащего на оси Оz, направленной вверх.

Имеем =(o,o,ω) =ω

Построим радиус вектор точки М.

Численное значение линейной скорости (из курса физики) ,где - расстояние вращающейся точки М от оси вращения. Но = , следовательно , т.е.

.

поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское поле.

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения.

Специальные виды векторных полей.

Соленоидальное поле.

Поле вектора называется соленоидальным или трубчатым, если во всех его точках дивергенция поля равно нулю.

div =0 (нет источников и стоков).

Отличительная особенность соленоидального поля состоит в том, что в таком поле векторные линии нигде не кончаются и нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются.

Поле электрической напряженности точечного заряда является соленоидальным, векторными линиями являются лучи, выходящие из точки размещения заряда и уходящие в бесконечность.

В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, а поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, называющееся интенсивностью трубки.