1.3. Вычисление ошибки репрезентативности д ля собственно случайной выборки
В качестве данных параметров выступают математическое ожидание, дисперсия, показатели асимметрии и эксцесса. Однако в психолого-педагогических исследованиях оперируют не параметрами, а их приближенными значениями, которые называются оценками параметров. Это обусловлено тем, что при помощи выборочного метода нельзя получить абсолютно точную оценку наблюдаемого признака, то есть существует вероятность ошибки.
Вычисление ошибки репрезентативности предполагает определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном (неизвестном) значении среднеквадратического отклонения σ этого распределения.
Поясним на примере смысл, который имеет
заданная надежность
:
если произведено достаточно большое
число выборок, то надежность γ=0,95
указывает, что в 95% из них параметр
действительно заключен в доверительный
интервал; лишь в 5% случаев он может выйти
за границы данного интервала.
Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 49 человек. Студентам данной выборки был предложен тест. Фиксировалось время выполнения теста. Среднее значение времени по выборке составило 3,9 минут, а среднее квадратическое отклонение - 3 минуты. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а, если задана надёжность оценки γ=0,95.
Найдем t.
Из соотношения 2Ф(t)=0,95
получим Ф(t)=0,475.
По таблице функции Лапласа находим
t=1,96.
Найдем точность оценки:
0,84.
Доверительный интервал: (3,9–0,84; 3,9+0,84) или (3,06; 4,74).
Пример. Пусть была произведена выборка студентов в количестве 784 человек. Средний возраст по выборке - 20 лет, среднеквадратическое отклонение - 2 года. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а, если задана надёжность оценки γ=0,95.
Найдем t.
Из соотношения 2Ф(t)=0,95
получим Ф(t)=0,475.
По таблице функции Лапласа находим
t=1,96.
Найдем точность оценки:
0,14.
Доверительный интервал: (20–0,14; 20+0,14) или (19,86; 20,14).
Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 50 человек. Данные студенты должны были решить задачу несколькими способами. Полученные результаты представлены в таблице.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
mi |
5 |
15 |
15 |
5 |
10 |
Оценить неизвестное математическое среднее ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Найдем выборочную среднюю и исправленное среднеквадратическое отклонение:
.
.
Используя «Таблицу
значений
»
по заданным n и
γ найдем
tγ=2,009.
Точность оценки
вычислим по формуле:
.
Доверительный интервал: (2,6–0,4018; 2,6+0,4018) или (2,1982; 3,0018).
Пример. Была проведена выборка студентов в количестве 50 человек. Данные студенты должны были решить тест. Результаты исследования длительности выполнения тестового задания (в минутах) представлены в группированном виде:
|
[24; 32) |
[32; 40) |
[40; 48) |
[48; 56) |
[56; 64) |
[64; 72) |
[72; 80] |
mi |
2 |
4 |
10 |
15 |
11 |
5 |
3 |
Построить доверительный интервал с надежностью 0,99 для средней длительности выполнения тестового задания.
Найдем выборочную среднюю и исправленное среднеквадратическое отклонение:
.
.
Используя «Таблицу значений » по заданным n и γ найдем tγ=2,679.
Точность оценки вычислим по формуле:
.
Доверительный интервал: (48,603; 57,317).