1.2.2 Мера изменчивости
М
ера
изменчивости может быть представлена
в виде мер
рассеяния и формы.
Для определения меры рассеивания служат размах варьирования, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
В
ыявить
и оценить степень влияния некоторого
фактора на изменчивость изучаемого
признака можно при помощи дисперсионного
анализа.
Чем больше величина дисперсии, тем больше отклонения значений от среднего, а следовательно, больше изменчивость признака.
В психолого-педагогических исследованиях предпочтительнее использовать среднеквадратическое отклонение, так как дисперсия выражает изменчивость в квадратах исходных единиц измерения признака, а среднеквадратическое отклонение – в исходных единицах.
Однако на практике чаше используются
«исправленная» дисперсия
и
«исправленное» среднеквадратическое
отклонение
.
Пример. Известно распределение исследовательских работ первой категории студентов АГУ по специальностям в 2010 году:
Количество работ первой категории |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
12 |
Количество специальностей |
2 |
3 |
5 |
4 |
7 |
8 |
5 |
1 |
Дайте характеристику распределения признака (число исследовательских работ студентов по специальностям).
Найдем моду, медиану, выборочное среднее арифметическое значение признака, размах варьирования, дисперсию, среднеквадратическое отклонение:
Мода =6.
Количество
респондентов данной выборки
.
Медиана
.
Выборочное среднее арифметическое значение:
=
.
Размах варьирования:
.
Выборочная
дисперсия
:
.
Выборочное среднеквадратическое
отклонение:
.
Пример. Была произведена выборка студентов в количестве 100 человек, которым предложен тест. Время выполнения теста представлено в таблице:
время (мин.) |
[154-158) |
[158-162) |
[162-166) |
[166-170) |
[170-174) |
[174-178) |
[178-182) |
Количество респондентов |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
Найдите выборочную среднюю и выборочное среднеквадратическое отклонение времени выполнения теста.
В качестве
примем середины интервалов и найдем
выборочную среднюю времени выполнения
теста:
.
Выборочная дисперсия:
.
Среднеквадратическое
отклонение:
.
Если все значения количественного признака разбиты на k групп, то рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию.
Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней.
Пример. В двух группах студентов была проведена контрольная работа, состоящая из 5 заданий. Количество выполненных заданий в каждой группе представлено в таблицах:
Первая группа.
Количество выполненных заданий |
2 |
3 |
4 |
5 |
Количество респондентов |
4 |
12 |
17 |
7 |
Вторая группа.
Количество выполненных заданий |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Количество респондентов |
1 |
4 |
16 |
13 |
1 |
Найти групповые, внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из следующих двух групп:
Найдем общую и групповые средние:
;
;
.
Найдем искомые:
а) групповые дисперсии:
;
;
б) внутригрупповую дисперсию:
.
в) Найдем межгрупповую дисперсию:
.
Пример. Были обследованы три группы по 10 респондентов на предмет воздействия различных методик, направленных на развитие коммуникативного навыка. Измерения проводились по 10-балльной шкале и представлены в таблице:
1 методика |
2 методика |
3 методика |
|||
№ респондента |
Уровень коммуникативного навыка |
№ респондента |
Уровень коммуникативного навыка |
№ респондента |
Уровень коммуникативного навыка |
1 |
6 |
1 |
5 |
1 |
5 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
5 |
5 |
4 |
5 |
4 |
6 |
6 |
6 |
4 |
6 |
3 |
7 |
4 |
7 |
3 |
7 |
2 |
8 |
6 |
8 |
5 |
8 |
4 |
9 |
5 |
9 |
3 |
9 |
4 |
10 |
5 |
10 |
5 |
10 |
3 |
Провести дисперсионный анализ данных можно с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмента «Однофакторный дисперсионный анализ». Для его осуществления необходимо: 1) не менее трех градаций фактора; 2) не менее двух испытуемых в каждой группе.
Группы |
Счет |
Сумма |
Среднее |
Дисперсия |
Столбец 1 |
10 |
48 |
4,8 |
1,066667 |
Столбец 2 |
10 |
38 |
3,8 |
1,511111 |
Столбец 3 |
10 |
37 |
3,7 |
1,344444 |
Источник вариации |
сумма квадратов отклонения SS |
число степеней свободы df |
дисперсия
|
|
P-значение |
|
Между группами |
7,4 |
2 |
3,7 |
2,830028 |
0,076592 |
3,354131 |
Внутри групп |
35,3 |
27 |
1,307407 |
|
|
|
Итого |
42,7 |
29 |
|
|
|
|
Сопоставляются три различные группы людей, поэтому любые различия в показателях признака, обусловлены: 1) между группами – различными для каждой группы факторами (различными методиками); 2) внутри каждой группы – индивидуальными различиями между отдельными испытуемыми.
Внутригрупповая изменчивость выше, чем межгрупповая, поэтому можно говорить о том, что влияние различных методик на уровень коммуникативного навыка, прежде всего, обусловлено индивидуальными различиями самих испытуемых, нежели отличиями самих методик.
Пример. В таблице приведены данные о количестве студентов в 20 группах педагогического факультета:
26 |
25 |
28 |
19 |
19 |
25 |
24 |
26 |
26 |
23 |
26 |
28 |
30 |
25 |
26 |
24 |
24 |
18 |
25 |
28 |
Найти вариационный ряд количества студентов в группах и размах варьирования. Построить полигон частот.
Решение. Записывая исходные данные в порядке возрастания, составим вариационный ряд:
хi |
18 |
19 |
23 |
24 |
25 |
26 |
28 |
30 |
ki |
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
3 |
1 |
Размах варьирования
.
Для построения полигона частот обозначим на оси абсцисс возможные значения признака, а на оси ординат соответствующие частоты ki и полученные точки соединим отрезками.
Пример. Студентам был дан тест из 50 заданий. Оценка теста проводилась по количеству правильно решенных заданий и дала следующие результаты:
Количество баллов |
27 |
38 |
40 |
41 |
42 |
44 |
45 |
46 |
47 |
49 |
Количество студентов |
1 |
6 |
8 |
4 |
15 |
18 |
11 |
9 |
5 |
3 |
Запишите вариационный ряд количества студентов по количеству набранных баллов, и постройте полигон относительных частот.
.
Количество баллов |
27 |
38 |
40 |
41 |
42 |
44 |
45 |
46 |
47 |
49 |
Количество студентов |
1 |
6 |
8 |
4 |
15 |
18 |
11 |
9 |
5 |
3 |
Относительная частота fi |
0,0125 |
0,075 |
0,1 |
0,05 |
0,1875 |
0,225 |
0,1375 |
0,1125 |
0,0625 |
0,0375 |
Основное значение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется в качестве оценки функции распределения F(x) = P(X < x).
Пример. От каждого факультета на конференцию было делегировано следующее количество студентов: 5, 1, 2, 1, 1, 2, 5, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 2, 1, 5. Построить эмпирическую функцию распределения.
Найдем сначала статистический ряд распределения числа студентов, принявших участие в конференции.
|
1 |
2 |
4 |
5 |
8 |
fi |
|
|
|
|
|
Запишем эмпирическую функцию распределения:
1
1 2 3 4 5 6 7 8
Пример. В процессе исследования было зафиксировано время ( в минутч) решения задачи студентами группы «1 А» педагогического факультета: 10, 10, 10, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 20, 24, 30, 30, 35. Постройте таблицу сгруппированных частот и гистограмму.
Размах варьирования
.
В нашем случае область значений Х удобно
разбить на интервалы
равной длины – 5 минут.
Номер интервала |
Границы интервала
|
Число элементов выборки, попавших в указанный интервал
|
Плотность относительной частоты
|
1 |
[10; 15) |
9 |
0,36 |
2 |
[15; 20) |
11 |
0,44 |
3 |
[20; 25) |
2 |
0,08 |
4 |
[25; 30) |
0 |
0 |
5 |
[30; 35] |
3 |
0,12 |
5 10 15 20 25 30 35
Кумулята распределения является графиком, отражающим функцию распределения случайной величины.
Пример. На факультете иностранных языков преподавательский состав характеризуется по стажу работы следующим образом: до 2-х лет - 6 человек, от 2 до 5 - 7, от 5 до 10 - 21 человек, от 10 до 20 - 59 человек, свыше 20 - 16. Постройте таблицу сгруппированных частот и кумулянту распределения стажа работы сотрудников данного факультета.
Номер интервала |
Границы интервала
|
Число элементов выборки, попавших в указанный интервал
|
Плотность относительной частоты
|
Накопительная частота fi(cum) |
1 |
(0; 2] |
6 |
0,055 |
0,055 |
2 |
(2; 5] |
7 |
0,064 |
0,119 |
3 |
(5; 10] |
21 |
0,193 |
0,312 |
4 |
(10; 20] |
59 |
0,541 |
0,853 |
5 |
более 20 |
16 |
0,147 |
1,000 |
Если полигон асимметричен, то одна из его ветвей, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая. При положительном значении коэффициента распределения более пологий «спуск» полигона наблюдается справа. В противном случае – слева. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. Асимметрия менее 0,5 считается малой (малыми значениями можно пренебречь).
Эксцесс нормального распределения равен 0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса – более крутой. Отрицательным пределом величины эксцесса является число –2, положительный предел – не существует. На практике для генеральных совокупностей больших объемов малыми значениями эксцесса можно пренебречь.
Пример. Была обследована группа из 20 человек с целью определения у них уровня развития лидерских способностей. Измерения проводились по 10-балльной шкале и представлены в таблице:
№ респондента |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
уровень развития лидерских способностей |
6 |
3 |
4 |
4 |
5 |
6 |
4 |
6 |
5 |
5 |
№ респондента |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
уровень развития лидерских способностей |
5 |
1 |
4 |
4 |
4 |
4 |
3 |
5 |
3 |
5 |
Провести полный анализ данных можно с помощью программы «Анализ данных в EXCEL», инструмента «Описательная статистика». В результате данной операции можно получить следующие данные:
Среднее |
4,3 |
Интервал |
5 |
Стандартная ошибка |
0,272416 |
Минимум |
1 |
Медиана |
4 |
Максимум |
6 |
Мода |
4 |
Сумма |
86 |
Стандартное отклонение |
1,218282 |
Счет |
20 |
Дисперсия выборки |
1,484211 |
Наибольший(1) |
6 |
Эксцесс |
1,501552 |
Наименьший(1) |
1 |
Асимметричность |
-0,83829 |
Уровень надежности(95,0%) |
0,570173 |