КАРТОГРАФИЯ Лекция №2

Математическая основа карт.

Известно, что земля шарообразна, т.е. не обладает формой идеального шара. Фигура ее неправильна, она немного приплюснута у полюсов. Сложную фигуру нашей планеты, ограниченную уровенной поверхностью океана, называют геоидом. Точно определить его форму невозможно, но современные высокоточные измерения со спутников позволяют иметь о нем довольно хорошее представление. Наилучшее геометрическое приближение к реальной фигуре Земли дает элипсоид вращения - геометрическое тело, которое образуется при вращении эллипса вокруг малой оси.Вычисление и уточнение размеров земного эллипсоида, начатое еще в ХVΙΙΙ в., продолжается по сей день. Теперь для этого используются спутниковые наблюдения и точные гравиметрические измерения. Но и в этом случае, многие исследователи, пользуясь разными исходными знаками и методиками расчета, получают неодинаковые результаты. Поэтому исторически сложилось так, что в разные времена и в разных странах были приняты и законодательно закреплены различные эллипсоиды, и их параметры не совпадают между собой.

В России принят референц элипсоид Ф. Н. Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры:

Большая полуось (а) – 6378245 м.

Малая полуось (b) - 6356863 м.

Коэффициент сжатия (α = а – b /a = 1: 298.3)

В 1984 году на основе спутниковых измерений вычислен международный элипсоид WGS – 84 (World Geodetic System). Всего в мире насчитывается около полутора десятков разных эллипсоидов, которые приведены в таблице №1.

Карты, составленные на основе разных эллипсоидов, получаются в различающихся между собой координатных системах, что создает неудобство при их сопоставлении. Несовпадения бывают особенно заметны на крупномасштабных картах, при определении по ним точных координат объектов. Но на широко применяемых географами средне и мелкомасштабных картах такие различия не очень чувствительны.

Более того, иногда вместо эллипсоида берется шар, и средний радиус Земли принимается равным R = 6367,6 км. Погрешности при замене эллипсоида на шар оказываются, столь малы, что не проявляются на большинстве географических карт.

Значение элементов земных референц-эллипсоидов (по Л. Н. Бугаевскому, 1998)

Референц эллипсоид	Полуоси		Коэффициент Полярного сжатия α.	Страны, где используется референц эллипсоид.
	Большая а (м).	Малая b (м).
Красовского (1940)	6378245	6356863	1:298.3	Россия, страны СНГ, страны Восточной Европы, Антарктида.
Бесселя (1841)	6377397.2	6356079	1:299.15	Европа и Азия
Кларка Ι (1866)	6378206	6356584	1:294,98	Северная и Центральная Америка
Эвереста (1956)	6377301.24	6356100	1:300.80	Индия, Непал.
WGS - 84	6378137	6356752	1:298.257
ПЗ - 90	6378136	6356751	1:298.258	Россия

Таблица №1

МАСШТАБЫ КАРТ

Масштаб карты это степень уменьшения объектов на карте относительно их размеров на земной поверхности (точнее на поверхности референц эллипсоида).

Масштаб постоянен только на топографических планах, охватывающих небольшие участки земной поверхности. На географических картах масштаб меняется от точки к точке и даже в одной точке по разным направлениям, что связано с переходом от сферической поверхности планеты к плоскому изображению. Поэтому различают главный и частный масштабы карты.

Главный масштаб карты.

Главный масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры на карте уменьшены по отношению к эллипсоиду или шару. Этот масштаб подписывается на карте, но необходимо отметить, что он справедлив лишь для отдельных линий и точек, где искажения отсутствуют.

Частный масштаб.

Частный масштаб отражает соотношения размеров объектов на карте и эллипсоиде (шаре) в данной точке. Он может быть больше или меньше главного. Частный масштаб длин μ показывает отношение бесконечно малого отрезка на карте ds’ к длине бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида или шара. А частный масштаб площадей р передает аналогичные соотношения бесконечно малых площадей на карте dp’ и эллипсоиде или шаре dp.

μ = ds’ / ds; p = dp’ / dp.

В общем случае, чем мельче масштаб картографического изображения и чем обширнее территория, тем сильней оказываются различия между главным и частным масштабами.

Для того, чтобы исключить искажения в длинах линий и площадей в них необходимо вносить поправки, связанные с изменением масштаба карты. Например: в проекции Гаусса – Крюгера (Г – К) абсциссы и ординаты в каждой зоне, после показа их на плоскости имеют одинаковые значения. Для того чтобы знать к какой координатной зоне относятся плоские прямоугольные координаты точки, к ординате зоны приписывают номер зоны. Например: ордината точки 1 равна 6420095, это означает, что точка 1 находится в шестой зоне проекции Гаусса – Крюгера.

Для исключения из обращения отрицательных ординат ко всем ординатам добавляют число 500000 м. В результате получают число, представляющее собой условную ординату. Например: действительная ордината точки 1 равна

420095 – 500000 = - 79950 м. Это означает, что точка 1 расположена к западу от осевого меридиана на расстоянии 79950 м.

Номер зоны и долгота осевого меридиана L0, выраженная в градусах, связаны между собой равенством L0 = 6°N - 3°. Например: долгота осевого меридиана зоны, в которой находится точка 1, равна, L0 = 6°N - 3°= (6°· 6) -3° = 33°.

В проекции Гаусса – Крюгера сохраняется подобие бесконечно малых фигур при переходе с эллипсоида на плоскость. Из подобия фигур следует, что их соответствующие стороны будут пропорциональны. Примем, что расстояние между точками 1 и 2 на эллипсоиде равно S, тогда на плоскости в проекции Гаусса – Крюгера расстояние между соответствующими точками Sr будет равно:

Sr = S где Ym = – ордината средней точки линии 1-2,

R = 6371 км (радиус Земли).

Разность ∆S = Sr – S называют поправку в длину линий при переходе с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса – Крюгера.

∆S = S·

Расстояние в проекции будет всегда больше расстояния на эллипсоиде. Для расстояний, расположенных на осевом меридиане, ∆S = 0. По мере удаления от осевого меридиана эта поправка возрастает и достигает максимальных значений на краю 6° зоны. Например: координата точки 1 (У1= 6420095), координата точки 2 (Y2 = 6420825), тогда Ym = (420095 + 420825) / 2 = 420460 – 500000 = -79540 м. = - 79.54 км. Длина линии на карте равна Sr = 970 м. Чему рана длина линии на местности? S = Sr - ∆S, S = Sr / = 969.92 м. ∆S = 969.92 – 970 = -0.08 м.

Относительное искажение длины линии равно:

В проекции Гаусса – Крюгера помимо искажения длин линий, получается искажение площадей фигур (участков земной поверхности). Если площадь участка на эллипсоиде равна Р, то соответствующая ему площадь на плоскости в проекции Г-К равна:

P_r = P

Разность ∆Р = Р_r – P называют поправкой за искажение площади при переходе от с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Г – К.

∆P = P ·

Где Ym – ордината средней точки участка.

Для земельного участка расположенного вблизи осевого меридиана, поправка

∆Р = 0. По мере удаления от осевого меридиана, поправка за искажение площади будет заметно возрастать.

Например: площадь участка 1-2-3 равна 30.86 га,

Ym = 420651 - 500000 = - 79350 м = - 79.35 км.

Примем при расчетах, что Pr , тогда ∆Р = 30.86 · = 0.002 га.

Относительное искажение площади равно: =

Лекция №3

Картографические проекции.

Картографическая проекция – это математически определенное отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскость карты.

Проекция устанавливает однозначное соответствие между геодезическими координатами (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами (Х, Y) на карте. Уравнение проекции в общем виде выглядит довольно просто:

Х = ƒ₁(B, L); Y = ƒ₂(B, L).

Конкретные реализации функций ƒ₁ и ƒ₂ часто выражены довольно сложными математическими зависимостями, их число бесконечно, а следовательно разнообразие картографических проекций практически неограниченно.

Теория картографических проекций составляет главное содержание математической картографии. В этом разделе разрабатывают методы изыскания новых проекций для разных территорий и разных задач, создают приемы и алгоритмы анализа проекций, оценки распределения и величин искажений. Особый круг задач связан с учетом этих искажений при измерениях по картам, переход из одной проекции в другую и т. п. Компьютерные технологии позволяют рассчитать проекции с заданными свойствами.

Исходная аксиома при изыскании любых картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя

развернуть на плоскости без искажений. Неизбежно возникают деформации – сжатия и растяжения, различные по величине и направлению. Именно поэтому на карте возникает непостоянство масштабов длин и площадей.

В картографической проекции могут присутствовать следующие виды искажений:

Искажение длин – вследствие этого масштаб карты непостоянен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены.

Искажение площадей – масштаб площадей в разных частях карты различен, что является прямым следствием искажения длин и нарушает размеры объектов.

Искажение углов – углы между направлениями на карте искажены относительно углов на местности.

Искажение форм – Фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с искажением углов.

Любая бесконечно малая окружность на шаре (эллипсоиде) предстает на карте бесконечно малым эллипсом, который называют эллипсом искажения. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров. Его размеры и форма отражают искажение длин, площадей и углов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и параллели - направление наибольшего растяжения. Большая ось эллипса искажений характеризует максимальное растяжение в данной точке, а малая ось наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридианов и параллелей соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану m и параллели n.

Рис.1. Эллипс искажений, характеризующий искажение масштабов в данной точке (центр эллипса). а – направление наибольшего растяжения масштаба; b – направление наибольшего сжатия масштаба; m- масштаб по меридиану, n - масштаб по параллели.

Определив значения m и n, а также измерив угол Θ, под которым пересекаются на карте меридиан и параллель, можно затем рассчитать значения наибольшего(а) и наименьшего (b) частного масштаба длин, частный масштаб площадей (р) в данной точке, а также искажения углов ω по формулам:

p = m · n · sin Θ

a + b =

a - b =

Sin

Если главные оси ориентированы по меридиану и параллели, то a = m, b = n, либо a = n и b = m, р = m · n.

Значения m, n, a, b и р измеряют в процентах или в долях % от главного масштаба.

В некоторых проекциях существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты – это линии и точки нулевых искажений. Для наиболее употребляемых проекций существуют вспомогательные карты, на которых показаны эти линии и точки, а кроме того проведены изоколы – линии равных искажений длин, площадей углов или форм. При определении искажений в заданной точке можно воспользоваться картами изокол, либо провести несложные измерения, а затем вычисления, по приведенным ранее формулам.