ЛЕКЦИЯ 5

Лекция 5. Поверхности

Вопросы:

1.Основные понятия и определения. Условная классификация поверхностей.

2.Обзор некоторых поверхностей.

3.Задание и изображение поверхностей. Точка на поверхности.

4.Развертки поверхностей.

1 Основные понятия и определения. Условная классификация поверхностей

Поверхности являются наиболее сложными геометрическими объектами трехмерного пространства. Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от самой простой и элементарной геометрической поверхности – плоскости до сложнейших, причудливых форм, не поддающихся точному математическому описанию.

Поверхность - это множество последовательных положений некоторой линии, перемещающейся определенным образом в пространстве.

Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность называют образующей или производящей (l). Во время движения образующая может сохранять или изменять свою форму. Движение образующей может быть подчинено какому-либо закону или быть произвольным. В первом случае поверхность будет

закономерной, во втором – незакономерной (случайной).

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями – направляющими.

Направляющая (m) (направляющие) - это линия или линии,

пересечение с которыми является обязательным условием движения образующей при образовании поверхности.

На рис. 64 показана поверхность, образованная перемещением образующей l по направляющей m. При своем движении образующая остается параллельной направлению S.

Одна и та же поверхность в ряде случаев может рассматриваться как образованная движением различных образующих. Например, круговой цилиндр может быть образован: во-первых, вращением прямой относительно неподви-

-поверхности винтовые (поверхности, образованные винтовым перемещением образующей).

3.По признаку развёртывания в плоскость:

-развёртывающиеся – поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

-неразвёртывающиеся – поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Условная классификация поверхностей

Рисунок 65

2 Обзор некоторых поверхностей

2.1 Гранные поверхности. Многогранники

Гранные поверхности – поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии.

находится в бесконечности.

Из числа гранных поверхностей выделяют группу многогранников.

Многогранник - это тело, ограниченное замкнутой многогранной поверхностью.

Многогранники широко распространены в природе (кристаллические решетки различных веществ, пчелиные соты), в технике (детали машин и механизмов), в строительстве (складчатые покрытия зданий, конструктивные элементы зданий) и т.д.

Из всего многообразия многогранников наибольший интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники.

ник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Многоугольная грань пирамиды называется основанием, треугольные

– боковыми гранями. Общая вершина треугольников называется

вершиной пирамиды.

Многогранник является метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы – конгруэнтными правильными многогранными

2.2 Линейчатые поверхности развертываемые (торсовые)

Торс – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, которая во всех положениях является касательной к некоторой пространственной кривой (m), называемой ребром возрата.

Примерами торсовых поверхностей являются конические и цилиндрические поверхности.

Цилиндрическая поверхность

образуется движением прямой, скользящей по некоторой неподвижной кривой m - направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению S (рис. 70). Линия пересечения данной поверхности с плоскостью проекций, называется

следом поверхности на этой плоскости.

Часть цилиндрической поверхности, ограниченная двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром.

Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, называется нормальным. Если нормальным сечением является круг — цилиндр будет круговой, если эллипс — цилиндр будет эллиптический, парабола — параболический,

гипербола — гиперболический. Если нормальное сечение есть геометрически неопределенная кривая, будет цилиндр общего вида.

Цилиндрические поверхности бывают замкнутыми (например, эллиптический цилиндр) и разомкнутыми (параболический, гиперболический).

Если за основание цилиндра принято его нормальное сечение — это прямой цилиндр, если какое-либо косое сечение — наклонный.

Коническая поверхность

(рис. 71) образуется движением образующей – прямой l по некоторой кривой - m. При этом образующая во всех своих положениях должна проходить через неподвижную точку (S) — вершину конической поверхности.

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом.

Под нормальным сечением конической поверхности понимается сечение ее плоскостью,

перпендикулярной к оси. Осью же конической поверхности является линия пересечения ее плоскостей симметрии.

Если в нормальном сечении получается круг, коническая поверхность называется круговой. Конические поверхности (как и

цилиндрические) могут быть эллиптическими, параболическими и т. д. Конические поверхности, не имеющие оси (т. е. не имеющие двух и более плоскостей симметрии) называют коническими поверхностями общего вида.

2.3 Линейчатые поверхности неразвертываемые

Цилиндроид — это кривая прямолинейчатая поверхность, образованная движением прямой, скользящей по двум кривым направляющим (не лежащим в одной плоскости) и остающейся во всех по-

Коноид— это цилиндроид, одной из направляющих которого является прямая линия.

Линейчатый параболоид (или косая плоскость, или гиперболический параболоид)

— это поверхность, образованная в результате перемещения прямолинейной образующей по двум направляющим — скрещивающимся прямым параллельно некоторой плоскости параллелизма.

На рис. 73 направляющими являются прямые

АВ и CD, плоскостью параллелизма — плоскость проекций π1.

Однополостной гиперболоид рис. 74 - это поверхность, образованная перемещением прямой линии (образующей), пересекающей одновременно три скрещивающиеся прямые

линии (направляющие).

Рисунок 74

2.4 Винтовые поверхности

Винтовая поверхность образуется при движении прямолинейной образующей (l) по двум направляющим, одна из которых - винтовая линия (m), другая - ось винтовой линии (i), которую образующая пересекает под постоянным углом.

Прямая винтовая поверхность. У прямой винтовой поверхности угол между образующей (отрезком прямой) и осью винтовой линии равен 90°. Такая поверхность называется прямым геликоидом или винтовым коноидом (рис. 75).

Прямую винтовую поверхность используют в специальных винтах для преобразования вращательного движения в поступательное в точных винтовых передачах с большими осевыми усилиями, например, в прессах.

Косая винтовая поверхность. Если у винтовой поверхности угол между образующей и осью не равен 90°, то ее называют косой винтовой поверхностью или косым геликоидом (рис. 76).

Рисунок 75 Рисунок 76

2.5 Поверхности вращения

Поверхности вращения — это поверхности, образованные вращением некоторой образующей (прямой или кривой линии) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения.

Определитель поверхности включает в себя образующую и ось вращения.

окружности (рис.78, г) и открытым, если ось вращения находится за пределами окружности.

Поверхности вращения могут быть также образованы вращением эллипса, параболы, гиперболы:

Эллипсоид вращения — поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его большой или малой оси. Вытянутый эллипсоид вращения образован движением эллипса вокруг большой оси сжатый эллипсоид вращения – при вращении эллипса вокруг его малой оси.

которые можно выразить алгебраическим уравнением второй степени в прямоугольной системе координат). Сечением данных поверхностей любой плоскостью является кривая второго порядка .

Тор является поверхностью четвертого порядка.

3 Задание и изображение поверхностей. Точка на поверхности

Для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный.

Аналитический способ задания – поверхность рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Каркасный способ – поверхность рассматривается как совокупность достаточно плотной сети линий - каркаса.

Кинематический способ – поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии (образующей).

Каждый из перечисленных выше способов при построении чертежа поверхности имеет ряд недостатков (изображение поверхности множеством точек практически невозможно, так как точки заполнят поле чертежа и установить проекционную связь между проекциями отдельных точек будет сложно; аналогичная ситуация с каркасным способом задания поверхности). Изображение поверхности проекциями ее определителя не обладает достаточной наглядностью, поэтому при изображении ортогональных проекций поверхности вводятся дополнительные элементы: контур, очерк, видимость поверхности относительно плоскости проекций.