ЛЕКЦИЯ 3

Лекция 3 Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Вопросы:

1. Взаимное положение двух плоскостей:

- пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения; - пересечение двух плоскостей общего положения;

- параллельность двух плоскостей.

2. Взаимное положение прямой линии и плоскости - пересечение прямой линии с плоскостью частного положения;

- пересечение прямой линии с плоскостью общего положения; - параллельность прямой и плоскости; параллельность двух плоскостей; перпендикулярность двух плоскостей.

1 Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут принадлежать одна другой; быть параллельны или пересекаться.

Пересечение плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей – прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие двум плоскостям одновременно.

Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения

На рис. 27 показано построение линии пересечения фронтально-

Пересечение двух плоскостей общего положения

Согласно алгоритму решения задачи проводим вспомогательные секущие плоскости частного положения Q,

Р (Qπ2, Rπ2 – их фронтальные следы).

Вспомогательные (Q,Р) плоскости пересекают заданные плоскости по линиям А-1, 2-3 и 4-5, 6-7. В пересечении этих линий будут точки

М (М2;М1), N (N2;N1),

принадлежащие линии пересечения двух плоскостей.

На рис. 30, а плоскости общего положения P и Q заданы следами. Линия их пересечения МN пройдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей. В точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей, в точке М – горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые М2N2 и М1N1. На рис. 30,б показано построение линии пересечения плоскостей на эпюре.

Рисунок 30

Плоскости параллельны

Плоскости параллельны,

если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Изображенные на рис. 31 плоскости Р(n m) и Т(f ∩ d) параллельны, т.к.

n f (n2 f2; n1 f1) и

m d (m2 d2; m1 d1).

Рисунок 31

Плоскости общего положения также параллельны, если два любых одноименных следа параллельны между собой.

Изображенные на рис. 32 плоскости Р и Q параллельны, т.к.

Pπ1 Qπ1 ; Pπ2 Qπ2 .

Рисунок 32

2 Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость и быть параллельной плоскости.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Если заданная плоскость перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций (рис.33, а), то она проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, на которой обязательно будут находиться соответствующие проекции всех точек, принадлежащих данной плоскости, в том числе и проекции точки пересечения какой-то прямой с заданной плоскостью (точка встречи прямой с плоскостью). Поэтому точка встречи прямой с плоскостью частного положения находится па эпюре без дополнительных построений (рис. 33,б).

плоскостью, является невидимой и показана на эпюрах (рис. 33,б; 34) штриховой линией.

Определение видимости на эпюрах

Вопрос о видимости линий или поверхностей всегда может быть сведен к вопросу о видимости точек. Если несколько точек находятся на общей для них линии связи, то видимой будет только одна из них — наиболее удаленная от той плоскости проекций, по отношению к которой определяется видимость.

Точки, расположенные на одной линии связи, называются конкурирующими. Точки А, В и С, D — конкурирующие (рис. 35).

Относительно плоскости проекций π1 видимой будет точка A; относительно плоскости проекций π2 видимой будет точка D, т. е. относительно плоскости π1 видимой будет та точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси x, а относительно плоскости π2 видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси x. Аналогично: относительно плоскости π3 видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой будет находиться дальше от оси y.

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения (рис. 36) находят следующим образом:

определяем с помощью двух пар конкурирующих точек 1, 1' и 3, 3'. Рассматривая пару точек 1 и 1' , конкурирующих относительно горизонтальной плоскости проекций, видим, что точка 1' выше. Точка 1'ϵАВ, следовательно, прямая АВ расположена выше плоскости, поэтому относительно плоскости 1 часть прямой АВ (1' К1) видима, а ее часть К121 закрыта плоскостью.

Аналогично, используя конкурирующие точки 3 и 3' определяем видимость прямой АВ и плоскости по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Рисунок 37

Задачи, на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение

прямой с плоскостью.

Одна из изображенных на рис. 38 плоскостей задана треугольником ABC, а вторая — двумя параллельными прямыми e и f.

Линия пересечения этих плоскостей (линия MN) определена при помощи построения точек встречи прямых e и f с плоскостью треугольника. Для этого через прямую e проведена фронтально - проецирующая плоскость S. Прямая 1—2 — линия пересечения плоскости треугольника с вспомогательной фронтально - проектирующей плоскостью S. Точка М — точка встречи прямой e с плоскостью треугольника AB C .

Точка N1 найдена аналогично. Прямая MN — искомая. Видимость на рис. 86 определена из условия, что заданные плоскости ограничены треугольником и двумя параллельными прямыми, определяющими их.

Прямая параллельна плоскости.

Если прямая линия параллельна какой-либо прямой, находящейся в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, для построения прямой, параллельной заданной плоскости, надо взять в этой плоскости какую - либо прямую и построить ей параллельную.

На рис. 39 через точку С проведена прямая d, параллельная плоскости Р, заданной пересекающимися прямыми m и n.

Прямая d параллельна прямой n, принадлежащей плоскости P (m,n), следовательно, прямая d параллельна этой плоскости:

(d1 n1; d2 n2)  d P (m,n)

CDE (В2К2 f2 и В1К1 h1, где f и h — фронталь и горизонталь плоскости треугольника C D E) . Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми АВ и ВК — искомая.

Если возникает необходимость в построении взаимно перпендикулярных прямых общего положения, необходимо построить плоскость, перпендикулярную заданной прямой, и взять в ней любую прямую.

Задача.

Через точку М провести прямую, перпендикулярную прямой l.

Для построения взаимно перпендикулярных прямых (рис. 43), одна из которых l задана, а вторая (чтобы задача имела единственное решение) должна проходить через какую-либо определенную точку (М), надо выполнить следующее:

а) через заданную точку М проводим плоскость Q (h f), перпендикулярную заданной прямой

l (h1 l1 f2 l2);

б) находим точку пересечения

проецирующую плоскость Р); в) соединяем заданную точку

М с найденной точкой К прямой линией. Эта линия МК и будет искомой.

Задача.

Определить расстояние от точки до плоскости, заданной треугольником АВС (рис.44)

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому решение этой задачи выполняем в следующей последовательности:

1. Из точки D опускаем

перпендикуляр на плоскость треугольника АВС (рис.44, а), для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь (А212, А111) и