2. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока: однофазных и трехфазных

2.1 Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного тока

К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке 2.1, подключен источник синусоидального напряжения U = 32∙sin(ωt + 45°) В с частотой f = 50 Гц.

Параметры элементов схемы замещения: R1 = 7.5 Ом, R2 = 15 Ом, L1 = 23.8 мГн, L2 = 38.2 мГн, С1 = 42.5 мкФ, С2 = 199 мкФ. Выполнить следующее:

1. определить реактивные сопротивления элементов цепи;

2. определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;

3. записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4. составить баланс активных и реактивных мощностей;

5. построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

1) Реактивные сопротивления элементов цепи:

Ом

Ом

Ом

Ом

2) Расчет токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований.

Укажем направления токов в ветвях (рисунок 2.1):

Рисунок 2.1 − Схема линейной электрической цепи

переменного тока

Представим схему, приведенную на рисунке 2.1, в следующем виде (рисунок 2.2):

Рисунок 2.2 − Схема замещения линейной электрической цепи

переменного тока

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

В.

Вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

А

В

А

А

3) Уравнение мгновенного значения тока источника:

А

4) Комплексная мощность цепи:

В∙А

где S_ист = 25.035 В∙А,

Р_ист = 24.991 Вт,

Q_ист = 1.487 вар (знак «+» определяет индуктивный характер нагрузки в целом).

Активная Р_пр, и реактивная Q_пр мощности приемников:

Вт

вар

Баланс мощностей выполняется:

Р_ист = Р_пр; Q_ист = Q_np

или в комплексной форме:

,

где В;

;

В;

;

;

– баланс практически сходится.

5) Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

U_ab = U4 = 8.272 B;

U_be = U23 = 15.967 B;

U_ef = U1 = 8.272 B;

U_bc = I2R2 = 15.428 B;

U_cd = I2X_C2 = 16.457 B;

U_de = I2X_L2 = 12.343 B.

6) Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: M_I = 0.1 А/см, М_U = 2 В/см.

Определяем длины векторов токов и напряжений:

см; см;

см; см;

см; см;

см; см;

см; см;

На комплексной плоскости, изображенной на рисунке 2.3 , в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями. При этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определенная точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°, а на емкостном напряжение отстает от тока на 90°. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов. Обход начинаем от точки «a», потенциал которой принимаем за исходный (φ_a = 0). Точку «a» помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки «a» к точке «b» потенциал повышается на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении Х_L1. Вектор этого напряжения опережает по фазе вектор тока на 90°. Конец вектора определяет потенциал точки «b». От точки «b» откладываем вектор , отстающий от вектора тока на 90°, т. к. участок «be» содержит емкостное сопротивление X_С1. Конец вектора определяет потенциал точки «e».

Потенциал точки «f» выше, чем потенциал точки «e», на величину падения напряжения . Вектор откладываем от точки «e» параллельно вектору тока . Конец определяет потенциал точки «f».

Соединив отрезком прямой «a» и «f», получим вектор напряжения на зажимах цепи:

B

Рисунок 2.3 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости

Аналогично строим векторы напряжений другого участка цепи, сохраняя обход навстречу току. Потенциал точки «c» выше, чем потенциал точки «b», на величину падения напряжения . Вектор откладываем от точки «b» параллельно вектору тока . Конец определяет потенциал точки «c». От точки «c» откладываем вектор , отстающий от вектора тока на 90°, т. к. участок «cd» содержит емкостное сопротивление X_С2. Конец вектора определяет потенциал точки «d». При переходе от точки «d» к точке «e» потенциал повышается на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении Х_L2. Вектор этого напряжения опережает по фазе вектор тока на 90°. Конец вектора определяет потенциал точки «e».

Соединив отрезком прямой «b» и «e», получим вектор напряжений: B.