Пример.

Пусть множество имеет конечное число элементов . - совокупность всех подмножеств , где и . Положив

(8)

таким образом, чтобы все вероятности были неотрицательными, и выполнялось соотношение

, (9)

удовлетворим всем аксиомам Колмогорова. При этом вероятность произвольного события принимается равной

. (10)

Аксиоматика Колмогорова допускает разные варианты соотношений (8) при условии (9). Выбор нужного варианта должен учитывать реальный процесс. Например, в случае бросания правильной игральной кости следует считать и

.

Отметим, что аксиоматика Колмогорова применима и к случаю счетного (бесконечного) и несчетного множества элементарных событий. В первом случае сумма (9) превращается в ряд. Обобщая основные положения аксиоматической теории вероятностей, отметим, что основными ее элементами являются:

• - множество элементарных событий;

• - множество случайных событий;

• - функция вероятности, определенная на множестве ( ).

Контрольные вопросы

1. Какое событие в аксиоматической теории вероятности называется элементарным?

2. Какое событие в аксиоматической теории вероятности называется случайным?

3. Может ли вероятность элементарного события быть меньше нуля?

4. Может ли вероятность, вычисленная для исход­ного мно­жества элементарных событий, быть меньше единицы?

5. Как вычисляется вероятность суммы попарно несов­мест­ных событий?

6. Сформулируйте основные положения аксиомати­чес­кой теории вероятности.

§ 5. Статистическое определение вероятности событий

В аксиоматике Колмогорова определение равенств (4.2.8) может представить сложную задачу. В этих случаях для опре­деления величин вероятностей наступления элементар­ных событий проводят многократные испытания. Сами вероятности определяют по формуле

, (1)

где принимают равным числу наступления элементарного события ;

- общее число испытаний. Частотой появления события называют отношение . В [6] вероятность, определенная по формуле (1) называется эмпирической.

В значительном количестве случаев вероятность отклонения числа от некоторого значения оказывается стремящейся к нулю при неограниченном росте числа испытаний . В этом состоит закон устойчивости частот. Примеры [1], бросания монеты, результаты которых представлены в таблице.

Таблица

Результаты бросания монеты

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадений герба	Частота
Бюффон	4040	2048	0,5080
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте способ определения статистической вероятности события.

1 Леонард Эйлер (1707–1783) – математик, механик, физик. С 1727 по 1741 год и с 1766 года жил и работал в России.

Джон Венн (1834-1923) – английский логик.

2 Морган Огастес (27.06.1806, Мадура, Индия ,- 08.03.1871, Лондон) – шотландский математик и логик. Первый президент Лондонского математического общества.

3 Другой вариант доказательства.

Так как , то . Тогда 

4 Термин «элемент» является наиболее распространенным.

5 Стирлинг Джеймс (1692, Гарден, - 05.12.1770, Эдинбург) – шотландский математик, член Лондонского королевского общества.

29