Свойства основных операций над событиями

№ п.п.	Умножение событий	Сложение событий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Три действия: формирование противоположного события, сложение и умножение событий составляют алгебру событий, а их свойства, перечисленные в табл. 1, - законы алгебры событий. Законы под номером 1 называются коммутативными, 2 – ассоциативными, 3 – дистрибутивными, 10 - законами де Моргана².

Для нескольких операндов свойство дистрибутивности умножения относительно сложения и сложения относительно умножения имеет вид

, (9)

(10)

а законы де Моргана представляются следующими соотношениями

, . (11)

Примечательно, что третий столбец табл. 1 можно получить из второго заменой операции сложения на операцию умножения событий с одновременной заменой достоверного события на невозможное и невозможного события на достоверное. Таким же образом получается второй столбец из третьего. Это свойство законов алгебры событий называется принципом двойственности.

Для количественной оценки возможности осуществления событий используют функцию вероятности. Аргументом этой функции является событие, а ее значение – неотрицательное число. Функция вероятности может быть определена на основе следующих подходов:

1. определение вероятности на основе элементарного понятия равновозмож­ности (классическое определение вероятности);

2. определение вероятности как доли длины, площади, объема и т.д. (геометрическое определение вероятности);

3. аксиоматическое определение вероятности;

4. определение вероятности как частоты появления события при большом количестве испытаний (статистическое определение вероятности).

Перейдем теперь к рассмотрению способов определения вероятности событий.

Контрольные вопросы

1. Что такое событие?

2. Что такое достоверное событие?

3. Что такое невозможное событие?

4. Дайте определение операции сложения двух событий.

5. Дайте определение операции умножения двух событий.

6. Дайте определение операции вычисления разности двух событий.

7. Дайте определение операции образования противополож­но­го события.

8. Какие события называются несовместными, а какие совместными?

9. Что означает утверждение «событие А раскладывается на частные случаи В₁, В₂, …, В_п »?

10. В каком случае события образуют полную группу событий?

11. Охарактеризуйте множество событий, составляющих поле событий.

2. Вычисление вероятностей

2.1. Классическое определение вероятности событий

1.1. Классическая схема испытаний

Предположим, что в результате испытания происходит только одно из элементарных равновозможных событий . Это означает, что достоверное событие составляет сумма

, (1)

где , если (в одном испытании не может быть двух разных исходов).

События называют также результатами испытаний. Множество элементарных событий обозначим тем же символом , которым обозначалось достоверное событие.

Понятие равновозможности является основополагающим и не выводится из каких-либо других понятий. Вероятность осу­щест­вления каждого из этих элементарных событий считается одинаковой и принимается равной

. (2)

С учетом определения (2) события множества называются также равновероятными. На основе множества элементарных событий образуем поле событий , применяя к элементарным событиям множества операции формирования противоположного события, сложения и произведения событий.

Пусть событие представляется суммой элементарных событий из множества

, (3)

где индексы , т.е. каждое событие является одним из элементарных событий. Элементарные события, составляющие сумму (3), называют результатами испытаний, благоприятст­вую­щими событию . Число таких событий обозначим символом . Тогда вероятность события вычисляется по формуле

. (4)

Пример (на классическое вычисление вероятности).

Определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

При бросании игральной кости, возможны 6 (n=6) равновероятных исходов: , где индекс символа испытания указывает выпавшее число. Событие выпадения четного числа очков представляется суммой трех элементарных событий (m=3)

.

Таким образом .