5. Сумма и произведение любого числа событий.

Событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий , обозначается

и называется суммой событий .

Событие, заключающееся в наступлении каждого из событий , обозначается

и называется произведением событий .

6. Виды событий и их множеств, свойства операций над событиями

Среди всевозможных событий особое место занимают несовместные события. Два события и называют несовместными, если их совместное появление невозможно, т.е. если

. (5)

Если событие есть сумма

(6)

попарно несовместных событий

, где , и , (7)

то говорят, что событие подразделяется на частные случаи .

Например, если при бросании игральной кости событие состоит в выпадении четного числа очков, то оно раскладывается на частные случаи выпадения 2, 4, 6 ( )

.

События образуют полную группу событий, если при испытании, хотя бы одно из них должно произойти, т.е.

. (8)

Особую полную группу событий составляют попарно несовместные события. Например, в случае бросания игральной кости это события , состоящие в выпадении 1,2,3,4,5,6 соответственно.

Поскольку из одних событий путем вышеуказанных операций создаются другие, то возникает вопрос о существовании самых простых событий, которые не могут быть представлены в виде суммы несовместных событий. Такие события называют элементарными.

Обычно, элементарные события представляют собой всевозможные исходы одного испытания. Поскольку результатом одного испытания является только одно элементарное событие, то элементарные события попарно несовместны. Так как всякое испытание заканчивается каким-либо элементарным событием, то сумма всех элементарных событий составляет достоверное событие.

Применяя теорию вероятностей к описанию реальных явлений, следует, прежде всего, определить, в чем состоит испытание и каковы его возможные исходы, т.е. каково множество элементарных событий. Именно этот этап определяет успех исследования и ценность полученных результатов. Например, в случае бросания шестигранной кости можно считать множеством элементарных событий – множество событий, состоящих в выпадении 1,2,3,4,5,6 соответственно. Можно так же считать это множество состоящим из всего из двух элементарных событий: выпадение четного и нечетного числа очков. Очевидно, возможностей предсказаний появления тех или иных событий значительно больше в первом случае, чем во втором. Таким образом, формирование множества элементарных событий является важнейшей задачей исследователя.

Три операции над событиями: формирование противоположного события, сложение и произведение событий являются основ­ными. С их использованием можно определить другие операции, например вычитание событий:

.

Среди всевозможных событий, получающихся при применении этих трех операций, выделяют достоверное событие и невозможное событие . Достоверное событие образуется, например, при сложении всех элементарных событий. Невозможное событие получается, например, при перемножении двух любых элементарных событий или при взятии противоположного события от достоверного события. Множество событий, образующееся при применении к элементарным событиям операций формирования противоположного события, сложения и произведения называется полем событий. Поле событий обладает следующими свойст­вами:

• если событие принадлежит полю, то ему принадлежит также событие .

• если два события и B принадлежат полю, то ему принадлежат также события , .

Основные три действия: формирование противо­полож­ного события, сложение и произведение событий обладают свойствами, перечисленными в табл. 1. Отметим, что каждое событие поля событий может быть представлено в виде суммы элементарных событий. Это означает, что для формирования поля событий достаточным является не три операции, а две. В качестве таковых можно ис­поль­зовать, например, операции формирования противопо­лож­ного события и сложения.

Таблица 1