
- •Раздел 1. Алгебра и геометрия Лекция 2. Тема 1.3. Логика, множества, функции
- •1. Основные элементарные функции
- •1.1. Числовые функции и способы их задания. Классификация элементарных функций
- •1. Примеры числовых множеств
- •2. Свойства множества действительных чисел
- •1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически
- •2. Графики элементарных функций
- •2.1. Степенная функция
- •2.2. Показательная функция
- •2.3. Логарифмическая функция
- •2.4. Тригонометрические функции
- •2.5. Обратные тригонометрические функции
Раздел 1. Алгебра и геометрия Лекция 2. Тема 1.3. Логика, множества, функции
1. Основные элементарные функции
1.1. Числовые функции и способы их задания. Классификация элементарных функций
Если одно числовое
множество
отражается в другое числовое
множество
,
то говорят,
что задана числовая функция. Функции
задаются либо аналитически, либо
графически либо таблично.
К основным1элементарнымфункциямотносят следующие:
степенную функцию;
показательную;
логарифмическую;
тригонометрические;
обратные тригонометрические.
Элементарныефункцииполучаются из основных элементарных функций с использованием конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Количество этих операций не должно зависеть от аргумента.
К алгебраическимфункциямотносят следующие:
целую рациональную функцию или многочлен;
дробную рациональную;
иррациональную функцию, т.е. ту, в которой аргумент или выражение ее содержащее, возводится в нецелую степень.
К трансцендентнымфункциямотносят все неалгебраические функции.
Замечания.
1. Примеры числовых множеств
- множество
натуральных чисел.
- множество целых
чисел.
- множество целых
неотрицательных чисел.
- множество
рациональных чисел.
- множество
действительных чисел.
2. Свойства множества действительных чисел
Множество
действительных чисел обладает следующими
свойствами.
1. Оно упорядоченное:
для двух любых различных чисел
и
имеет место одно из двух соотношений
либо
.
2. Множество
плотное: между любыми двумя различными
числами
и
(
)
содержится бесконечное множество
действительных чисел
,
удовлетворяющих неравенству
.
3. Множество
непрерывное.
Пусть множество
разбито на два непустых подмножества
и
таких, что каждое действительное число
содержится только в одном классе и для
каждой пары чисел
выполняется неравенство
.
Тогда (свойство
непрерывности) существует единственное
число
,
удовлетворяющее неравенству
(
).
Оно отделяет числа
из классов
и
.
Число
является либо наибольшим числом в классе
(тогда в классе
нет наименьшего числа) либо наименьшим
числом в классе
(тогда в классе
нет наибольшего числа).
1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически
Функция называется
явнозаданной, если
действия, выполняемые для ее вычисления,
указаны и можно их осуществить для.
Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид
, (1)
где
- символ функции двух аргументов, заданной
явно.
Например,
.
Теперь нет явного
правила вычисления функции
по ее аргументу
.
Однако, в этом случае оно может быть
легко получено в виде
или
.
Под неявно заданной функцией
понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество
.
Зависимость
от
можно задать с помощью третьей переменной
в виде
,
где
.
Этот способ задания
функции называется параметрическим.
В частности приполучается
- явный способ задания функции.
2. Графики элементарных функций
2.1. Степенная функция
Степеннаяфункциязадается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где
- действительное число2.
Область определения
степенной функции зависит от значения
показателя степени
.
Например, если
- целое положительное (натуральное)
число, то областью определения степенной
функции является множество действительных
чисел
.
В этом случае получается следующий ряд
степенных функций:
,
,
…
Степенные функции с нечетными показателями
степени являются нечетными, а с четными
показателями степени – четными. Графики
некоторых нечетных функций приведены
на рис. 1, а четных – на рис. 2.
Рис. 1.
- сплошная линия,
- пунктирная линия
Рис. 2.
- сплошная линия,
- пунктирная линия
Если
- целое отрицательное число, то в этом
случае степенная функция определена
для всех действительных значений
,
кроме
.
Если степень
является четным отрицательным числом,
то степенная функция является четной.
В противном случае она является нечетной.
Эти утверждения проиллюстрированы на
рис. 3 и 4.
Рис. 3. Степенная
функция
Рис. 4. Степенная
функция
Среди степенных
функций с показателем степени, являющимся
рациональной дробью рассмотрим функцию
.
Поскольку рассматривается арифметическое
значение корня, то областью определения
функции будет множество неотрицательных
действительных чисел (
).
График этой степенной функции представлен
на рис. 5.
Рис. 5. Степенная
функция
График функции
представлен на рис. 6. Областью определения
функции является вся действительная
ось.
Рис. 6. Степенная
функция