Контрольные вопросы

1. Что такое перестановка из различных элементов?

2. Какие две перестановки считаются различными?

3. Как вычислить максимальное число различных перес­тановок из различных элементов?

2.2. Сочетания

Рассмотрим те же различных символов (элементов⁴). Однако сейчас их взаимное расположение не является существенным. Т.е. эти символы рассматриваются как элементы множества. Пусть из множества, состоящего из символов, требуется сформи­ровать подмножества из меньшего числа тех же символов. Каждое из таких подмножеств называется сочетанием из элементов по и их количество обозначается как . Сколько различных таких подмножеств можно составить? Два сочетания считаются различными, если они состоят или из разного количества элементов или если в состав одного из них входит хотя бы один элемент, отсутствующий во втором.

Теорема

. (1)

Доказательство

Применим метод математической индукции. Число сочетаний из элементов по , очевидно, равно , т.е. . Непосредственной подстанов­кой можно проверить, что в этом случае формула (1) выполняется. Предположим, что формула (1) выполняется вплоть до некоторого значения . Покажем ее справедливость при . Рассмотрим произволь­ное сочетание из множества . Его можно дополнить до со­че­та­ния из элементов по всего способами. Эту операцию можно осуществить со всеми сочетаниями из числа . Таким образом можно получить сочетания из элементов по элементу в каждом способами. Среди этих сочетаний, состоящих из элементов, будут встречаться одинаковые. В силу симметрии число одинаковых сочетаний для каждого типа сочетаний будет одним и тем же. Подсчитаем число повторяющихся сочетаний. Для сочетания определенного типа выберем мысленно одно из вновь образованных сочетаний с элементами. Сочетания с элементами, на основе которых будут получены такие же новые сочетания с элементами, могут быть получены поочередным выкидываем одного элемента. Легко сообразить, что их число составит . Таким образом, число различных сочетаний из элементов по составит

. 

Пример 1. (на методику формирования поля событий ).

Пусть группа равновероятных исходов испытаний состоит из трех событий . Поле событий состоит из следующих восьми элементов: , , , , , . Подсчет количества элементов поля событий осуществляется по формуле

.

Заменяя первые два слагаемых последнего равенства сочетаниями, получаем

,

где и .

Очевидно, что для слу­чая событий поле событий включает в себя элемен­тов, так как справедливо следующее равенство

(2)

Пример 2. Среди 100 фотографий есть одна разыскиваемого преступника. Наудачу выбирают 10 фотографий. Какое количество сочетаний по 10 фотографий, содержащих фотографию разыскиваемого преступника, существует?

Решение. Если убрать одну фотографию преступника, то останется 99 фотографий. Составим всевозможные сочетания из 99 фотографий по 9 в каждом и добавим к каждому сочетанию фотографию преступника. В результате получим искомое множество. Таким образом, всего существует сочетаний.