- •Тема 16 элементы операционного исчисления
- •1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
- •2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.
- •3. Свойства преобразования Лапласа.
- •Вопросы для самоконтроля
- •1 Теоремы разложения.
- •2 Формула Римана-Меллина .
- •3 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем.
- •4 Таблица оригиналов и их изображений
- •Вопросы для самоконтроля
- •Литература
Тема 16 элементы операционного исчисления
Лекция 1.Преобразование Лапласа
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.
3 Свойства преобразования Лапласа.
1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.
Пусть – комплекснозначная функция действительного переменного , определенная на интервале .
Определение 1. Любая комплекснозначная функция называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
1) при ;
2) при функция кусочно-непрерывна, т.е. на любом конечном участке оси имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;
3) при функция имеет ограниченную степень роста, т. е. существует такое положительное постоянное и такое неотрицательное постоянное , что для всех выполняется неравенство , , . Число называется показателем роста функции .
Свойства оригиналов
1. Если — оригинал с показателем роста , то является оригиналом с тем же показателем роста.
2. Если , , , – оригиналы с показателями роста , , , , то функция
,
где , , , – постоянные (действительные или комплексные), является также оригиналом с показателем роста , равным наибольшему из чисел , , , :
= .
3. Если – оригинал с показателем роста , то являются оригиналами следующие функции:
– функция , , имеющая показатель роста, равный ;
– функция ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен
– функция , , имеющая показатель роста, равный ;
– функция , ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен .
4. Если — оригинал с показателем роста , то функция на интервале является непрерывным оригиналом с показателем роста .
Пример. Функция
называется единичной функцией Хевисайда. Функция является оригиналом с показателем роста .
Пусть функция определена на интервале ; и удовлетворяет условиям 2) и 3) определения 1, но при . Тогда функция
является оригиналом.
Пример. Найти показатель роста функции , где – действительное или комплексное число.
Решение. Если , то для функции показатель ее роста . Если , то функция является ограниченной и .
Определение 2. Изображением (интегралом Лапласа) оригинала называется несобственный интеграл
, зависящий от комплексного параметра .
Определение 3. Преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению .
Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде .
Пусть функция является оригиналом с показателем роста .
2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.
Теорема 1 (существование изображения). Для любого оригинала изображение существует в полуплоскости , где – показатель роста функции , причем функция является аналитической в этой полуплоскости.
►Пусть , произвольная точка полуплоскости . Учитывая, что
, ,
,
имеем
.
Таким образом,
.
Отсюда на основании признака сравнения сходимости несобственных интегралов следует абсолютная сходимость интеграла Лапласа. Значит, изображение существует и однозначно в полуплоскости .◄
Теорема 2 (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции , то .
► Справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из неравенства .◄
Теорема 3 (единственность оригинала). Если функции и совпадают, то совпадают между собой и соответствующие оригиналы и во всех точках, в которых они непрерывны.
Без доказательства.
Пример. Найти изображения функций
1) единичной функцией Хевисайда
2) , где – действительное или комплексное число.
Решение. 1. По формуле при находим
.
Итак, .
2. По формуле при имеем
.
Итак, при .
Замечание. Функция является аналитической не только в полуплоскости , но и на всей комплексной плоскости, кроме точки . Такая особенность наблюдается и для многих изображений.