Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тема 16.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
20.11.2019
Размер:
799.1 Кб
Скачать

Тема 16 элементы операционного исчисления

Лекция 1.Преобразование Лапласа

1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.

2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.

3 Свойства преобразования Лапласа.

1 Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и их изображения.

Пусть – комплекснозначная функция действительного переменного , определенная на интервале .

Определение 1. Любая комплекснозначная функция называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

1) при ;

2) при функция кусочно-непрерывна, т.е. на любом конечном участке оси имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

3) при функция имеет ограниченную степень роста, т. е. существует такое положительное постоянное и такое неотрицательное постоянное , что для всех выполняется неравенство , , . Число называется показателем роста функции .

Свойства оригиналов

1. Если — оригинал с показателем роста , то является оригиналом с тем же показателем роста.

2. Если , , , – оригиналы с показателями роста , , , , то функция

,

где , , , – постоянные (действительные или комплексные), является также оригиналом с показателем роста , равным наибольшему из чисел , , , :

= .

3. Если – оригинал с показателем роста , то являются оригиналами следующие функции:

– функция , , имеющая показатель роста, равный ;

– функция ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен

– функция , , имеющая показатель роста, равный ;

– функция , ( — действительное или комплексное число), показатель роста которой равен .

4. Если — оригинал с показателем роста , то функция на интервале является непрерывным оригиналом с показателем роста .

Пример. Функция

называется единичной функцией Хевисайда. Функция является оригиналом с показателем роста .

Пусть функция определена на интервале ; и удовлетворяет условиям 2) и 3) определения 1, но при . Тогда функция

является оригиналом.

Пример. Найти показатель роста функции , где – действительное или комплексное число.

Решение. Если , то для функции показатель ее роста . Если , то функция является ограниченной и .

Определение 2. Изображением (интегралом Лапласа) оригинала называется несобственный интеграл

, зависящий от комплексного параметра .

Определение 3. Преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению .

Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде .

Пусть функция является оригиналом с показателем роста .

2 Существование изображения. Необходимый признак существования изображения. Единственность оригинала.

Теорема 1 (существование изображения). Для любого оригинала изображение существует в полуплоскости , где – показатель роста функции , причем функция является аналитической в этой полуплоскости.

►Пусть , произвольная точка полуплоскости . Учитывая, что

, ,

,

имеем

.

Таким образом,

.

Отсюда на основании признака сравнения сходимости несобственных интегралов следует абсолютная сходимость интеграла Лапласа. Значит, изображение существует и однозначно в полуплоскости .◄

Теорема 2 (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции , то .

► Справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из неравенства .◄

Теорема 3 (единственность оригинала). Если функции и совпадают, то совпадают между собой и соответствующие оригиналы и во всех точках, в которых они непрерывны.

Без доказательства.

Пример. Найти изображения функций

1) единичной функцией Хевисайда

2) , где – действительное или комплексное число.

Решение. 1. По формуле при находим

.

Итак, .

2. По формуле при имеем

.

Итак, при .

Замечание. Функция является аналитической не только в полуплоскости , но и на всей комплексной плоскости, кроме точки . Такая особенность наблюдается и для многих изображений.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.