7. Заключительные замечания

 Математики всегда осознавали фундаментальность арифметики и евклидовой геометрии как основания математической науки и как нормативного основания человеческого мышления вообще. Платон, Декарт, Лейбниц, Кант, Гуссерль в своих философских построениях исходили из твердой веры в абсолютность исходных математических представлений. Приведенные соображения показывают, что эта вера имеет объективные основания, она обусловлено онтологическими истоками этих структур, связью их содержания с подразделениями реальности, выявляемыми деятельностью.

 Мы выяснили, что математика разделяется на два типа теорий и вопрос о реальности решается по-разному для каждого из этих типов. Если мы говорим о абстрактных теориях математики, то мы можем понимать их как чистые (формальные) схемы, имеющие определенный шанс получить эмпирическую интерпретацию и реализацию в некоторой прикладной сфере. Реальность этих теорий чисто эмпирическая и случайная, она состоит в возможности их содержательной интерпретации. По отношению к этим теориям Поппер прав: это общезначимые человеческие конструкции, граждане третьего мира, которые могут оказаться значимыми для тех или других областей эмпирического знания. Здесь не стоит вопрос о необходимой связи с реальностью: некоторые из этих структур могут оказаться чисто фиктивными, не имеющими коррелята. Попытки найти фундаментальную реальность, заключенную в понятиях класса, множества, функции и т.п., которые предпринимаются в современных работах по философии математики, представляются с этой точки зрения бесперспективными, не имеющим оправдания в сути абстрактной математики

 Но если мы говорим о первичной (евклидианской) математике, то ее отношение к реальности совершенно иное. Интуиции евклидианской математики укоренены в структурах человеческой деятельности и представляют собой фундаментальную онтологию мира. Они априорны, необходимы для мышления и реальны в своей основе. Причем реальность должна пониматься здесь не как возможность эмпирической интерпретации, как в случае абстрактных структур, а как укорененность исходных интуиций в структурах деятельности, т.е в фундаментальных структурах бытия, выявляемых деятельностью. Евклидианская математика – это формальная онтология мира, отражающая содержательную онтологию, выраженную в категориях и категориальных основоположениях. Евклидианская математика априорна и фундаментально реальна, как определенная в своих интуициях основными структурами реальности, выявляемыми деятельностью.

 Наша задача состояла в том, чтобы обосновать априорное знание как знание деятельностное, и следовательно, как фундаментально реальное. Мы должны, таким образом, от априоризма Канта возвратиться к априоризму Лейбница, для которого априорные истины были одновременно и универсальными сторонами реальности. Лейбниц хотел обосновать факт наличия таких истин в сознании человека через связь человека с богом как монадой всех монад. С праксеологической точки зрения эти истины порождаются деятельностью и отражают стороны реальности, обусловливающие возможность деятельности. Арифметика и евклидова геометрия – не абстракции опыта и не системы конвенций, а необходимые структуры сознания, обусловленные деятельностной ориентацией мышления.

 В конце XIX в. математики поняли свою науку как систему абстрактных структур, полезных для эмпирических теорий в качестве средства трансляции истинности. Все математические теории, с этой точки зрения, независимо от их содержания и степени интуитивности аксиом становятся совершенно равноправными, просто непротиворечивыми структурами, способными в процессе приложения обеспечивать переход от истинных суждений к истинным. Дискуссии относительно того, существуют ли неевклидовы и многомерные геометрии в реальности, которые долгое время занимали философов, отпали как не имеющие смысла. Вопрос о реальности в смысле Платона тоже как будто бы утратил значение. Но проблема обоснования математики, возникшая в начале ХХ в., заставила снова провести некоторое внутреннее деление между математическими теориями. Фреге, Рассел, Брауэр и Гильберт поняли, что для обоснования второй математики (математического анализа и теории множеств) нам придется опираться на первую математику как более надежную. Но что означает эта большая надежность? Мы снова пришли к проблеме выявления реальной математики как более фундаментальной и более надежной.

 Приведенные здесь соображения показывают возможность некоторого концептуального продвижения в понимании математического реализма. Мы приходим к осознанию того факта, что логика, арифметика и евклидова геометрия – не простые непротиворечивые математические структуры, а структуры, имеющие онтологический фундамент. Это структуры, необходимые для всякого мышления, структуры априорные и одновременно фундаментально реальные. Мы не решаем здесь вопроса о том, являются ли эти структуры непреходящими или вневременными. Но в любом случае ясно, что структуры евклидианской математики – это предельно надежные структуры математики, и если логическое обоснование математики в принципе возможно, то оно по необходимости должно опираться на эти структуры.