Расчетная работа

Министерство образования и науки РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вологодский государственный технический университет»

Кафедра электротехники

Расчетно-графическая работа:

«Расчет электрической цепи постоянного тока»

По дисциплине "Электротехника и электроника"

Выполнил студент: Макаров А.А.

Группа: ЭВ-21

Вариант: № 26

Проверил: Реутов В.В.

Вологда

2014 г.

Расчет электрической цепи постоянного тока.

Задание на расчёт.

Рисунок 1 – Схема электрической цепи.

Параметры электрической цепи

Таблица 1.

R1	R2	R3	R4’	R4”	R5	R6’	R6”	E1		E2	E3	J1		J2	J3
Ом									В				А
2	6,5	4,5	1	5	2,5	7,5	5	-		6,7	5	-		0,2	0

Содержание задания:

1. Упростить схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой и шестой ветвей эквивалентными.

2. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях схемы;

3. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;

4. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов;

5. Результат расчёта токов, проведённого двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.

6. Составить баланс мощностей в исходной схеме (схеме с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений);

7. Определить ток I₁ в заданной по условию схеме с источником тока, используя метод эквивалентного генератора;

8. Начертите потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

РЕШЕНИЕ

1. Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой и шестой ветвей эквивалентными.

Источник тока J₃ можно исключить из схемы, т.к. J₃ = 0.

Рисунок 2 – Схема электрической цепи.

2. Составим систему уравнений цепи по законам Кирхгофа в символьном виде.

   1. На рисунке 3 представлена схема электрической цепи с обозначением узлов, независимых контуров и направлений токов в ветвях.

Рисунок 3 – Схема электрической цепи.

2. Запись уравнений Кирхгофа:

Количество уравнений необходимых по законам Кирхгофа:

.

• По первому закону Кирхгофа:

  • Для узла a: ;

  • Для узла b: ;

  • Для узла c: ;

  • Для узла m:

• По второму закону Кирхгофа:

  • Для контура I: ;

  • Для контура II: ;

  • Для контура III: .

3. Рассчитаем токи в ветвях методом контурных токов.

Рисунок 4 – Схема электрической цепи с обозначением контурных токов.

1. Формирование уравнений для контурных токов в символьном виде.

,где

I₁₁, I₂₂, I₃₃ – контурные токи первого, второго и третьего контуров;

R₁₁, R₂₂, R₃₃ – суммарные сопротивления первого, второго и третьего контуров;

E₁₁, E₂₂, E₃₃ – алгебраическая сумма ЭДС первого, второго и третьего контуров.

2. Решение системы уравнений.

Сопротивления с разными индексами – это взаимные сопротивления, входящие одновременно в состав двух контуров, причём знак взаимного сопротивления берётся положительным, если направления контурных токов на нём совпадают, и отрицательным, если нет.

Решим систему линейных алгебраических уравнений:

x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=

Расширенная матрица системы:

 

^×0.21053

^~

 

_×0.47368

~

 

_×0.32587

~

(1)

Из уравнения 3 системы (1) найдем переменную x3: 7031804×x3=-64201, x3=-2567031 Из уравнения 2 системы (1) найдем переменную x2: 20119×x2=13138×x3−17219, 20119×x2=13138×-2567031−17219, x2=-61007031 Из уравнения 1 системы (1) найдем переменную x1: 192×x1=2×x2+92×x3−5, 192×x1=2×-61007031−92×2567031−5, x1=-51067031 Ответ: x1 = −0.72621 , x2 = 0.86759 , x3 = −0.03641

3. Токи в ветвях цепи.

Далее выразим истинные токи через контурные. Ток в ветви, принадлежащий двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. Со знаком плюс берутся контурные токи, совпадающие с током этой ветви, со знаком минус – не совпадающие с ним.

4. Рассчитаем токи в ветвях методом узловых потенциалов.

1. Формирование узловых уравнений и запись их в символьном виде.

Выберем в качестве базисного узел «d» и его потенциал приравняем к нулю .

Составим систему уравнений для нахождения потенциалов узлов по методу узловых напряжений:

2. Решение системы уравнений и расчёт узловых проводимостей и токов.

3. Расчёт токов в ветвях цепи.

Решим систему линейных алгебраических уравнений с помощью Mathcad:

x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=

Расширенная матрица системы:

 

^×0.35644

~

 

_×0.44555

~

 

_×0.54321

~

1.12220×x1−0.40000×x2−0.50000×x3=1.111100.61122×x2−0.33202×x3=−0.834660.58397×x3=1.27236

(1)

Из уравнения 3 системы (1) найдем переменную x3: 3337925434957159530000×x3=145455231114319060, x3=7272761550033379254349 Из уравнения 2 системы (1) найдем переменную x2: 1714785928055000×x2=931485928055000×x3−4683257756110000, 1714785928055000×x2=931485928055000×7272761550033379254349−4683257756110000, x2=-1214971104766758508698 Из уравнения 1 системы (1) найдем переменную x1: 56115000×x1=25×x2+12×x3+1111110000, 56115000×x1=25×-1214971104766758508698+12×7272761550033379254349+1111110000, x1=12657557484966758508698

Ответ: x1 = 1.89602 , x2 = −0.18199 , x3 = 2.17883

Токи в ветвях найдём по закону Ома:

5. Результат расчёта токов, проведённого двумя методами, сведём в таблицу и сравним между собой.

Таблица 2.

	I1				I2			I3			I4	I5	I6
			А
Метод контурных токов	-0.1414				0.86759		0.6898		0,03641			0,83118	0,72621
Метод узловых потенциалов		-0.1414		0.86756		0.6897				0,03639		0.83121	0,72621

Как видно, из таблицы расчёты, проведённые двумя методами, хорошо совпадают.

6. Составим баланс мощностей цепи.

   1. Мощность источников тока:

2. Мощность приёмников:

7. Расчёт тока I₁ в выбранной ветви методом эквивалентного генератора.

Используя метод эквивалентного источника, выделяем ветвь «c-b».

Рисунок 5 – Схема электрической цепи для метода эквивалентного генератора.

1. Найдём E_0, составив систему уравнений по методу узловых напряжений:

Выберем в качестве базисного узел «d» и его потенциал приравняем к нулю .

2. Решим систему линейных алгебраических уравнений с помощью Mathcad:

x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=
x1+	x2+	x3=

Расширенная матрица системы:

0.62220−0.400000.000001.11110−0.400000.75380−0.15380−1.230700.00000−0.153800.456801.23070 

 

^×0.64288

~

0.62220−0.400000.000001.111100.000000.49665−0.15380−0.516400.00000−0.153800.456801.23070 

 

_×0.30968

~

0.62220−0.400000.000001.111100.000000.49665−0.15380−0.516400.000000.000000.409171.07078 

0.62220×x1−0.40000×x2=1.111100.49665×x2−0.15380×x3=−0.516400.40917×x3=1.07078

(1)

Из уравнения 3 системы (1) найдем переменную x3: 31609991777725359000×x3=8272194977253590, x3=82721949003160999177 Из уравнения 2 системы (1) найдем переменную x2: 772535915555000×x2=7695000×x3−1606507731110000, 772535915555000×x2=7695000×82721949003160999177−1606507731110000, x2=-14499747316321998354 Из уравнения 1 системы (1) найдем переменную x1: 31115000×x1=25×x2+1111110000, 31115000×x1=25×-14499747316321998354+1111110000, x1=103574131776321998354 Ответ: x1 = 1.63831 , x2 = −0.22935 , x3 = 2.61696

3. Найдём входное сопротивление R₀.

Рисунок 6 – Схема соединения треугольником резисторов .

Перерисуем данную схему, заменив соединение треугольником резисторов на эквивалентное сопротивление звездой .

Рисунок 7 – Схема соединения звездой резисторов.

4. Найдём ток I₁:

8. Построение потенциальной диаграммы.

Рисунок 8 – Схема электрической цепи.

Рисунок 9 – Потенциальная диаграмма