Многие современные философы склонны думать, что математические объекты – лишь мысленные конструкции и, в отличие от объектов физических, не связаны каким-либо обязательным отношением к реальности. Считается, что, обладая логической определенностью, они не имеют отношения к отражению свойств и отношений реального мира. Такое воззрение защищал в начале прошлого века Л. Брауэр, который утверждал, что математические понятия – лишь конструкции на основе априорной интуиции времени: если бы человечество вымерло, писал он, то физические зависимости продолжали бы существовать, но не осталось бы никаких собственно математических законов. Близкое воззрение на природу объектов математики излагает К. Поппер в книге «Объективное знание»: «Я полагаю (в отличие от Кронекера), что даже натуральные числа суть произведение людей, продукт человеческого языка и человеческой мысли» [Поппер 2002, 159–160]. Это точка зрения конвенционализма и конструктивизма.
Однако уже со времен пифагорейцев и Платона существует другое, прямо противоположное воззрение на природу математических объектов. Математические объекты, по крайней мере, такие как числа и фигуры понимаются не как конструкции разума, а как отражение глубинных форм окружающего нас мира. Сильный довод в пользу этого воззрения состоит в том, что удаленные друг от друга древние цивилизации строили математику на одних и тех же понятиях, которые не утратили своего значения до настоящего времени. Размышления над такого рода фактами приводят нас к выводу, что математические представления не произвольны, а отражают отношения, принадлежащие самой структуре мира. «Математика, – писал Г. Штейнгауз, – не шахматная игра, правила которой могут быть изменены по нашему произволу, поскольку ее принципы отражают реальность» [Штейнгауз 1974, 111]. Это точка зрения платонизма или математического реализма.
Хотя реалистическое воззрение на математику сформировалось в глубокой древности, оно все еще существует на уровне некоторой метафизической гипотезы, без общепринятого гносеологического разъяснения. Остается неясным главный вопрос: если математические абстракции – отражение значимых сторон реальности, то что это за стороны и как может быть понято отражение реальности, проявляющееся в построении столь устойчивых, по своей сути, внеисторических понятийных систем. Ниже будут изложены некоторые соображения в защиту реалистической трактовки математических объектов, проистекающие из праксеологического понимания фундаментальных категорий мышления.
1. Основные подходы к пониманию статуса математических истин
Первой философией математики был пифагореизм, рассматривающий математические истины как подлинное знание (эпистеме), в отличие от мнения (докса), относящееся ко всем другим предметам, кроме математических. Значение Пифагора и Парменида состоит в том, что они впервые ввели центральное для всей античной философии разделение мира преходящего, познаваемого чувствами, и мира неизменного, познаваемого непосредственно разумом. Этот идеальный, неизменный мир получил название космоса. Математика в системе пифагорейского мышления занимала центральное место, ибо она в соответствии с их представлениями описывала вечные законы космоса и по этой причине сама содержала в себе только истинные утверждения. В пифагорейско-платоновской философии математика несомненно реальна, ибо она является картиной космоса как высшей реальности. Историки математики неоднократно отмечали тот факт, что понимание математики как картины космоса оставалось характерным для греческого мышления в течение многих столетий. Является общепризнанным, что Евклид строил систему геометрии не как аксиоматическую теорию в современном ее понимании, а как определенного рода космологию, как учение о пространственной и количественной основе мира.
Пифагорейско-платоновская философия математики была поколеблена аристотелевским взглядом на математику как на систему абстракций, полученных из рассмотрения вещного мира. Для Аристотеля математика первична по определению, но вторична по бытию. Объекты математики не существуют в вещах и не существуют вне вещей, они являются мысленными отвлечениями от реальных форм вещей. «Геометр и исследователь чисел, – пишет Аристотель в “Метафизике”, – полагают отдельно то, что отдельно не существует» [Аристотель 1976, 326].Важнейшее методологическое продвижение Аристотеля состоит в понимании статуса абстракции как чисто умственного образования и как отдельного объекта рассмотрения. От Аристотеля идет эмпирическое истолкование математики, которое было принято такими учеными, как Ф. Бэкон, Д. Локк, И. Ньютон, К. Гаусс, Н.И. Лобачевский, Б. Риман, А.Н. Колмогоров.
Философия математики Нового времени началась с Декарта, который объявил математику системой врожденного знания. По его мнению, аксиомы математики покоятся на общезначимой интуиции, которая более надежна, чем сама дедукция. Позиция Декарта нашла поддержку у Спинозы, Мальбранша и Лейбница. Лейбниц также полагал, что математические истины врождены («потенциально находятся в душе человека») и что они аналитичны в том смысле, что их можно посредством конечной процедуры свести к системе тавтологий типа А = А. Он считал, что принципы математики относятся к реальности и заключают в себе глубинные истины о строении мира, не доступные для опытного познания. В сущности, эта позиция – лишь переложение пифагорейского верования в то, что человеческий разум как таковой, без помощи чувств, способен восходить к постижению законов космоса. Новое в позиции Лейбница заключалось в его попытке натурфилософского объяснения этого факта. Человек как монада связан с богом как монадой всех монад и вследствие этой связи он, по мысли Лейбница, может обладать системой необходимых истин, природа которых не может быть объяснена на основе чувственного опыта.
Кант углубил лейбницевское понятие априорных (необходимых) истин. Главное достижение кантовской теории познания состоит в разделении содержания и формы мышления и в обосновании того факта, что математическое знание относится к форме мышления и обладает принципиально иным статусом, чем знание, основанное на опыте. Кант отделил априорность от врожденности и высказал безусловно правильное положение о синтетичности математического знания. Он, таким образом, отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления, а также и от логики как от системы аналитических априорных истин. Математика обладает, по Канту, статусом трансцендентальности: она абсолютно значима для сознания, но не имеет никакого отношения к миру вещей самих по себе. Кантовская философия математики является, таким образом, первой отчетливой антитезой платоновскому реализму.
Философия науки XIX в. отвернулась от идеи априоризма. Ведущей идеей стала идея эмпирической детерминации развития теоретического знания. Этот поворот сказался и на философии математики. О. Конт, Дж.Ст. Милль, Г. Гельмгольц, Г. Спенсер, Э. Мах пытаются восстановить аристотелевский подход к пониманию математических понятий, понять значение обыденного и научного опыта для становления исходных математических представлений. Гельмгольц и Мах высказывают положение, что геометрия могла появиться только в мире твердых тел и их движений. Милль и Пуанкаре выдвинули идею конвенции, согласно которой исходные математические представления – не прямое отражение опыта, а некоторого рода логическая конструкция, обусловленная опытом. Математические идеализации, с этой точки зрения, безусловно, отражают опыт, но как логические конструкции они не зависят от опыта и имеют вневременное значение. Г. Спенсер наметил подход к пониманию устойчивости логических и математических представлений с точки зрения теории эволюции.
В начале XX в. Э. Гуссерль предпринял попытку восстановить априористское понимание исходных представлений математики. Важное достижение Гуссерля состояло в том, что он освободил априорное знание от остатков антропоморфизма, имеющих место в кантовской теории. Кант не исключал того положения, что существа, отличные от человека, могут иметь другие априорные представления. С точки зрения Гуссерля, априорные представления не зависят ни от объекта, ни от субъекта мышления и являются совершенно одинаковыми для любого познающего существа, будь это люди, чудовища или боги. Это, несомненно, более правильное понимание природы априорного знания. С другой стороны, Гуссерль предпринимает попытку связать априорное с реальным, намечая зависимость эйдосов как априорных структур сознания от системы фактов. Он вводит понятие идеации как особого способа восхождения от опыта к сфере априорных представлений. Это понятие, однако, остается у него не разъясненным, и в конечном итоге он приходит к некоторой форме эмпиризма, который заметен в его последних работах. Становление геометрии, по его мнению, было бы невозможно без протогеометрии – грубой эмпирической геометрии, создаваемой в практике измерений [Гуссерль 1970, 28]. Но как понять процесс, который ведет от протогеометрии к геометрии как к идеальной и вневременной структуре? Понятия абстракции, идеализации и формализации здесь ничего не объясняют.
Эмпиризм Гельмгольца и Маха в XX в. был углублен Г. Динглером. Принципиально важный момент, появляющийся в философии Динглера, – это понятие практики и эксперимента. Концепция Динглера направлена против мнения Пуанкаре, согласно которому ни одна из геометрий не может быть объявлена более истинной, чем другая. По мнению Динглера, евклидова геометрия имеет особый статус, она, в отличие от всех других геометрий, обладает реальностью и истинностью. Принципы евклидовой геометрии, по мнению Динглера, абсолютны, поскольку они проистекают из наших требований к физическому эксперименту. Эксперимент должен быть воспроизводим, но это возможно лишь в том случае, если он будет составлен из воспроизводимых частей и геометрических форм, обеспечивающих соподчинение этих частей. Определяющей геометрической формой является плоскость как наипростейшая поверхность, обе стороны которой одинаковы. Преимущество этой геометрической формы состоит в том, что она воспроизводима. Техническое искусство с древнейших времен ориентировано, по Динглеру, прежде всего на производство плоских поверхностей. Плоскость не просто мыслится, как это думал Кант, она производится, вносится в предметную реальность. В отношении плоскости мы вправе говорить об априори изготовления. Физический эксперимент, считает Динглер, требует принятия установок евклидовой геометрии как его априорной структуры. В сфере эксперимента, говорит он, «скрылись платоновские идеи, после того как для них более не осталось места в безотрадном мире чистого эмпиризма» [Динглер 1997, 103]. Динглер был убежден, что он доказал реальное существование евклидовой геометрии, и соответственно, несуществование альтернативных геометрий. Неевклидовы, многомерные и другие возможные геометрии существуют, по его мнению, только как логические системы, они могут занимать определенное место в структуре теоретического знания как функции, связывающие показания экспериментов, но они не существуют как реальные или метафизические.
Исследование логических оснований математики в ХХ в. привело к возвращению к платоновскому реализму, к идее существования абстрактных математических объектов в некотором идеальном мире. Начало было положено К. Геделем, который в статьях «Расселовская математическая логика» (1944 г.) и «Что такое континуум-гипотеза?» (1947 г.) высказал убеждение, что за основными понятиями теории множеств скрываются объекты, данные нам во внечувственной интуиции. Он писал: «Несмотря на их несхожесть с чувственным восприятием, мы имеем нечто подобное ему также и для объектов теории множеств, что усматривается в том факте, что аксиомы теории множеств навязаны нам как несомненно истинные» [Гедель 1964, 484]. Если принять это положение Геделя, то мы должны думать, что, кроме физической (чувственной) реальности, должна существовать еще некоторая идеальная реальность, воспринимаемая в интеллектуальной интуиции и навязывающая нашему сознанию аксиомы математики.
Некоторая версия математического реализма возникла также в рамках эволюционной философии. Эволюционная эпистемология стремится понять априорные принципы сознания как выработанные и закрепленные эволюцией механизмы сознания, предвосхищающие объектную структуру мира и структуру возможного действия. Априорное в эволюционной эпистемологии реально, ибо оно относится к реальной структуре мира, но оно понимается теперь как подвижное, изменяющееся от эпохи к эпохе вследствие изменчивости самого мира и аппарата познания. Априорное знание, с этой точки зрения, – не форма мышления, независимая от его содержания, а отражение в сознании инвариантных структур реальности. Математическое знание приобретает в этой концепции статус устойчивой схематики мира, предназначенной для упорядочения изменчивых частей опыта [Лоренц 1997, 7].
Из приведенного здесь краткого описания позиций уже видно, что идея реальности математики, будучи вполне осязаемой, не поддается однозначной концептуализации. Попытки соединить математические представления с реальностью на основе опыта, на основе интуиции, на основе понятия конвенции или на основе эволюционных представлений в одинаковой степени приводят к трудностям и противоречиям. Это заставляет нас думать, что мы упускаем нечто существенное в самой постановке вопроса.