4. Реальность арифметики

Для обыденного сознания истины арифметики получаются из операции счета, т.е. из некоторого взаимодействия с чувственными предметами, и по этой причине несомненно апостериорны. Но эта точка зрения искажает статус арифметики.

 Косвенное соображение в пользу положения об априорности арифметических истин проистекает из самоочевидности этих истин. Априорные истины даны сознанию с особой степенью очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логики. Но в таком случае сама аподиктическая oчeвидность может быть использована в качестве признака априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики, то должны будем признать, что они являются аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных операций. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверждениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические истины даны человеческому сознанию с непреложностью, и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.

 Для понимания статуса арифметики нам важно рассмотреть уровни универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной или динамической онтологией, так как в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.

 Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и постоянства их структуры, т.е. на идеальные представления о предметах как максимально удовлетворяющих условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления о причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности предметов, которые конечны в пространстве и времени, стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. В основе этой идеализированной структуры мира лежит разделение единичности и множественности. Действие конкретно, оно всегда направлено на некоторую вырванную из универсума единичность, и следовательно, предполагает универсальное (онтологическое) представление о единичности, систему признаков единичного вообще, продиктованную условиями деятельности. Из этих же соображений мы подходим и к пониманию онтологического представления о множественности. Множественность как арифметическое число часто определяется на основе эмпирического признака, например, через такое высказывание, как «множество зеленых яблок». Но деятельностная ориентация сознания поднимает наше представление о числе до абстрактного количества, не связанного с каким-либо конкретным эмпирическим признаком. Мы имеем здесь чисто предметную идеализацию множественности как возможного объекта действия, не имеющего в основе своего выделения какого-либо эмпирического основания. Понятие множественности, как и понятие единичности, имеет онтологическую основу: оно формируется как понятие, требуемое деятельностной установкой субъекта.

 Адекватное понимание арифметики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в ее основе лежат универсальные идеализации единичного и множественного, выработанные деятельностью. Аристотель говорит, что исследователь чисел полагает человека как единого и неделимого. Это правильное положение, но оно должно быть дополнено тем соображением, что образование понятий о едином и неделимом в процессе восприятия продиктовано не чистым стремлением к абстрактности, а универсальной деятельностной установкой мышления. В мире, который не обладал бы реальной дискретностью, деятельность была бы невозможна. Представления о единичности и множественности – онтологические представления, продиктованные деятельностной ориентацией мышления.

 Наивное эмпирическое представление об арифметике состоит в том, что мы извлекаем понятие числа и законы арифметики из опыта, а именно: из процесса счета. Но еще древние философы справедливо указывали, что операция счета предполагает представление о мысленной единице, независимой от опыта. Боэций говорит, что «существует два рода числа: одно, посредством которого мы считаем, другое, заключенное в исчисляемых вещах» [Боэций 1990, 149]. Это тонкое различение эмпирического и априорного в арифметике. Мы должны четко разделить единичность как (конкретную) эмпирически выявляемую дискретность предметного мира и единичность как онтологическую идеализацию, порождаемую деятельностной ориентацией субъекта. Без реальной дискретности нет счета. Но реальная дискретность неоднородна, неустойчива, реальные «единицы» сливаются, разделяются, появляются и исчезают. Онтологическая единица, на которой построена арифметика, однородна, постоянна, вневременна, не разделяется и не сливается с другими единицами. Онтологическая единичность и множественность – объекты идеализированной картины мира, созданные деятельностной ориентацией субъекта и имеющие надэмпирическое значение. Как и в случае с причинностью, мы имеем здесь дело с идеальной онтологической схемой, под которую подводится эмпирическая ситуация.

 Анализ процедур счета показывает, что они имеют смысл только в рамках представлений об идеальной предметности. Операции арифметики – это требования к идеальной предметности. Законы арифметики не порождены процедурами счета, а являются их условием, их убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из универсальных требований предметной онтологии, из онтологической идеализации единичности и множественности, которая продиктована предметной практикой вообще. Истина 2 + 3 = 5 не становится более убедительной с ростом числа ее повторений, ибо ее убедительность проистекает не из опыта, а из онтологии. Это значит, в частности, что законы счета нельзя опровергать примерами типа того, что если в клетку к тигру посадить двух зайцев, то получим, что 1 + 2 = 1. Дело в том, что эти популярные примеры разрушают идеализированное (онтологическое) определение единичности, в соответствии с которым задаются операции арифметики. Арифметика – не эмпирическая, а онтологическая теория, она выражает в себе не опыт, а онтологическую идеализацию, продиктованную деятельностью, и она не может быть опровергнута какими-либо фактами опыта.

 Эти соображения подводят нас к пониманию реальности арифметики. Априорность арифметики не означает, что понятие числа имеет свои истоки в разуме. Для того чтобы в мире был счет, мир должен быть в какой-то мере дискретным сам по себе, безотносительно к деятельности счета. Вопрос состоит лишь в том, чтобы понять, каким образом от этой реальной дискретности вещей и событий мы переходим к единичности и множественности в качестве абсолютных представлений сознания. Мы должны здесь снова возвратиться к понятию телеологического отражения. При самом формировании человеческого мышления дискретная структура реальности в силу своей необходимости для деятельностной ориентации субъекта сразу же возводится на уровень нормативной структуры, относящейся к объекту вообще. Эта онтологическая дискретность не отражает реальную дискретность во всем ее многообразии, а схватывает в себе лишь ее основу, значимую для деятельности. Арифметика реальна, ибо отражает в себе аспект дискретности мира, существенный для деятельности.

 Мы, таким образом, можем дать утвердительный ответ как на вопрос и об априорности арифметики, так и на вопрос о ее реальности. Арифметика априорна в том смысле, что понятийное мышление невозможно без использования арифметических представлений и арифметических операций, точно так же как оно невозможно без опоры на категории и логику. Но ясно также, что арифметика не система чистых отношений, присущих разуму самому по себе. Она в идеализированной форме отражает дискретность мира и отношения между атомами дискретного мира. Мы должны понять, что дискретность (атомарность) мира является необходимым условием деятельности и именно по этой причине представления о единичности и множественности возводятся на уровень общей схематики мышления, в статус априорности. Априорное знание не проистекает из природы разума как такового, как это думал Кант, но продиктовано деятельностным отношением человека к миру, оно представляет собой систему норм мышления, определенных его деятельностной ориентацией. Мы можем утверждать, что за каждым априорным представлением стоят фундаментальные отношения реальности, а именно: те отношения, которые определяют саму возможность деятельности. Априорное, таким образом, не трансцендентально идеально, но фундаментально реально. Основной недостаток традиционного априоризма состоял в непонимании тождества априорности и реальности.

 Этот недостаток отчасти был обусловлен узким определением реальности как данности в опыте. «Созерцание, соответствующее понятию реального, – писал Кант, – мы можем извлечь только из опыта, но никогда a priori из самих себя и до эмпирического осознания ее» [Кант 1964, 601]. Это ошибочная установка. В действительности фундаментальные реальные стороны мира выявляются не опытом, а деятельностью. Опыт, конечно, также говорит нам о реальности, но он не отделяет реальности необходимой от реальности случайной и реальности субъективной от подлинной (трансцендентной) реальности. Только деятельность выявляет необходимые (фундаментальные) черты реальности и по этой причине именно деятельностный критерий является исходным для идентификации всякой реальности.

 Законы арифметики не могут быть выведены из опыта на основе индукции. Формулируя эти законы, мы апеллируем к их самоочевидности и уклоняемся от анализа поведения эмпирических единичностей и эмпирических множеств. Представления арифметики – не обобщения опыта, но онтологические идеализации. Законы арифметики реальны в том смысле, что они отражают в себе деятельностно значимую идеализацию отношений между реальными множествами. Эта идеализация – не произвольная конструкция сознания, но идеальная норма всякой дискретности, диктуемая деятельностью. Реальность арифметики утверждается, таким образом, не эмпирически, не фактом ее широкого использования, а самим ее статусом как необходимой, деятельностно значимой структуры сознания.