6. Критические замечания к современным подходам

 Реалистическая установка в современной философии математики возродилась в 30-х – 40-х годах прошлого века в связи с провалом программ обоснования математики. Все программы обоснования ставили своей задачей обосновать бесконечное (теорию множеств) на основе конечного, а именно на основе арифметики и логики. Теоремы Геделя показали, что эта стратегия бесперспективна. Если математика и может быть логически обоснована, то сама база обоснования уже должна содержать в себе понятие бесконечности, оправданное прямой ссылкой на реальность. Известные высказывания Геделя о реальной основе множеств и классов намечали именно эту идею прямого оправдания аксиом теории множеств.

 Изложенные здесь соображения позволяют понять несостоятельность этого замысла. Если мы можем привлечь соображения о реальности для обоснования надежности математической теории, то это может быть сделано только в отношении первичных теорий, таких как логика, арифметика и евклидова геометрия. Теория множеств как теория второй (абстрактной) математики не может быть поставлена в связь с универсальной онтологией и не может быть обоснована в рамках философии реализма. Заблуждение современного математического реализма состоит в стремлении приложить понятие реальности к вторичным теориям, таким как комплексный анализ, теория групп и теория множеств.

 Показательной в этом отношении является книга П. Медди «Платонизм в математике», которая ставит своей задачей выявить реальные основания понятия множества, и соответственно, реальные основания теории множеств в целом [Медди 1990]. Основная идея, из которой она исходит, состоит в том, что понятие математического множества возникает в процессе восприятия реальных агрегатов вещей при особой направленности процесса восприятия. По ее мнению, наряду с эмпирическим восприятием существует некоторый его аналог (имеющий основание в устройстве нервной системы), который приводит к образованию специфической математической абстракции (например, числа «три» при рассмотрении трех яиц, лежащих на столе). Фактически здесь делается попытка понять расщепление факта и эйдоса через натуралистический анализ процесса восприятия. Спорный момент в подходе Медди состоит в попытке вскрыть реальные основания такой математической теории, как теория множеств. Свойства априорности и реальности (онтологической значимости), как мы выяснили, принадлежат лишь исходным математическим теориям, таким как арифметика и евклидова геометрия, непосредственно связанным со структурами практики. Хотя в понятиях теории множеств присутствуют интуиции элементарной математики, она включает в себя и чисто конвенциональные отношения, не поддающиеся реалистической интерпретации.

 Незаконное перенесение реализма из традиционных областей математики в современные области мы видим в трактовке математического реализма в книге Р. Пенроуза «Новый ум короля». Обсуждая проблему реальности в математике, Пенроуз ставит вопрос следующим образом: являются ли математические теории фикциями, изобретениями человеческого ума, или они открываются нами как предсуществующие? [Пенроуз 2003, 88]. Примеры, которые он рассматривает для подтверждения своей реалистической позиции, показывают что в действительности речь идет у него не о реальной (метафизической) подоснове математических объектов, но об их объективной определенности в системе математического знания. Множества Мандельброта, о которых у него идет речь, конечно, объективно определены операциями с комплексными числами, но мы не можем им, в отличие от арифметики и евклидовой геометрии, приписать реальную (метафизическую) значимость. То обстоятельство, что множества Мандельброта открываются нами, не говорит о том, что они реальны. Вместе с Поппером мы можем думать, что эти множества уже определены нами в своих свойствах вместе с принятием комплексных чисел как некоторых конвенций или конструкций. Пенроуз говорит в действительности не о реальности объектов, но об их объективности, об их необходимости во внутренней структуре математического знания. Все объекты второй (абстрактной) математики, несомненно, объективны в этом смысле, но это не означает, что они реальны. Мы можем говорить только об эмпирической реальности этих теорий, которая проявляет себя как вероятная возможность их превращения в аппарат описания для эмпирических наук. Теория комплексных чисел, конечно, реальна в этом эмпирическом смысле, но мы не имеем оснований приписывать ей статус метафизической реальности.

 Наиболее близкой к истине является праксеологическая позиция Г. Динглера. Он прав в том, что образы прямой и плоскости как база геометрии не случайны, но связаны с практическим вмешательством человека в отношения реального мира. Динглер ясно осознал то важнейшее обстоятельство, что понятие реальности в действительности определяется деятельностью, т.е. практическим вмешательством человека в процессы природы. Эта позиция дает ему критерий для различения объективных и реальных теорий математики. Только евклидова геометрия реальна, все остальные геометрии – лишь формальные конструкции, которые способны выполнять роль установления функциональных связей в эмпирической науке. Недостаток теории Динглера состоит в том, что она не разделяет механических и онтологических идеализаций и пытается понять геометрические понятия в качестве конвенций, обусловленных физическим экспериментом. Дефекты теории Динглера можно выразить в следующих положениях:

1. Манипуляции с твердыми телами в плане их изготовления – слишком узкая база для обоснования априорности математики. В лучшем случае мы намечаем здесь подход к обоснованию априори в геометрии, оставляя в стороне вопрос об априорности категорий, логики и арифметики. Но обоснование априорности математики без обоснования априорности форм мышления вообще представляется бесперспективным.

2. Динглер прав в том допущении, что в основе исходных геометрических представлений лежит представление о твердом теле. Но твердое тело существует как физическая идеализация и как онтологическое представление, обусловленное исключительно актами деятельности. Евклидова геометрия возникает не на основе физических идеализаций, как думает Динглер, а на основе онтологических представлений об объекте действия, которые предшествуют физике и всякой специальной науке. Первичные образы геометрии обусловлены установками деятельности и не имеют никакого отношения к физическим идеализациям и к физическому эксперименту.

3. Априорное у Динглера смешивается с конвенциональным. Выбор плоскости в качестве исходного образа обусловлен, по его мнению, возможностью ее практической реализации. В другом мире или при некоторых других технических возможностях – здесь мог бы быть другой образ и другая система геометрии. С праксеологической точки зрения система исходных представлений геометрии обусловлена только деятельностной ориентацией мышления и не имеет отношения к возможности технической реализации. Прямая и плоскость – не конвенции, определенные привходящими обстоятельствами, а онтологические идеализации, обусловленные только целью мышления, его направленностью на действие.

 Тем не менее важно подчеркнуть оригинальность и значимость теории Динглера. Заслуга Динглера состоит в том, что он понял связь геометрической реальности с практической стороной человеческого бытия. Мы имеем здесь принципиальный сдвиг в понимании математической реальности, который должен быть исходным при всех подходах к разъяснению этого понятия.