1) Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

2) Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.

3) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.

Вопрос 16. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение действий с нулем. Невозможность деления на нуль (с обоснованием). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1.

Присоединим ко множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество – множество целых неотрицательных чисел и обозначается Z₀ или N₀, т.о. Z₀=N0. Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого натурального числа, арифметические операции в случае, когда один из компонентов равен 0, определяются равенствами:

( а  N) a + 0 = 0 + a; ( а  N) a – 0 = a

( а  N) a • 0 = 0; ( а  N) 0 : a = 0

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0; 0 • 0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.

Теорема: Деление на нуль невозможно.

Доказательство: Пусть а  N, а в = 0.

1. Если а ≠ 0 и частное а и в существуют, тогда найдется с  Z₀, что а = с • 0,  а = 0. Мы пришли к противоречию с условием  частное чисел а ≠ 0 и в = 0 не существует.

2. Если а = 0 и частное а = 0 и в = 0 существует, тогда найдется с  Z₀ и выполняется равенство 0 = с • 0, истинное при любых значениях с  частное а = 0 и в = 0 может быть любым числом  Z₀, т.е. результат деления определяется не единственным образом, а это невозможно. Поэтому в математике считают, что деление на 0 также невозможно.

Если число а получено в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А), то это же число может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В: а = n(В). Число же «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества 0 = n (ø). Привести примеры пустых множеств.

Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1 начинается в 3 классе (1–4) с включения в ряд предложенных примеров вида: 0 • 8; 1 • 5; 0 • 18 и т.д. Эти примеры дети решают на основе конкретного смысла умножения путем сложения одинаковых слагаемых, например:

0 • 8 = 0+0+0+0+0+0+0+0 = 0 или 1 • 5 = 1+1+1+1+1 = 5

После этого уже на стр. 64. детям непосредственно предлагается правило умножения числа на единицу, которое звучит так: «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали». Правило вводится дедуктивно. Предлагаются примеры вида: 4 • 1; 32 • 1. Усвоив это правило, дети без труда решают такие примеры: 4 • 1 = 4; 32 • 1 = 32. Далее предлагается задание на сравнение: 1 • 4 … 4 • 1. Выполнив это задание (1 • 4 = 1+1+1+1 = 4 и 4 • 1 = 4) и ряд подобных, дети методом сравнения и, зная правило перестановки множителей, делают вывод, что результат не изменяется в зависимости от того, что единицу умножали на число или число на единицу, результат все равно будет одинаков. Можно предложить обобщение: если один из множителей равен 1, то…?

Далее на стр. 65 вводится следующее правило: «При умножении любого числа на нуль получается нуль». Предлагаются примеры вида: 3 • 0 = 0; 12 • 0 = 0 и т.д., а также задания на сравнения: 33 • 0 … 0 • 33.

Деление на единицу вводится на конкретном примере на стр.67, учитывая правило нахождения частного:8:1 = 8, т.к. 1•8 = 8. На закрепление этого свойства предлагается ряд подобных примеров.

Деление на 0 не рассматривается, т.к. на стр.65 введено запрещающее правило: «Делить на 0 нельзя».

Также (на стр. 68) на конкретном примере показано деление нуля на число: 0 : 8 = 0, т.к. 0 • 8 = 0. Дети пользуются этим свойством при дальнейшем решении подобных примеров.

Система закрепляющих упражнений.

1. Найдите значение выражения:

0 • 16 0 • 3 + 1 0 • 5 + 3 • 2

1 • 12 1 • 7 + 5 1 • 8 + (10 – 6)

2. Сравнить выражения:

0 • 7 … 7 • 0 1 • 15 ... 15 • 1 0 • 3 ... 3 • 1

12 • 1 … 1 • 3 • 4 2 • 3 ... 6 • 1 7 • 1 ... (2 • 2 + 3) • 1

3. Разбить на столбики и объяснить принцип разбиения:

0 : 3, 15 : 1, 15 • 0, ( 12 – 6 ) • 0, (3 • 4 + 3), (3 +7) • 1, 3 • 0, 1 • 15

4. Соедини стрелочками пример и ответ:

17 • 1 + 3 • 0 12

(43 + 0) • 1 + 3 77

9 +2 • 7 • 1 17

14 • 0 + 14 • 1 14

3 • 2 • 0 + (17 – 5) 46

5. Вычисли с устным объяснением:

1 • 15 = 15 1 • 27 = 

15 : 15 =  27 : 27 = 

15 : 1 =  27 : 1 = 

6. Вставь в окошко число так, чтобы равенство было верным:

 • 12 = 0  : 9 = 1 25 :  = 25

 • 12 = 12  : 9 = 0 25 :  = 1

7. Найти значения выражений:

а • 9 и 36 : а, если а = 1, а = 0

8. Вставь вместо  нужный знак:

0  7 = 7 5  0 = 0 9  1 = 9 0  3 = 0 17  0 = 17

9. Составь все возможные равенства, используя числа 0, 1, 12 и знак деления (числа могут повторяться).

10. Составь задачу, чтобы она решалась так: 28 : 28 = 1.

Вопрос 17. Свойства сложения натуральных чисел, их назначение. Теоретико-множественный смысл этих свойств. Методика изучения свойств сложения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов сложения чисел.

Сложение как алгебраическая операция обладает такими свойствами как ассоциативность и коммутативность:

1. (а,b,cN) : (a+b)+c=a+(b+c)

2. (а,bN) : a+b=a+b

С точки зрения теоретико-множественных позиций коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство: АВ=ВА.

Действительно, если а=n(A), b=n(b) и АВ=, то а+b=n(АВ)=n(ВА)=b+a

по опр. сложения

Ассоциативность рассматривается аналогично. Пусть а=n(A), b=n(b), c=n(C) и АВC=, то (а+b)+c= n(АВ)+n(C)=n((АВ)C)=n(А(ВC))=n(A)+n(BC)=a+(b+c)

по ассоциативности операции объединения множеств

Оба свойства обобщаются на сложение нескольких слагаемых: коммутативность означает, что при любой перестановке слагаемых сумма не изменяется. Например: 2+6+11=6+2+11=11+2+6=2+11+6=6+11+2

Ассоциативность сложения нескольких слагаемых означает, что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка). Например: ((3+6)+5)+8=(3+6)+(5+8)=3+(6+(5+8))

В начальном курсе математики изучаются оба свойства. Коммутативность носит название переместительного закона. Ассоциативность в явном виде не изучается, но используется вместе с коммутативностью при изучении правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.

Вопрос 18. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения правил вычитания в начальном курсе математики, их использование для устных приемов вычитания чисел.

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: a–b=c тогда и только тогда, когда b+c=a. Число a–b – разность чисел а и b, число а – уменьшаемое, b – вычитаемое. Если уменьшаемое или вычитаемое представлено суммой двух чисел, то для того, чтобы правильно вычесть число из суммы чисел или сумму чисел из числа, необходимо знать и пользоваться следующими теоремами:

1. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>c, то (a+b)–c=(a–c)+b. Если b>c, то (a+b)–c=a+(b–c). Если a>c и b>c, то можно использовать любую из данных формул.

2. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>d+c, то a–(b+c)=(a–b)–c или a–(b+c)=(a–c)+b

Этим теоремам соответствуют правила:

1. Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого этой суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

2. Для того, чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

А A\B В

С теоретико-множественной точки зрения разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B до множества А, если а=n(A), b=n(B) и ВА: a–b=n(A)–n(B)=n(A\B), если ВА. Взаимосвязь вычитания чисел позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

А С В

Рассмотрим правило вычитания числа из суммы [(a+b)–c]. Пусть а, b и с – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и АВ=, СА. Для данных множеств А, В и С имеет место равенство: (AB)\C=(A\C)В. Но n((AВ)\С)=n(AВ)–n(C)=(a+b)–c, а n((A\C)В)=n(A\C)+n(B)=(a–c)+b. Следовательно, (a+b)–c=(a–c)+b. Правило вычитания суммы из числа [a–(b+c)] рассматривается аналогично.

В учебнике М.И. Моро 2 класса правила вычитания не формулируются. Они представлены в неявном виде:

36– 2 = (30+6) – 2=30 + (6 – 2) Единицы вычитают из единиц.

36-20 = (30+6) –20=(30 – 20) + 6 Десятки вычитают из десятков.

60-24 = 60-(20+4)=(60 – 20) – 4

Эти правила используются для удобства вычислений.

В учебнике Н.Б. Истоминой эти правила формулируются. Они вводятся дедуктивно и на их основе выполняются практические упражнения.

Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычислительных приёмов. Введению свойства вычитания числа из суммы должна предшествовать подготовит. работа, в результате которой уч-ся знакомятся с матем. выражениями "сумма чисел","разность чисел", учатся читать и записывать выражения со скобками, заменять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы вводятся при изучении сложения и вычитания чисел в приделах 10 и нумерации чисел в пределах 100. Изучение св-в строится по плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого св-ва, затем научить детей применять их при выполнении разл, упражнений учеб. хар-ра и, наконец, научить, пользуясь знанием св-ва, находить рациональные приемы вычисления с учетом особенностей каждого конкретного случая. Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со св-вом вычитания числа из суммы.

Раскрывая суть св-ва, надо показать детям, что вычесть число из суммы можно различными способами: можно сначала вычесть это число из первого слагаемого, а затем к полученному рез-ту прибавить 2^е слагаемое. А можно из 2 слагаемого вычесть число и к полученному рез-ту прибавить 1^е слагаемое. Или найти значение суммы, и из полученного рез-та вычесть число. Учитель пишет на доске: (5+3)-2. Прочит. пример. Назовите сумму. Назовите 1 слаг. этой суммы. Второе слаг. Назовите число, которое надо вычесть из этой суммы. Как найти рез-т. На доске: (5+3)-2=6. При раскрытии св-в можно испол. и др. наглядные пособия: на тарелке раскладывать фрукты, в конверты вкладывать открытки и т.п.

На сл. уроке одновременно с исп. нагл. пособий выполняют развернутую запись (учитель на доске, учащийся в тетради). Выполнение каждой записи учащийся сопровождает объяснением. Закрепление св-в, которые дети формулируют в виде правил, происходит в рез-те применения при выполнении спец. упр.:

1. Прочитай пример и вычисли рез-т разн. способами: (6+1)-2.

2. Найди рез-т удобным способом: (4+6)-1; (20+3)-10; (6+30)-20.

3. Закончи запись: (8+7)-2=(8-2)…; (40+7)-5=(7-5)…; (10+3)-3=(…)+10.

Как только учащиеся освоят св-во вычитания числа из суммы, вводятся одновременно приемы для случаев: 57-30 и 57-3; а несколько позднее- прием для случая 60-3. В кач-ве подготовки учащимся предлагается решить удобным способом примеры вида: (60+8)-50 и (60+8)-5. Выполняя такие задания, ученики замечают, что удобнее единицы вычитать из ед., а десятки из десятков. Новые приемы для случаев 57-30 и 57-3 раскрываются примерно так: учащиеся должны под руководством учителя, но с большой долей самостоятельности дать пояснение в соответствии с раннее данным планом. 1) Заменю; 2) Получится пример; 3) Удобнее. Случай 60-3 отличается от предыд. тем, что здесь уменьшаемое явл. разрядным числом и его нельзя заменить суммой его разрядных слаг-ых. Находя рез-т, удобнее уменьшаемое заменить суммой таких 2^х слаг-ых, одно из которых 10. Такие слаг-ые наз. "удобными". Чтобы научить детей выделять такие удобные слагаемые можно использовать спец. упр.:

1. Замените число суммой по образцу:30=20+10; 40=…+10; 90=…+10; 50=…+10.

2. Решите удобным способом (50+10)-7; (90+10)-3.

При ознакомлении с приёмом исп. пучки палочек (один пучок развязывают). Св-во вычит. суммы из числа изучается по той же мет-ке.

Как только будут усвоены вычислит. приёмы, необх. проводить раб. по формированию вычисл. навыков.

1 стадия. Уч-ся сам-но выполняют все развёрнутые записи, комментируя вслух.

2 стадия. Частичное свёртыв. Сворачив-ся вспомог-ые операции. Вслух проговариваются только основные операции.

3 стадия. Полное свёртывание. Уч-ся про себя выделяют и вып-ют все основные операции. Происходит свёртывание основных операций.

4 стадия. Уч-ся вып-ют все операции в свёрнутом виде предельно быстро.

Вопрос 19. Правила деления суммы на число и произведения на число, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения этих правил деления в начальном курсе математики и их использование для устных приемов деления чисел.

Опр. Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a : b = с тогда и только тогда, когда b • c = a. Число a : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b –делителем.

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤a. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы и произведения на число.

Для того чтобы определить правило деления суммы на число, необходимо рассмотреть следующую теорему: Если числа а и b делятся на число с, то и сумма а+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+b на число с равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, то есть (а+b):с=а:с + b:с. На основе этой теоремы сформулируем правило деления суммы на число: Для того, чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Аналогично рассматривается правило деления произведения на число.

Теорема: Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение a•b делится на с. При этом частное, получаемое при делении а на с и числа b равно: (а•b):с = (а:с) • b. Правило деления произведения на число: Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число.

Если частное а:с и b:с существуют, то (а+b):с = а:с + b:с. Пусть а = n(А) и b = n(B), причем АВ=. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое разбиение. Если при этом множество А состоит из а:с подмножеств, а множество В из b:с подмножеств, то АВ состоит из а:с + b:с подмножеств. Это значит, что:

(а+b):с = а:с + b:с

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

Знакомство со свойством деления суммы на число происходит в 3 классе (1–4). Методика знакомства такова. Учитель дает пример (6+4)2 и предлагает решить его. Дети вычисляют сумму и делят на число. Затем учитель предлагает решить пример другим способом (для этого он использует рисунок). Дети, опираясь на графическую модель, делят на число каждое слагаемое и полеченные результаты складывают:

(6+4)2=62+42=3+2=5

Далее даются следующие упражнения на закрепление:

1.Сделай рисунок и реши двумя способами.

(6+3)3

2.Вычисли с устным объяснением:

(11+13)6

(80+16)4

(30+21)3

3.Составь задачу по выражению:

(20+30)5

Объясни разными способами ее решения.

4.Замени числа 60 и 75 суммой двух слагаемых, каждое их которых делится на 5.

5.Выполни действия в указанном порядке:

(62+18)8

(36+27)9

(46+16)7

Свойство деления произведения на число вводится в 4 классе. Но после знакомства детей со свойством деления суммы на число можно познакомить детей со свойством деления произведения на число.

В этом случае можно предложить детям ситуацию: заменить в выражении знак сложения на знак умножения и вычислить: (4+6):2 (4•6):2=24:2=12 (дети перемножают числа в скобках, и полученный результат делят на 2). Затем можно предложить детям решить другим способом. У них может получится: (4+6):2= 4:2+6:2=2+3=5. Получились разные ответы. Почему? В чем ошибка? Какое действие потеряли? Учитель подводит детей к выводу: второй способ решения таков: разделить один из множителей на число и умножить полученный результат на второй множитель то есть: (4+6):2=4:2•6=2•6=12 или (4+6):2= 6:2•4=3•4=12.

Далее даются упражнения для закрепления:

1. Найди значение выражения двумя способами

(8•6):2

2. Вычисли произведение и раздели полученный результат на число:

(3•9):3

3. Раздели на число один из множителей, а потом полученное число умножь на другой множитель(18•4):2

4. Выполни действия в указанном порядке:

(6•7):3

(5•9):3

(10•4):2

Какие примеры можно решить двумя способами? Почему?

5. Составь задачу по выражению:

(14•6):3

В начальном курсе математики приемы устного деления используются при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное. В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит св-во деления суммы на число. Однако методика формирования вычислительных умений может быть различной.

1 ПОДХОД

В учебнике М₂М выделяются 3 случая деления двузначного числа на однозначное и каждый из них отрабатывается отдельно:

1. 46 : 2, 96 : 3

2. 36 : 2, 65 : 5

3. 70 : 2, 96 : 4

Для каждого случая дается образец действия:

1. 46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23

2. 36 : 2 = (20 + 16) : 2 = 20 : 2 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18

3. 96 : 4 = (80 + 16) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24

Ориентируясь на образец, уч-ся выполняют тренировочные упражнения, в процессе которых закрепляются определенные способы действия.

В 1-ом случае делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых и затем используется св-во деления суммы на число.

Во 2-ом случае делимое представляется в виде суммы «удобных слагаемых». В кач-ве одного из таких слагаемых, выделяются разрядные десятки, которые дети умеют делить на данное число.

В 3-ем случае в качестве одного из слагаемых выступает наибольшее число разрядных десятков, которые делятся на данный делитель.

2 ПОДХОД

Учебник М₂И сориентирован на формирование общего способа действия, (т.е. делимое представляется в виде суммы 2-х слагаемых, каждое из которых делится на данное число) и на осознание его частных вариантов.

Задания:

1. вычисли значение выражения 52 : 4

Миша: я думаю, нужно представить 52 в виде суммы 2-х слагаемых, которые делятся на 4 и полученные результаты сложить:

(28 + 24) : 4 = 28 : 4 + 24 : 4 = 7 + 6 = 13

какие еще выражения можно составить?

2. догадайся, как рассуждал Миша, вычисляя значение выражения:

72 : 6 = (60 + 12) : 6 =...

84 : 7 = (70 + 14) : 7 =...

чем похожи выражения в скобках?

3. какие числа надо вставить в , чтобы получились верные равенства:

(30 + ) : 3 = 30 : 3 +  : 3

4. запиши выражение в виде частного 2-х чисел и найди значение: (80+4) : 4;

5. на какие группы можно разбить все выражения:

64 : 8 36 : 2 48 : 8

48 : 4 48 : 3 36 : 9

36 : 3 64 : 2 64 : 4

При делении двузначных чисел на двузначное число уч-ся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.

Не хватает итогов!

Вопрос 20. Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Знакомство с понятием «деление с остатком» в начальном курсе математики. Обучение младших школьников приемам деления с остатком.

Число 37 не делится нацело на 8. Но существуют числа 4 и 5 такие, что 37 = 8 • 4 + 5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5.

Опр. Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число в – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а=вq+r и 0 r в. Из определения вытекает, что остаток есть натуральное число, меньшее делителя в, поэтому при делении целых неотрицательных чисел на в может получиться всего в различных остатков: 0;1;2;3;…в–1. Например, при делении с остатком целых неотрицательных чисел на 5 возможны остатки: 0; 1; 2; 3; 4. Если ав, то при делении а на в с остатком неполное частное q = 0, а остаток r = а, т.е. q = 0 • в + а.

Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа в существуют целые неотрицательные числа q и r,такие, что а = вq + r, причем 0  r в. Пара целых неотрицательных чисел (q; r), обладающая этим свойством, единственная. Эта теорема отвечает на вопрос: «Всегда ли можно выполнить деление а на в с остатком?».

Теоретико-множественный смысл деления с остатком заключается в следующем: пусть а = n (A) и множество А разбито на подмножества А₁; А₂;…А_n…Х так, что множества А₁; А₂;…А_n равномощны и содержат по в элементов, а множество х содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁; А₂; …A_n,например n(x) = r. Тогда а = вq + r, где 0  r в. Т.о. неполное частное q – это число равномощных подмножеств (в каждом из которых в элементов) в разбиении множества А, а остаток r – это число элементов во множестве Х. Теоретико-множественный смысл деления с остатком можно рассмотреть на примере задачи: «У учительницы было 9 мячей. Она раздала по 2 мяча каждому ученику. Сколько детей получило мячи и сколько мячей осталось?». 9 : 2 = 4 (ост. 1). В этой задаче речь идет о множестве мячей с численностью n(A) = 9, которое разбито на подмножества по 2 элемента в каждом. Тогда 4 – это количество таких равномощных подмножеств. Кроме этого в разбиении получилось некоторое множество с численностью 1 меньше 2.

Данный вопрос изучается в традиционной образовательной системе 1-4 в 3 классе. Программой на это отведено 10 часов. Рассматриваются такие вопросы:

1. Понятие деления с остатком.

2. Величина остатка.

3. Подбор частного.

4. Подбор делителя.

5. Подбор делимого.

Учитель организует деятельность учащихся, направленную на усвоение понятия «деления с остатком». Для разъяснения смысла этого и знакомства учащихся с новой формой записи используется простая задача: «11 флажков раздали детям по 2 флажка каждому. Сколько детей получили флажки, и сколько флажков осталось?».      . Решение задачи можно записать так: 11:2=5 (ост. 1). При введении понятия «деление с остатком» наряду с упражнениями в учебнике можно выполнять и такие:

1) объясни запись:

17 : 3 = 5 (ост. 2)

15 : 4 = 3 (ост. 3)

9 : 2 = 4 (ост. 1)

2) выполни деление, сделав рисунок:

12 : 12

23 : 11

3) сравни и реши примеры каждой пары:

66 : 11 75 : 25

69 : 11 80 : 25

4) запиши число, при делении которого на 33 получится остаток 1.

В курсе начальной школы деление с остатком обычно рассматривается для случая, когда делимое больше делителя. Для закрепления смысла деления с остатком и новой формы записи учащимся предлагаются задания на соотнесение рисунка и математической записи.

Например:

7 : 3 = 2 (ост. 1) 12 : 5 = 2 (ост. 2) 10 : 3 = 3 (ост. 1) 11 : 2 = 5 (ост. 1)

1)    2)       3)     4)   

В процессе выполнения этих заданий их внимание обращается на остатки, которые получаются при делении различных чисел на данное число. После этого формулируется условие выполнения деления с остатком. А именно: остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Для усвоения свойства остатка можно выполнять такие задания:

1. Назови возможные остатки при делении на 2; 8; 21;

2. При делении нескольких чисел на одно и то же число получились остатки: 9; 1; 2; 3; 4; 5;. Как ты думаешь, на какое число производили деление?

3. Правильно ли выполнено деление? Если неправильно, то подумай, как можно исправить ошибку. Запиши правильное решение:

 : 12 = 22 (ост. 17)

 : 21 = 1 (ост. 46)

Основным способом действия при делении с остатком является подбор делимого, которое без остатка делится на данное число. Образец способа действия разъясняется на конкретном примере: 23 : 4.

23 не делится на 4 без остатка. Самое большое число до 23, которое делится на 4 без остатка, это 20. Разделим 20 на 4, получится частное 5. Вычтем 20 из 23, получится остаток 3. 24 : 4 = 5 (ост. 3). (3  4).

В качестве закрепляющих упражнений можно использовать:

1. Найди делимое

 : 17 = 3 (ост. 15)

 : 5 = 15 (ост. 4)

 : 82 = 0 (ост. 5)

2. Можно ли разделить 36 на 6 с остатком?

3. Выполни деление:

(15 + 13) : 7

(24 • 3 – 50) : 20

4. Какие цифры можно записать в окошке так, чтобы получилось верное равенство

5 : 7 = 8 (ост. 3)

4 : 6 = 7 (ост. )

6 :  = 9 (ост. )

5. Из ряда чисел 2; 3; 5; 7; 11; 17; 19; 39; выбери делимое, делитель, частное и остаток.

Все эти задания рационально включать в устный счет. (Сначала предложить сильным учащимся, а затем и для всего класса.)

Итог:

1. Приведенные задания доступны для учащихся.

2. Вызывают интерес не только к результату деятельности, что имеет большое значение для формирования интереса к математике.

3. Задания положительно влияют на развитие учащихся и способствуют формированию одного из ведущих качеств математического стиля мышления – гибкости.

Вопрос 21. Свойства умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения свойств умножения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов умножения чисел.

С теоретико-множественной точки зрения произведение a•b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств A и B, таких, что n(A)=a, n(B)=b. a•b=n(A)•n(B)=n(AB)

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности относительно сложения и вычитания:

1. a•b=b•a, n(AB)=n(BA)

2. a•(b•c)=(a•b)•c, n(A(BC))=n((AB)C)

3. a•(b+c)=a•b+a•c, n(A(B C))=n((AB) (AC))

4. a•(b-c)=a•b-a•c, n(A(B\C))=n((AB)\(AC))

Анализируя действия над числами, можно сделать вывод: при действии умножения над числами участвуют операции над множествами.

Каково назначение свойств умножения?

В курсе математики для начальной школы нашли отражение все свойства умножения: коммутативное (переместительное), ассоциативное (сочетательное) и дистрибутивное левое и правое (распределительное).

К коммутативности умножения можно подвести детей, используя прием аналогии (повторить свойство сложения и попробовать это же свойство для умножения):

3+2=5 2+4=6 7+3=10 3•2=6 2•4=8 7•3=21

2+3=5 4+2=6 3+7=10 2•3=6 4•2=8 3•7=21

Замени сложение умножением (суммой одинаковых слагаемых) и вычисли результат. Сравни полученные результаты в парах. Какой вывод можно сделать? Дети делают вывод: от перестановки множителей значение произведения не меняется.

Изучение других свойств умножения проходит индуктивно. В программе М. И. Моро при изучении предлагаются различные способы вычислений, анализируя которые дети приходят к выводам. В программе Н. Б. Истоминой предложен другой вариант изучения: учащиеся усваивают свойства умножения в процессе выполнения заданий и анализируя графические модели. Делать комментарии по страницам учебников.

Для выполнения устного умножения учащиеся используют различные вычислительные приемы, что предполагает усвоение нумерации в пределах 100, табличных случаев умножения, знание переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения. В начальном курсе математики приемы устного умножения используются при умножении двузначного числа на однозначное. Основным способом знакомства с вычислительным приемом является показ образца действий и его закрепление в процессе выполнения тренировочных упражнений (в учебниках М. И. Моро).

Но есть и другой подход (Н. Б. Истомина): детям предлагается вычислить произведение 13•7.

Маша вычисляла так: 6•7+7•7=42+49=91, Миша – так: 10•7+3•7=70+21=91. Объясни, как рассуждали Миша и Маша. Попробуй рассуждать так же, вычисляя значения произведений:

16•6 12•6 14•5 15•3

После этого задания выполняются тренировочные упражнения, дается правило (как формулируется правило в программе Истоминой Н.Б.?): при умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.

По каждому свойству рассмотреть соответствующие страницы учебников Моро и Истоминой.

Вопрос 22. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе. Методика изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона.

Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого знаком в записи числа. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления.

В римской системе счисления используются следующие символы:

• I - один

• V - пять

• X - десять

• L - пятьдесят

• C - сто

• D - пятьсот

• M - тысяча

• m (mille) - тысяча

• M_m – миллион

Правила записи чисел в римской системе счисления:

1. Каждый символ может быть использован не более трёх раз.

2. Символ меньшего значения, стоящий перед символом большего значения, может использоваться только один раз и уменьшает его значение.

3. Символ, стоящий справа, увеличивает значение.

Для позиционных систем счисления характерны понятия «разряд» и «класс», а также понятие основания системы счисления.

Основание системы счисления – это число, обозначающее, сколько единиц высшего разряда образуют одну единицу следующего разряда. Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число р≥2. Для записи чисел в системе счисления с основанием р необходимо p символов.

Записью натурального числа в системе счисления с основанием р называется его представление в виде х= а_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p + a₀, где коэффициенты а_n, a_{n-1, …} a₁,a₀ принимают значение 0,1, 2…,р-1 и а_n≠ 0.

Так как понятия числа и его записи нетождественны, то существование и единственность записи числа надо доказывать.

Теорема: Пусть р≥2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо и притом единственным образом в виде х= а_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p + a_0.

Примером позиционной системы счисления может служить десятичная система счисления (ДСС), которая наиболее распространена. Она основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах, возникла в Индии в VI веке. В ДСС основанием системы счисления является число 10. Для записи чисел в ДСС используется 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичной записью натурального числа называется его представление в виде х= а_n10n + a_n-110^n-1 + … + a₁10 + a_0, где коэффициенты а_n,a_{n-1, …} a₁,a₀ принимают значение 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n≠ 0.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из чисел меньше.

Теорема: Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в ДСС.

х= а_m10n + a_n-110^n-1 + … + a₁10 + a₀

у= а_m10m + a_m-110^m-1 + … + a₁10 + a₀

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

1. n<m

2. n=m, но a_n , b_m

3. n=m, a_n= b_m, … , a_k=b_k, но a_k-1<b_k-1

Например: х=3456, у=3467; х<у, так как число тысяч и сотен одинаковое, но в числе х десятков меньше.

В ДСС всем числам можно дать имя. Имеются названия первых десяти чисел; затем из них в соответствии с определением десятичной записи числа и путем прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел.

Например: название чисел второго десятка образуются из соединения первых девяти названий и измененного слова «десять»

Для того, чтобы назвать все числа в пределах миллиарда, нужно знать16 слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Данный вопрос изучается в начальной школе в теме «Нумерация».

В изучении нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона выделяются 2 этапа: изучение устной нумерации и изучение письменной нумерации. Методики изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона сходны, так как нумерация этих чисел опирается на группирование единиц десятками при счете.

В изучении нумерации сотни выделяются 2 этапа:

• нумерация чисел от 11 до 20

• нумерация чисел от 21 до 100

Изучение нумерации чисел с 11 до 20.

Изучение устной нумерации начинается с формирования у детей понятия о десятке (отсчет по 10 палочек). Затем, выполняя упражнения в счете десятков палочек, дети убеждаются, что десятки, так же, как и единицы, можно считать, складывать и вычитать (используется прием аналогии).

Например: 2+3=5, 2 дес. + 3 дес. = 5 дес.

Далее рассматривается образование чисел от 11 до 20 из десятков и единиц и поясняются их названия, дается этимология названий чисел.

Можно использовать такие виды закрепляющих упражнений:

• Отсчитай 15 палочек, узнай, сколько это десятков и единиц.

• Возьми 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько палочек ты взял?

• Сколько десятков и единиц в числе 17?

• Какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц?

Необходимо добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двузначное число.

При изучении письменной нумерации, чтобы раскрыть принцип записи двузначных чисел, используют абак. Переходя к обозначению чисел, выясняют десятичный состав числа и, опираясь на него, записывают цифрами, сколько в числе десятков и сколько единиц. Сразу же закрепляют полученные знания о принципе записи двузначных чисел:

• Что обозначает цифра 7, что обозначает цифра 1? (в числе 17)

Изучение нумерации чисел от 21 до 100.

При изучении устной нумерации на основе счета десятков раскрываются образование и название чисел 20, 30 и т.д., а затем, на основе счета десятков и единиц, образование и название чисел вида 24 (2 дес. и 4 ед.), 57 (5 дес. и 7 ед.). В названии чисел появляются новые слова: сорок, девяносто.

Усвоению десятичного состава числа способствуют упражнения в образовании и замене чисел суммой разрядных слагаемых:

• Какое число составляет 5 дес и 7 ед.? (57)

• Сколько десятков и единиц в числе 62 (6 дес и 2 ед.)

Также можно использовать прием наглядной интерпретации, обозначив десятки треугольниками, а единицы кругами.

Например:  ΔΔΔΔ (34) ΔΔΔΔΔΔ  (69)

Можно использовать карточки, например:

5	7		Дес.	Ед.
			5	7

С целью систематизации знаний полезно в конце работы над темой включать задания по характеристике заданных чисел.

Изучение нумерации в пределах тысячи и миллиона проходит аналогично изучению нумерации в пределах сотни на втором этапе, используются аналогичные приемы и закрепляющие упражнения.

Подготовительную работу целесообразно начинать заранее, систематически включая устные упражнения на знание соотношения известных им разрядных единиц, о десятичном составе чисел, последовательности чисел, о принципах записи чисел вида:

• Сколько единиц в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы?

• Какое число состоит из 5 дес и 7 единиц? Какое число состоит из 7 сотен и 5 дес?

• Какое число следует при счете за числом 85? Какое число следует при счете за числом 139?

При изучении нумерации в пределах 1000 под руководством учителя учащиеся устанавливают и записывают соотношения между разрядными единицами: 10 ед=1 дес, 10 дес=1сот. В названии чисел используется новое для ребят слово: сто.

У детей может сложиться неправильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами сотни (после числа 100 сразу число 200). Чтобы избежать этого, следует включать упражнения в счете предметов и в присчитывании по одному. При изучении письменной нумерации знание о натуральной последовательности чисел закрепляют, предлагая письменные упражнения на установление предыдущего и следующего числа (примеры вида а+1).

Нумерация чисел в пределах миллиона имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются и записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Учителю необходимо раскрыть это важное понятие ДСС, а также сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице II класса.

В названии чисел появляются новые слова: тысяча, миллион.

Для усвоения структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в нумерационную таблицу или записывают в нее числа, которые называет учитель.

Для этого можно использовать следующую систему упражнений:

1. Прочитай числа, записанные в таблице. На каком месте, считая справа налево, пишут единицы? Десятки? Сотни?

Сотни	Десятки	Единицы
Единицы 3 разряда	Единицы 2 разряда	Единицы 1 разряда
2 6 3	5 6 0	3 2 6

2. Запиши и прочитай число, в котором:

1. 5 единиц третьего разряда, 0 единиц второго разряда, 6 единиц первого разряда.

2. 1 единица третьего разряда, а единиц второго и первого разрядов нет.

3. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч			I класс – класс единиц
Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы

1) Единицы каких разрядов составляют первый класс? Второй класс?

2) Сколько разрядов в каждом классе?

4. Сколько единиц каждого разряда в числах: 967 тысяч? 609 тысяч? 90 тысяч? 76 тысяч?

5. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч			I класс – класс единиц
Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы
2 4	1 3 0 4	2 5 0 0	0 0 0 0	0 0 0 0	0 0 0 0

Скажи, сколько единиц второго класса содержат числа, записанные в таблице? Прочитай эти числа.

6. Замени число суммой разрядных слагаемых:

205=+ 

205 000= +

640=  + 

640 000 =  + 

7. Запиши и прочитай числа, в которых:

5 сотен 9 единиц

5 сотен тысяч 9 единиц тысяч

8. Сколько единиц второго и первого классов в каждом числе, записанном в таблице?

9. Запиши и прочитай числа, в которых:

• 30 единиц второго класса и 870 единиц первого класса;

• 8 единиц второго класса и 600 единиц первого класса;

• 4 единицы второго класса и 0 единиц первого класса.

10. Запиши числа цифрами:

“Наименьшее расстояние от Земли до Луны составляет триста пятьдесят шесть тысяч четыреста десять километров, а наибольшее – четыреста шесть тысяч семьсот сорок километров”

11. Что обозначает каждая цифра в записи числа 140 401? 308 000? 70 050?

12. Запишите с помощью цифр 9 и 0 одно пятизначное число и одно шестизначное.

13. Спиши, заполняя пропуски:

1 тысяча =  сотен 3 тысячи =  сотен

1 сотня =  десятков. 1 сотня =  десятков

Значит: Значит:

1 тысяча =  десятков 3 тысячи =  десятков.

14. Запиши числа: 378, 6 517, 85 742, 375 264. Сколько в каждом из них всего десятков? (Подчеркни) Сколько всего сотен?

15. Рассмотри числа: 3 849, 56 018, 370 843. Какое из подчеркнутых чисел показывает, сколько всего десятков в числе? Сотен? Тысяч?

16. Запиши числа, которые содержат:

• 40 тысяч 60 единиц

• 40 тысяч 6 единиц

• 100 тысяч 1 единица

• 101 тысяча 10 единиц

• 9 тысяч 9 единиц

• 9 тысяч 90 единиц

17. Сколько единиц каждого разряда в числе 395 028? В числе 602 003? Сколько единиц каждого класса в этих числах?

18. Сколько нулей надо записать после цифры 1, чтобы она обозначала сотню? десяток тысяч? Сотню тысяч?

19. Проверь, верны ли неравенства:

5 312 < 5 320

900 001 > 901 000

20. Запиши 6 четырехзначных чисел, используя каждый раз все данные цифры: 3, 7, 0, 8. Что обозначает цифра 7 в записи этих чисел?

21. Используя цифру 7, запиши однозначные, двузначные, трехзначные, четырехзначные числа.

Вопрос 23. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения.

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу сложения однозначных чисел.

Смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения проходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

	7	2	3	8
		3	4	1
	7	5	7	9

+

Представим слагаемые 7238 и 341 в виде суммы степеней десяти. 7238+341= (7•10³ +2•10²+3•10+8)+(3•10²+4•10+1). Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 7•10³+2•10²+3•10+8+3•10²+4•10+1. На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7•10³+3•10²+2•10²+4•10+3•10+1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7•10³+(3•10²+2•10²)+ (4•10+3•10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой скобке число 10², а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7•10³+(3+2)•10²+(4+3)•10 +(1+8). Сложение данных чисел 7238 и 341 свелось к сложению однозначных чисел. Таким образом, в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, можно сформулировать в виде алгоритмического предписания:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде а₀+в₀ =1•10+с₀, где с_о – однозначное число; Записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и так далее.

Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.

Приступая к изучению письменного приема сложения, учитель ставит перед собой следующие задачи:

1. познакомить учащихся с приемом письменного сложения

2. научить применять приемы письменных вычислений.

3. Сформировать прочные умения (навыки) применения приемов.

Исходя из теоретических фактов, лежащих в основе алгоритма письменного сложения, мы определяем необходимый минимум ЗУН для изучения этого материала.

1. Знание нумерации.

2. Сложение в пределах 20.

3. Алгоритм сложения.

4. Правила сложения разрядных чисел.

Данный раздел изучается по программе Моро М.И.(М₂М) начиная с концентра 100, где рассматриваются следующие случаи:

1. +	3	4			+	5	3	4			+	3	2	0
   	5	3				2	5	3				4	5	0
   	8	7				7	8	7				7	7	0

   Сначала даются упражнения на сложение чисел без перехода через разряд.

2. Затем рассматриваются случаи, когда при сложении разрядных единиц получается число, равное 10 единицам, или при сложении разрядных десятков – число, равное 10 десяткам.

3. Когда при сложении разрядных десятков получается число, большее 10 десятков.

4. Когда при сложении разрядных единиц получается число, большее 10 единиц и при сложении десятков – большее 10 десятков. Требуется уточнение случаев!

В программе Истоминой Н.Б. (М₂И) учащиеся знакомятся с алгоритмом письменного сложения после того, как они усвоят нумерацию чисел в пределах миллиона. При этом их деятельность направлена не на отработку частных случаев сложения, а на осознание тех операций, которые входят в алгоритм. (Маловато!)

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.

Вычислительное умение - это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством. М.И. Бантова выделила 4 этапа формирования вычислительных умений. (Это не этапы формирования, а методика ознакомления с приёмом!)

1. Подготовка к введению нового приема. На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно : учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, составляющей прием.

2. Ознакомление с вычислительным приемом. Учащиеся усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка. Учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т.е. овладеть навыком.

4. Решающая роль упражнений.

Н.В. Зотова предлагает работу по предупреждению ошибок при выполнении письменного приема сложения. Освоив арифметическое действие сложение, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если посвятить на уроке время конструированию «Справочника ошибкоопасных мест».

На 1 этапе учащимся предлагается подумать какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения. Например.

1. Замена арифметических знаков.

2. ошибки в записи чисел 2567 вместо 2657

3. пропуск цифры.

4. запись лишней цифры..

5. замена цифр 2557 вместо 2567.

На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел.

Модели ошибок:

1. ошибка в записи чисел в столбик.

2. Ошибка в постановке знака.

3. Знак +, а ученик вычитает.

4. Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда.

5. неправильно определили количество цифр в сумме.

6. Допустили ошибки при сложении чисел в пределах 10 или с переходом через 10.

После этого можно предложить детям самостоятельную работу.

Задание 1. исправь ошибки:

+	9	7	0	6	2			+	3	5	6	7	8
	1	9	4						1	2	6	4

Задание 2.Объясни решение.

+	5	4	6	9	2			+	6	7	0	3	6	8
		3	6	2	1				1	2	0	0	6	8
	5	8	3	1	3				7	9	0	4	3	6

Задание 3. Придумай задание с «ловушкой» для своего соседа.

Эффективность данной работы во многом будет зависеть:

1. от того насколько сам учитель будет готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок;

2. от того, насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель – как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.

Вопрос 24. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного вычитания. Формирование навыков письменного вычитания.

Алгоритм – это одно из фундаментальных понятий, которое используется в различных областях знания (в математике и информатике). Алгоритм – это программа действий для решения задач определенного типа.

Вычитание однозначного числа в из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что в+с=а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел. Если же числа а и в многозначные и в < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Рассмотрим возникновение этого алгоритма и теоретические факты, лежащие в его основе на примере разности чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в 10^ой системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231=(4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1). Чтобы вычесть из числа 4•10²+8•10+5 сумму 2•10²+3•10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1) = (4•10²+8•10+5)-2•10²-3•10-1. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2•10² вычтем из слагаемого 4•10² ,число 3•10 из слагаемого 8•10, а число 1 из слагаемого 5, тогда: (4•10²+8•10+5)-2•10²–3•10-1=(4•10²–2•10²)+(8•10-3•10)+(5-1). Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4–2)•10²+(8-3)•10+(5–1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4–2, 8–3 и 5–1 находим по таблицам сложения и получаем выражение: 2•10²+5•10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485–231=254. Выражение (4–2)•10²+(8–3)•10+(5–1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: •

	4	8	5
	2	3	1
	2	5	4

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

• способе записи числа в ДСС.

• правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа.

• свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания.

• таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблицы сложения однозначных чисел. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в ДСС, который можно представить в следующем предписании:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого (b₀>a₀), а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10, вычитаем из числа 10+а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм письменного вычитания многозначных чисел в традиционной системе вводится в программе 1–4 в концентре «Тысяча», хотя в учебнике М₂М учащимся показывают, как вычитать «в столбик» уже двузначные числа. В учебнике М₃М эта тема изучается последовательно: сначала вычитание двузначных чисел без перехода через разряд, потом вычитание из чисел, оканчивающихся 0, затем вычитание с переходом через разряд. Продолжение изучения этой темы происходит в других концентрах.

Учителю необходимо помнить:

1. При ознакомлении детей с алгоритмом провести с детьми систему подготовительных упражнений. Нужно повторить состав числа, вычитание в пределах 10 и т.д.

2. Управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма.

3. В упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования.

Приступая к изучению данного раздела, учитель должен реализовать следующие задачи:

1. познакомить учащихся с алгоритмом письменного вычитания

2. научить применять прием письменного вычитания столбиком

3. формирование прочного навыка письменного вычитания

Опираясь на теоретические факты, лежащие в основе алгоритма, учитель определяет круг знаний, умений и навыков для изучения этого материала. Ученики должны уметь записывать числа, знать табличное сложение и вычитание, знать правила вычитания суммы из суммы и уметь применять свойство дистрибутивности относительно вычитания.

Введение письменного вычитания двузначных чисел было по-разному воспринято учителями. Одни считают, что выполнение действий «в столбик» окажет негативное влияние на формирование навыков устного вычитания. Другие отнеслись положительно, так как при устном вычитании двузначных чисел с переходом через разряд, учащимся приходиться пользоваться приемами вычислений, содержащих большое количество операций. Также в учебниках у Моро М.И. для каждого случая дается образец действия, которое затем закрепляется в процессе выполнения аналогичных упражнений.

Подготовительные упражнения:

• Сравнение чисел (6>2, 5<8);

• Повторение состава числа 10 (знание состава числа 1000 должно быть доведено до автоматизма);

• Повторяются устные приемы вычитания: 56–32=56–(30+2)=26–2=24

На основе этого приема дается объяснение:

1. Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.

2. Вычитаю единицы из единиц: 6–2=4. Пишу цифру 4 под единицами.

3. Вычитаю десятки из десятков: 5–3=2. Пишу цифру 2 под десятками.

4. Читаю ответ: разность равна 24.

Проводится система закрепляющих упражнений (см. М₂М (1–4), стр. 14, №62).

1. Запиши примеры в столбик и реши с объяснением:

39–26 75–34 28–14 97–41

2. Реши примеры с объяснением:

	4	3
	3	1

	8	9
	6	0

	9	5
	3	5

Далее изучаются примеры вычитания с переходом через десяток. Здесь можно поставить проблемный вопрос относительно записанных на доске примеров: можем ли мы вычесть в столбик?

	7	2
	3	4

	6	5
	4	8

	3	5
	1	6

Подготовительные упражнения направлены на:

• Повторение состава числа 20;

• Повторение вычитания в пределах 20;

• Повторение нумерации.

Далее детям предлагается вычесть устно: 72–34=72–(30+4)=42–4=38.

На основе этого примера дается объяснение:

1. Пишу десятки под десятками, единицы под единицами.

2. Вычитаю единицы: из 2 нельзя вычесть 4; беру 2 десяток из 7 десятков (чтобы помнить об этом, ставлю точку над цифрой 7); 1 десяток и 2 единицы – это 12, 12–4=8.

3. Вычитаю десятки, стало не 6, а 7 десятков, 6–3=3, пишу под десятками 3.

4. Читаю ответ: 38.

Упражнения для закрепления:

	4	1
	1	5

	7	2
	2	3

	5	4
	1	7

	6	3
	4	7

1.Реши с объяснением:

2.Запиши примеры и объясни их решение:

43–27 38–25

56–48 73–54

Так же предлагаются примеры вида 80–36. В подготовительный период упражнения направлены на: повторение состава чисел и вычитание в пределах 10. Объяснение ведется аналогично, как и при вычитании с переходом через десяток.

Упражнения для закрепления:

1. Реши примеры с устным объяснением:

80–27 50–25

60–18 70–32

М.А. Бантова предлагает следующие стадии формирования вычислительных навков:

1. Закрепление знания приема.

Учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись.

2. Происходит частичное свертывание выполняемых операций.

Учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, то есть промежуточных вычислений.

Нужно специально учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приеме.

3. Происходит полное свертывание выполнения операций.

Учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, то есть здесь происходит свертывание основных операций.

4. Происходит предельное свертывание выполнения операций.

Учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, определенно быстро, то есть они овладевают вычислительным навыком.

В 3-4 классе изучаются примеры вычитания трехзначных чисел.

	5	0	6
	21	8	3

	4	6	3
	1	8	0

	1	5	7
	1	4	8

	7	0	0	0	5	6
					4	2

Объяснение и случаи аналогичны. Для каждого случая дается образец действия, которое затем закрепляется в процессе выполнения аналогичных упражнений. Особую сложность представляют примеры с несколькими нулями в уменьшаемом, так как дети часто путаются в вычитании, а иногда и не понимают, как нужно вычитать. Используются приемы подписывания карандашом девяток над нулями.

Иной подход у Истоминой Н.Б. Прием письменного вычитания изучается в четвертом классе. После того, как учащиеся усвоят нумерацию концентра «многозначные числа». При изучении нумерации их внимание обращается на то, как изменяется цифра, стоящая в определенном разряде данного числа при его увеличении (уменьшении) на разрядные единицы, десятки, сотни и т.д. В процессе этих упражнений дети осознают соотношение разрядов, их «переполнение» и значение каждой цифры в записи числа. Это способствует сознательному усвоению механизма письменного вычитания. Далее происходит совершенствование устных приемов вычисления. Все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующего теоретического положения, лежащего в основе приема. Это реальная предпосылка овладения учащимися сознательными вычислительными навыками.

Зотова разработала возможные ошибки учащихся в процессе выполнения письменного вычитания:

1. ошибки при записи примера в столбик,

2. ошибка в постановке знака,

3. знак поставили правильно, но выполняют действие сложение,

4. неправильно обозначили разряд, из которого “занимали”,

5. неправильно обозначили количество цифр в разности,

6. допустили ошибки при вычисления в пределах 10, с переходом через десяток.

С целью предупреждение этих ошибок возможно использование следующих заданий с «ловушками»:

• реши примеры,

• реши примеры с объяснениями,

• объясни решение,

• не вычисляя определи, сколько чисел будет в разности,

• закончи запись примеров,

• придумай примеры по схемам,

• придумай сам задания с «ловушками»

Процесс формирования вычислительного навыка длительный и требует больших затрат времени и усилий.

Вопрос 25. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления Теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного умножения. Формирование навыков письменного умножения.

В начальном курсе математики понятие "алгоритм" рассматривается как программа действий для решения задач определенного типа. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе. Умножим, например, столбиком 428 на 263.

			4	2	8
			2	6	3
		1	2	8	4
	2	5	6	8
	8	5	6
1	1	2	5	6	4

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6, и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284,так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел. Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь: – умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти; – складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4•10²+2•10 +8 и тогда 428•3=(4•10²+2•10+8)•3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4•10²)•3+(2•10)•3+8•3. На основании ассоциативности умножения и таблицы умножения однозначных чисел получим: 12•10²+6•10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать полученное выражение: коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1•10+2, а число 24 в виде 2•10+4. Затем в выражении (1•10+2)•10²+6•10+(2•10+4) раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения, сгруппируем слагаемые 6•10 и 2•10 и вынесем 10 за скобки: 1•10³+2•10²+(6+2)•10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 110³+210²+810+4. Полученное выражение – есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428•3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на: – записи чисел в десятичной системе счисления; – свойствах сложения и умножения; – таблицах сложения и умножения однозначных чисел. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_n a_n-1…a₁ a₀ на однозначное число y:

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифру разряда единиц числа x на число y. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифры единиц числа x на число y больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁ + c₀ , где c₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифру разряда десятков на число y, прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа x на число вида 10^k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Например, 347•10³=(3•10²+4•10+7)•10³=3•10⁵+4•10⁴+7•10³=3•10⁵+4•10⁴+7•10³+0•10²+0•10 +0=347000. Заметим еще, что умножение на число y10^k, где y – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число y и на число 10^k. Например, 52•300=52•(3•10²)=(52•3)•10²= 156•10²=15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру с которого начинали, т.е. к произведению 428•263. Представим число 263 в виде суммы 2•10²+6•10 +3 и запишем произведение 428•(2•10²+6•10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения сложения, равно 428•(2•10)+428•(6•10)+428•3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428•2)•10²+(428•6)•10+428•3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Т.О. приходим к алгоритму умножения числа x=а_n а_n-1 …а₁ а₀ на число y=b_m b_m-1 … b₁ b₀ .

1. Записываем множитель x и под ним второй множитель y.

2. Умножаем число x на младший разряд b₀ числа y и записываем произведение x•b под числом y.

3. Умножаем число x на следующий разряд b₁ числа y и записываем произведение x•b₁ , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению x•b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления x•b_k.

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами.

Из курса математики известно, что письменное умножение опирается на:

- запись числа в десятичной системе счисления;

- таблицу умножения однозначных чисел;

- законы сложения и умножения;

- таблицу сложения однозначных чисел.

Поэтому младшие школьники знакомятся с алгоритмом письменного умножения после изучения всех названных понятий. Применяя знание разрядного состава числа и свойство умножения суммы на число, дети легко умножают многозначное число на однозначное, если нет перехода через разряд. При выполнении вычислений для случая с переходом через разряд возникает необходимость фиксировать промежуточные результаты в том или ином виде:

- с помощью знания разрядного состава числа;

- с помощью сложения промежуточных результатов в "столбик".

Это затрудняет вычислительную задачу, поэтому возникает необходимость познакомить детей с алгоритмом письменного умножения.

При знакомстве учащихся с записью умножения "в столбик" полезно обратить их внимание на то, что при умножении, так же как при сложении, второе число (множитель) записывается под первым так, чтобы его разряды были под соответствующими разрядами первого множителя:

			3	7	5
					3

			3	7	5
				3	1

			3	7	5
			2	8	4

Объясняя детям механизм умножения "в столбик", следует подчеркнуть, что:

1. умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего разряда;

2. записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему разрядом.

После объяснения алгоритма умножения на однозначное число важно, чтобы дети осознанно усвоили последовательность операций, входящих в алгоритм. Для этого полезно предлагать следующие задания:

1. Объясни, как выполнено умножение "в столбик":

			8	5	1	4
						7
		6	9	5	9	8

			3	2	1	4
						5
		1	6	0	7	0

2. Вставь пропущенные цифры, чтобы запись была верной:

			3	5	0	9
						9
		*	*	5	*	1

			4	0	0	8
						8
		3	2	*	6	4

			7	0	0	2
						6
		4	2	*	*	2

Важно, чтобы дети понимали, что способ записи, с которым они познакомились на первом уроке изучения алгоритма, правомерен и для случаев умножения чисел, оканчивающихся нулями. Для этого принято использовать такую запись:

			7	2	0
				6

			3	7	0	0
				2

Она позволяет нули, стоящие на конце первого множителя, перенести в ответ. Для осознания этого факта можно предложить упражнения вида: 1305=13 дес.•5=65 дес. 23004=23 сот.•4=92 сот.

Алгоритм письменного умножения на однозначное число – основа овладения учащимися алгоритмом письменного умножения на двузначное и трёхзначное числа. Можно предложить учащимся записи "в столбик" умножения на двузначное число, а они сами попробуют объяснить выполненные действия.

Комментируя действия, связанные с выполнением записи "в столбик", целесообразно вести понятия: первое неполное произведение и второе неполное произведение.

Для осознания усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, дети анализируют примеры и сравнивают их.

Алгоритм умножения на трёхзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число, также используя анализ выполненных действий.

Добавить: а)стадии формирования вычислительных навыков по бантовой; в) ошибки по Зотовой.

Вопрос 26. Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного деления. Формирование навыков письменного деления.

Алгоритм – программа действий для решения задач определенного типа. (Стойлова Л.П.)

Алгоритм – пошаговое описание целенаправленной деятельности. (Паутова А.Г. – Бененсон Е.Г.)

Один из способов записи алгоритма является алгоритмическое предписание.

Алгоритмы могут быть:

• линейные;

• разветвленные;

• циклические.

Алгоритм деления относится к циклическим алгоритмам.

А лгоритм деления основан на принципе деления с остатком, где a=bq+r, 0rb. (a - делимое, b - делитель, r - остаток, q - частное)

В основе деления лежат такие факты как:

• способ записи в десятичной системе счисления;

• деление с остатком;

• таблица сложения и соответствующих случаев вычитания;

• табличное умножение;

• свойства делимости чисел;

• вычитание многозначных чисел.

Алгоритм деления:

1. Записать два числа уголком

2. Определить количество разрядов в частном, выделив первое неполное делимое.

3. Начинаем искать цифру частного методом перебора.

4. Умножаем делитель на подобранную цифру и результат записываем под первым неполным делимым, находим разность.

5. Если разность больше делителя или произведение больше первого неполного делимого, то цифра частного подобрана неправильно, следует дальше искать ее.

6. После нахождения разности следует перевести результат в более низкий разряд и повторять пункты 3 – 6.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком осознается детьми в том случае, когда они выполняют деление с остатком, используя способ подбора, позволяющий сконцентрировать внимание на взаимосвязях умножения и деления, на способе нахождения остатка и на том, что остаток должен быть меньше делителя.

Для успешного усвоения письменного деления учащиеся должны усвоить разрядный и десятичный состав числа. Формирование навыков зависит от усвоения математических понятий и способов действий и от того, как будет построен процесс изучения нового способа действия.

В учебнике Моро 3 кл. нашел отражение подход, при котором дети овладевают алгоритмом письменного деления, рассматривая частные случаи деления. Например, при делении на однозначное число – первое неполное делимое – однозначное число (7292), затем первое неполное делимое – двузначное число (3764). Затем отрабатываются случаи, когда в частном нет единиц какого-либо разряда (46803). Деление на двузначные и трехзначные числа: частное – однозначное число, Двузначное, деление с остатком, частное – трехзначное число, число с нулем.

Каждый из случаев изучается по плану:

1. комментируется образец записи деления;

2. пользуясь образцом, учащиеся решают аналогичные примеры;

3. выполняют упражнения, включающие решение примеров, как нового случая деления, так и ранее рассмотренных.

Другой подход – Истомина 3 кл. – у детей формируется общий способ действия и умение использовать его в разных случаях. Возможность такого подхода нельзя рассматривать в рамках одной темы. Она определяется целями и логикой построения всего курса. Освоение алгоритмом письменного деления проходит три этапа:

1. Актуализация ЗУН (взаимосвязь деления и умножения, деление с остатком, свойство деления суммы на число и его использование).

2. Знакомство с алгоритмом письменного деления.

3. Усвоение общего способа действия и формирование вычислительных навыков.

Н.А. Бантова выделяет 4 этапа формирования вычислительного навыка:

1. Закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них.

2. Частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций.

3. Полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. происходит свертывание и основных операций.

4. Предельное свертывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро (тренировочные упражнения).

При освоении алгоритма письменного деления учащиеся могут делать такие ошибки:

• неправильно определили первое неполное делимое;

• ошибка в определении количества цифр в частном;

• ошибка в подборе пробного числа;

• ошибка при умножении пробного числа на делитель;

• ошибка при нахождении остатка.

Вопрос 27. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Действия с величинами одного рода. Связь этих действий с действиями над числами. Методика формирования представлений о времени в начальном курсе математики.

Величина, которая определяется только численным значением, называется скалярной величиной. Если при выделенной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной. Положительными скалярными величинами являются: длина, площадь, объем, масса, время и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями и наоборот.

А=Вm(А)=m(В)

АВm(А)m(В)

АВm(А)m(В)

Например, если массы двух тел таковы, что А=5кг, В=3кг, то можно утверждать, что А>В, т.к. 5>3

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А+В достаточно сложить численные значения величин А и В.

А+В=Сm(А+В)=m(А)+m(В)

Например, если А=5кг, В=3кг, то А+В=5кг+3кг=8кг.

3. Если величины А и В таковы, что В=х•А где х- положительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины Е, то чтобы найти численное значение величины В при единице Е, достаточно число х умножить на число m(А)

В=х•Аm(В)=х•m(А)

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А=2кг., то В=3•А=3•(2кг.)=6кг.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты – это величины одного рода, они отражают одни и те же свойства.

Перечислим основные положения, связанные с однородными величинами:

1. Однородные величины сравнимы: А  В, А=В, А  В

2. Отношение«меньше» для однородных величин транзитивно: если А  В и В С, то А  С

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода, т.е. для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С=А+В, которую называют суммой величин А и В. Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А – масса арбуза, а В масса дыни, то С=А+В- это масса арбуза и дыни.

А+В=В+А и (А+В)+С=А+(В+С)

4. Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода.

Определяют вычитание через сложение. Разность величин А и В называется такая величина С=А-В, что А=В+С Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А  В

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода, т.е. для любой величины А и любого положительного действительного числа х, существует единственная величина В=х•А, которую называют произведением величины А на число х .

6. Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число частным величин А и В называется такое положительное действительное число х=А:В, что А=х•В

В курсе математики начальных классов дети знакомятся с различными величинами: длина, масса, объем, время, площадь.

Изучение величин тесно связано с изучением нумерации, т.к. способствует формированию у учащихся представлений о числе и зависимости между единицами измерения также, как между разрядными единицами при счете:1дм.=10см, 1дес.=10ед. и т.п.

При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка данного понятия, его взаимосвязь с изучением других вопросов начального курса математики, а также психологических особенностей младших школьников:

1этап. Выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребенка).

2 этап. Сравнение однородных величин(визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использовании различных мерок)

3этап. Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4этап. Формирование измерительных умений и навыков.

5этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6этап. Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8этап Умножение и деление величин на число.

По всем этапам проследить изучение времени!

Вопрос 28. Понятие длины отрезка и ее измерения. Действия над длинами. Методика формирования представлений о длине отрезков в начальном курсе математики. Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

Длиной отрезка называется неотрицательная скалярная величина, обладающая следующими свойствами:

1. Равные отрезки имеют равные длины.

2. Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбираем любой отрезок е и принимаем его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладываем последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки уложились и конец отрезка е совпал с концом отрезка а, то говорят что значение длины а есть натуральное число n, и пишут а=nе.

Если же отрезки, равные е отложились n раз и остался еще один отрезок меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е₁=1/10е. Если они отложились точно n₁ раз, то а=n,n₁е и значение длины отрезка а - есть конечная десятичная дробь. Если же е, откладывается n₁ раз, и остается еще отрезок меньший е₁, то на нем откладываются отрезки, равные n=1/100е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а – есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице длина любого отрезка выражается положительным действительным числом.

Для измерения длин используют мерку, и отвечают на вопрос: ”Сколько раз эта мерка укладывается в данной величине?”

На практике для измерения длин отрезков используются инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

Над длинами можно выполнять действия.

А) Сложение длин (выраженных в одной или разных единицах измерения). Причем, если величины а и в измерены при помощи одной и той же единицы, то чтобы найти численное значение суммы а+в, достаточно сложить численные значения величин а и в.

В) Вычитание длин. Вычитание длин сводится к вычитанию численных значений этих длин. Для этого численные значения длин выражаются в одной единице измерения и из большей вычитается меньшая.

С) Умножение длины на число. Для этого на число умножается численное значение данной величины, выраженное в определенной единице измерения.

D) Деление длины на число. Для этого на число делится численное значение данной величины, выраженное в определенной единице измерения.

Е) Деление длин. Деление длин сводится к делению численных значений, которыми выражаются данные длины.

F) Увеличение длины на длину.

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово длина:

Многие окружающие нас предметы имеют длину. Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов, либо конкретного объекта из этого класса.

При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр, сантиметр, метр, километр и др.

Изучение данного вопроса в начальной школе идет с опорой на базовые (бытовые представлениия) знания детей о длине. Также в н. ш. дети знакомятся с историей развития мер длины (рассматриваются такие меры как локоть, сажень, вершок, аршин, дюйм, верста и др.).

Этапы работы над изучением длины в н. ш.

Выявление и уточнение представление детей о длине. Это удобно сделать в форме фронтальной беседы или опроса.

Сравнение однородных величин. Используется непосредственное сравнение (приложение) т.к. еще не введена единица измерения данной величины.

Знакомство с единицей измерения данной величины и измерительным прибором. Дети убеждаются в необходимости введения единой единицы измерения длины. При изучении данной темы превалирует практический метод.

Формирование измерительных умений и навыков у учащихся. Осуществляется на практических занятиях.

Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в одной единице измерения. Например: М₂ (1-4) с.13. №5. с.15. №4.

Знакомство с новой единицей измерения данной величины. Для этого дети в ходе практической деятельности убеждаются в необходимости введения новой единицы измерения длины, для удобства выполнения измерений.

Сложение и вычитание величин, выраженных в 2^х единицах наименования. Для усвоения соотношения между единицами длины предлагаются упражнения:

• на измерение;

• на построение отрезков определенной длины, выраженной в единицах 2^х наименований;

• на перевод величины, выраженной в одной единицы измерения, в другие единицы измерения;

• на сравнение однородных величин.

Умножение и деление величины на число. Например: М₄(1-4) с. 66. №299.

В 1 классе учитель учит детей сравнивать длины непосредственно. Со с.41. М₁ вводится опосредованное сравнение длин. Со с.120. М1. вводится понятие сантиметр. Изучение тем длина отрезка в н. ш. Идет параллельно с изучением темы нумерация. При изучении концентра 100 появляется новые единицы измерения – дециметр и метр. При изучении концентра 1000 – километр. Изучение темы километр целесообразно подкреплять экскурсией (прохождение заранее отмеренного расстояния).

Задача учителя показать детям значимость появления новой единицы измерения длины.

Цели изучения данного материала в н. ш. разнообразны:

• Бытовая необходимость.

• Прикладная необходимость

• Интеллектуальное развитие мл. шк. (разв. мышления и воссоздающего воображения).

Изучение данного материала способствует и дальнейшему успешному обучению в старших классах по предмету геометрии.

Вопрос 29. Понятие площади фигуры и ее измерения. Равновеликие фигуры. Измерение площади при помощи палетки. Теорема о площади прямоугольника. Методика формирования у младших школьников представлений о площади и ее измерении. Ознакомление с единицами площади и их соотношением.

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений. Это обыденное (бытовое) представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры.

Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольных фигур или площади криволинейных фигур и т.д. Мы будем рассматривать понятие площади применительно к многоугольникам и ограниченным плоским фигурам.

Если говорят, что фигура F состоит (составлена) из фигур F₁ и F₂, то имеют в виду, что она является их объединением, и у них нет общих внутренних точек. В этой же ситуации говорят, что фигура F разбита на фигуры F₁ и F₂ и пишут F=F₁+F₂. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 1,можно сказать, что она составлена из фигур F₁ и F₂ или что она разбита на фигуры F₁ и F₂.

Рис. 1

F₁

F₂

Определение. Площадью фигуры называется неотрицательная скалярная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1. равные фигуры имеют разные площади;

2. если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Эти свойства площади фигуры используются при ее измерении. Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е. Результатом измерения площади фигуры F будет неотрицательное действительное число, обозначим его S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади Е. В геометрии доказано, что для многоугольника и ограниченных плоских фигур такое число всегда существует и оно единственно. Из определения площади следуют известные свойства численных значений площади. Сформулируем некоторые их них, считая, что единица площади выбрана.

1. Если фигуры равны, то равны и численные значения их площадей, т.е. F₁=F₂S(F₁) = S(F₂). Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

2. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂ то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F₁ и F₂, т.е. S(F₁+F₂)=S(F₁)+S(F₂).

3. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1 ,т.е. S(E) =1.

4. При замене единицы площади численное значение площади фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой.

5. Если фигура F₁ является частью фигуры F₂,то численное значение площади фигуры F₁ не больше численного значения площади фигуры F₂, т.е. F₁≤F₂  S(F₁) ≤ S(F₂).

В практической деятельности при измерении площадей используются стандартные единицы площади: квадратный метр (кв.м.), квадратный сантиметр (кв.см.) и другие. Так, квадратный метр – это площадь квадрата со стороной, равной 1 метру. Между единицами площади существует взаимосвязь. Например, 1кв.м.=100кв.дм.

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка – длиной.

Так как теоремы о площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника хорошо известны из школьного курса математики, то рассмотрим только теорему о площади прямоугольника, доказав ее для случая, когда длины его сторон выражены натуральными числами. Такой выбор обусловлен тем, что знакомство с правилом вычисления площади прямоугольника происходит в начальной школе.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Напомним, что слово “площадь” в этой формулировке означает численное значение площади, а слово “длина” – численное значение длины отрезка. Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Пусть F – некоторая криволинейная фигура. Как найти ее площадь? Оказывается это можно сделать с помощью площадей многоугольных фигур. Мы рассмотрим способ, который используется в начальном обучении.

Если многоугольная фигура Q содержит фигуру F, а многоугольная фигура Р содержится в фигуре F, т.е. QFP, то S(P)≤S(F)≤S(Q). Если разность площадей фигур Q и P стремится к нулю, то существует единственное число S(F), удовлетворяющее данному неравенству и его считают площадью фигуры F.

Мы воспользуемся этим положением для обоснования приема измерения площади фигуры при помощи палетки. Палетка – это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки, образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(P) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F. Нетрудно обосновать эти действия. Пусть m – число квадратов, которые поместились внутри фигуры F, а n – число квадратов, через которые проходит контур фигуры F. Тогда S(P)=m, a S(Q)=m+n. И значит:

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку по-разному на фигуру и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.

В начальных классах у учащихся имеются некоторые интуитивные представления о величинах и об их измерении. Измерение заключается в сравнении данной величины с некой величиной того же рода, принятой за единицу. Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади.

Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» начинается с уточнения представление, имеющихся у учащегося о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «большая» или «маленькая» фигуры. Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь», выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых одна на другую, первая фигура целиком помещается в другой.

«В этом случае – сообщает учитель, в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой. Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или одинаковы! Этот вывод учащиеся могут сделать самостоятельно.

Но возможен такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой.

После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учащиеся поворачивают фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратов, а в другой 9 таких же квадратов. Оказывается, для сравнения площадей можно пользоваться меркой.

В озникает вопрос: какая фигура может быть использована в качестве мерки для измерения?

У читель или сами дети предлагают использовать в качестве мерки квадрат, равный ½ площади квадрата М (М₁), или квадрат, равный 2/3 квадрата М (М₂) или 1/4 площади квадрата М (М₃). Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число в каждом случае.

Так, пользуясь меркой М₁, они получают 20 М₁, и 18 М₁. Использование мерки М₃ дает 40 М₃ и 36 М₃

В процессе этой работы полезно обсудить такой вопрос: - Как зависит количество мерок, которое укладывается в прямоугольник, от величины самой мерки? Надо акцентировать внимание детей на том, что для измерения площади необходимо использовать одну мерку. Для осознания этого факта учитель может предложить выложить на фланелеграфе разные фигуры из четырех квадратов или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой.

После того как задание выполнено, полезно выяснить:

- Чем построенные фигуры похожи? (они состоят из четырех квадратов)

- Можно ли утверждать, что площадь всех фигур одинаковы? (дети могу проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других фигур).

Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратами, получаем число 10 измеряя прямоугольником, состоящим из двух квадратов, получаем число 5, если мерка равна ½ квадрата, то получаем 20, если ¼ квадрата, то получаем 40. Чтобы проследить зависимость числового значения величины мерки, следует расположить мерки в возрастающей последовательности и под ними записать числовые значения площади. Дети отмечают что каждая следующая мерка состоит из двух (т.е. ее площадь больше площади мерки в два раза отсюда вывод во сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз уменьшилось числовое значение площади данной фигуры. Раскрытие соотношений меду единицами измерения площади. 1м=100см 1м² =? см². в чем сложность этих соотношений? Далее по уч. Моро и Истоминой.

Вопрос 30. Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметического действия над положительным рациональным числом. Свойства сложения и умножения положительного рационального числа. Методика изучения доли в начальном курсе математики.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n–ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде m/n•Е, где символ m/n называют дробью (читают «эм энных»). Число вида , где m Z, а n N, называется дробью.

Доля – одна из равных частей целого. Дробь – совокупность нескольких долей. В записи дроби m/n числа m и n называются m – числителем, n – знаменателем. Дробь m/n называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Дроби, являющиеся численным значением одной и той же величины, называются равными.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь равная данной. На этом свойстве основано 2 операции с дробями:

а) сокращение дроби – это замена дроби ей равной, но с меньшими числителем и знаменателем;

б) приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей им равными, но с одинаковым знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, т.е. одновременно делятся только на единицу, то дробь называется несократимой.

Для того чтобы дроби m/n и p/q выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq=np  две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Отношение равенства дробей рефлексивно (m/n=m/n, т.к. mn=nm), симметрично (если m/n=p/q, то p/q=m/n, т.к. mq=nppn=qm) и транзитивно (если m/n=p/q и p/q=r/s, то m/n=r/s), т.е. является отношением эквивалентности. На множестве рациональных чисел отношение эквивалентности можно задать двуместным предикатом: Р(x;y)=«дробь х=дроби у». Это отношение разбивает множество рациональных чисел на классы эквивалентных (равных) дробей. Каждый класс данного разбиения есть положительное рациональное число. Положительное рациональное число – это класс равных дробей, где каждая дробь этого класса есть запись положительного рационального числа . Среди равных между собой дробей всегда существует одна единственная несократимая дробь. Количество классов эквивалентности дробей и количество дробей в каждом классе бесконечно. Множество всех п.р.ч. обозначают Q₊. Отношение равенства: если п.р.ч. а представлена дробью m/n, а п.р.ч. в – p/q, то а=в тогда и только тогда, когда mq=npравные рациональные числа представляются равными дробями.

Если п.р.ч. а представлено дробью m/n, а п.р.ч. в – дробью p/n, то их суммой называется число а+в, которое представляется дробью . Сложение п.р.ч. коммутативно и ассоциативно.

Если п.р.ч. а представлено дробью m/n, а п.р.ч. в – дробью p/q, то их произведением называется число ав, которое представляется дробью . Умножение п.р.ч. коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Вычитание п.р.ч. удовлетворяет условию: а-в=с тогда и только тогда, когда а=в+с. Равность а-в п.р.ч. существует тогда и только, когда ва. Если разность а-в существует, то она единственна. Правило вычитания: .

Деление удов. условию: а:в=с тогда и только, когда а=вс

Правило деления:  частное п.р.ч. существует всегда!

Согласно программе начального курса математики при изучении темы «Доли» ставятся следующие задачи:

• сформировать у учащихся представление о доле величины;

• научить читать и записывать доли;

• научить сравнивать доли одной и той же величины на наглядной основе;

• решать задачи на нахождение доли числа и числа по его доле.

Для формирования представления о дроби используется решение текстовых задач. Сначала предлагается задача: «Два брата разделили поровну между собой 6 яблок. Сколько яблок досталось каждому?»

Ученики самостоятельно записывают решение задачи (6:2=3) и дают ответ на ее вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая задача: «Два брата разделили между собой 1 яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?». Учитель берет яблоко и просит разделить его поровну. Ученики предлагают разрезать яблоко на две равные части. Учитель разрезает яблоко и показывает одну из равных частей. Спрашивает: как можно назвать эту часть яблока (половина). Почему? (разделили пополам). Кто догадался, как можно по-другому назвать половину? (одна вторая). Докажите. После этого дети отвечают на вопрос задачи.

Одна вторая – это дробное число: ½. На доске оформляется решение задачи: 1:2=1/2???.

Далее поясняется, что в записи дроби ½ число под чертой показывает, на сколько равных частей делят предмет. Это знаменатель дроби. Число над чертой показывает, сколько таких частей взяли. Это числитель дроби.

Чтобы научить детей сравнивать дроби на основе наглядности, можно использовать элементы самоконтроля. На доске нарисованы отрезки, разделенные на равные части различным образом.

Убедившись в том, что у учеников сформировались представления о дроби и умение сравнивать дроби с опорой на наглядность, вводятся дроби с числителем, большим единицы. Для этого предлагается задача: «Мама к чаю подала торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел 2 куска торта, а сестра съела одну часть. Какую часть торта съел брат? Сестра? Для решения используем круг, разделенный на 10 равных частей:

1. На сколько равных кусков мама разрезала торт?

2. Сколько съела сестра? Покажите.

3. Какую часть торта составляет один кусок?

4. Кто может записать соответствующую дробь?

5. Сколько съел брат?

6. Какую часть торта составляют два куска?

7. Кто может записать дробь две десятых?

Назовите знаменатель, числитель этой дроби. Что они означают?

Затем учащиеся выполняют сравнение дробей с опорой на наглядность и записывают:

1/102/10; 2/101/10

Кому из детей досталось больше (меньше) торта? Сколько всего кусков съели дети? Какую часть торта составляют съеденные куски? Запишите.

Выполнение этого задания вызывает интерес у класса.

Далее ведется работа по изучению тем: «Нахождение доли числа и нахождение числа по доли».

Вначале учащимся предлагается задача: «Береза прожила 50 лет, что составляет 1/5 часть продолжительности ее жизни. Какова продолжительность жизни березы?»

На доске модель задачи. Дети рассуждают: 1/5 часть составляет 50 лет, а в целом 5 таких частей. Можно узнать продолжительность жизни березы, для этого 50•5=250

Учитель предлагает составить задачу, обратную данной « Продолжительность жизни березы 250 лет. Она прожила одну пятую часть своей жизни. Сколько лет прожила береза?». Составленную задачу дети решают самостоятельно. Получив ответ, они убеждаются в правильности решения исходной задачи.

Рассмотренная методика доказывает, что применение нестандартных учебных заданий при изучении темы способствует активизации деятельности и интереса учащихся к изучаемому материалу.

Методы и приемы работы учителя:

• Наглядный метод – ведущий, иллюстрирует все основные положения;

• Практическая деятельность детей – на закрепление (выделение доли, перегибание, штриховка)

• Большая роль – система закрепляющих упражнений, которые может составить сам учитель, так как в учебниках мало материала;

• Полезно использовать эвристические беседы, кот следует продумывать так, чтобы дети сами делали выводы.

Материал темы в программе:

Моро М.И. 3 класс, тема: Умножение и деление – нахождение доли числа и части по его доле.

Моро М.И. 4 класс, тема: Умножение и деление – задачи на нахождение нескольких долей числа.

Материал темы в учебниках:

Моро М.И. 3 класс 1 часть.

1 урок: стр. 96 – 8 заданий, «Доли». Дети узнают, как образуются, называются, сравниваются дроби с опорой на бытовые представления о делении поровну. Дается определение доли: одна из равных частей целого, показывается запись: . Дети узнают, что означает числитель и знаменатель, учатся сравнивать доли с опорой на наглядный материал (стр.97), стр. 102 – закрепление.

2 урок: стр. 98 – решение задач.

Моро М.И. 4 класс 2 часть – стр.103 «Материал для углубления знаний о долях». Образование долей и дробей, запись и сравнение, задач нет.

Истомина Н.Б.4 класс – стр. 212 – Образование дробей, название, запись, определение, что означает числитель и знаменатель. Особенность – все называют дробями, отсутствует термин доля. Решение задач на дроби – много заданий.

2

МПК №8 Гаврилин Н.Н.