ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ г. МОСКВЫ

Педагогический колледж №8

Курс лекций

к экспериментальной программе

"Теория и методика

начального курса математики"

(ТОНКМ С методикой её преподавания)

Составитель: Гаврилин Н.Н.,

преподаватель математики.

Москва

Содержание

Вопрос 1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Структура определения понятия через род и видовое отличие. Способы определения понятий в начальном курсе математики. Ознакомление учащихся с геометрическими фигурами: прямоугольником, квадратом и их свойствами. Обучение учащихся распознаванию этих фигур

Понятие - это логическая категория, которая в логике рассматривается, как форма мысли, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Т.О понятие – это мысль, в которой отражаются существенные признаки объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Они созданы умом человека. Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Термин – это слово или словосочетание, которым обозначается понятие. Пример: Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – всё множество объектов, называемых одним термином. Любое понятие имеет не только объем, но и содержание. Содержание понятия – всё множество существенных признаков (свойств), однозначно определяющих принадлежность объекта объему данного понятия. Пример: Рассмотрим понятие «прямоугольник». Объем понятия – множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д. Между объемом и содержанием понятия существует обратно пропорциональная зависимость.

Пример: Объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник». Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, предполагает их определения.

Определением понятия называется логическая операция, раскрывающая содержание данного понятия. Чаще всего это повествовательное предложение, разъясняющее суть нового термина. Определяют понятия, как правило, на основе ранее изученного термина. Но в любом определении можно выделить две части – определяемое понятие (новый термин) и определяющее понятие (ранее изученный термин и свойства нового понятия). Пример: Прямоугольник можно определить так: «прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если мы обозначим буквой a определяемое понятие, а буквой b определяющее, то можно записать, что a есть b; а равносильно b по определению; a тогда и только тогда, когда b - такие определения называются явными.

Если рассматривать определяющее понятие, то можно выделить:

1. понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

2. свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники, поэтому его называют видовым отличием.

Вообще, видовое отличие – это свойства, которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия. Все выше сказанное можно представить в виде схемы.

Определяемое понятие	=	Родовое понятие	+	Видовое отличие
		Определяющее понятие

Формулируя определения, нужно придерживаться ряда правил:

1. Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий не должны совпадать.

2. Не должно быть порочного круга, то есть в определяющем понятии не должно быть определяемого.

3. Определение должно быть ясным, то есть термины должны быть известны.

Через род и видовое отличие можно по-разному определить одно и то же понятие. Для того чтобы правильно дать определение нужно:

1. Назвать термин.

2. Указать ближайшее родовое понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие объекты из объема родового понятия.

4. Соблюдать правила определения понятия.

В начальном курсе математики выделяются четыре группы понятий:

• Понятия, связанные с числами, операциями над ними и отношениями между ними

• Алгебраические понятия (выражение, равенство и др.)

• Геометрические понятия (прямая, отрезок и др.)

• Понятия, связанные с величинами и их измерением

В методике преподавания курса математики различают несколько способов определения понятий:

• явный способ, структура которого содержит две части – определяющее и определяемое понятие (прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.) (Моро М.И. 2кл.(1-4) стр. 52);

• неявный, в их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее понятие. Среди них различают: контекстуальные – раскрытие нового понятия через отрывок текста, через контекст (Моро М.И. 3кл.1ч. (1-4) стр.10); остенсивные – определение путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. (Истомина Н.Б. 2кл.(1-4) стр.66-67).

О сновой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: это квадраты (рис. 1), это прямоугольники (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия. Рассмотрим возможный вариант такого изучения.

Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих деятельность детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели учитель может поместить на фланелеграфе различные фигуры. Сначала следует выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предложить учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и четыре стороны и т.д. После этого предложить им оставить на фланелеграфе только четырехугольники. Затем из них выделить те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (учащиеся догадываются или им сообщается, что четырехугольников с тремя прямыми углами не может быть). Дети выполняют задание учителя, сначала прикладывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла. В результате выделяются четырехугольники, у которых все углы прямые. Они имеют название – прямоугольники. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат представлены схематически.

Квадраты Прямоугольники Четырехугольники Многоугольники

Эту схему можно затем использовать для проведения различных игр, например игры «Где мое место?». Для этого двум ученикам дается одинаковое количество различных многоугольников. Побеждает тот, кто быстро и правильно заполнит схему фигурами.

Так как первоначально даваемый образ является наиболее устойчивым, то в начальной школе особенно важно дать правильное представление о вводимых понятиях. Средство формирования понятий - система специально подобранных заданий, раскрывающая сущность понятия. При составлении таких заданий следует ориентироваться на следующие умения учащихся, которые характеризуют сформированность понятия:

• Давать, если того требует программа определение понятия.

• Самостоятельно формулировать существенные признаки понятия.

• Подводить объект под понятие.

• Выводить следствия из факта принадлежности объекта объему данного понятия.

• строить объект, принадлежащий объему данного понятия.

• приводить свои примеры объектов как принадлежащих, так и не принадлежащих понятию.

• рассматривать объект в плане разных понятий.

Исходя из этих умений, система закрепляющих упражнений может быть такая:

• Назовите фигуру, которую вы видите. Дайте определение этой фигуре.

• Чем отличается данная фигура от остальных?

• Приведите пример фигуры, у которой …… или которая…..

• Если фигура является ………, то, что это значит?

• Изобразите фигуру, которая называется …….

• Выберите (покажите, нарисуйте) фигуры, которые являются ………., не являются………

• Чем похожи фигуры? Чем отличаются?

Таким образом, для лучшего усвоения геометрических понятий нужно предлагать учащимся следующие задания: назвать существенные признаки понятия, выбрать из предложенных геометрических фигур данное понятие, указать равные стороны, углы, самостоятельно начертить, привести примеры геометрических фигур, которые не являются данным понятием, найти в окружающей обстановке данное понятие.

Вопрос 2. Понятие высказывания и высказывательной формы. Высказывания с кванторами, способы установления значения их истинности. Приемы ознакомления учащихся младших классов с высказываниями, содержащими квантор общности (свойствами арифметических действий, геометрических фигур, правилами)

Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Пример: предложение «число 12 – чётное» является высказыванием, и оно истинно. Предложение «2+5>8» является высказыванием, и оно ложно. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C… Z. Если высказывание А истинно, то записывают А – «и», если оно ложно, то записывают А – «л», можно также использовать элементы булевой алгебры, где «1» - истинное высказывание, а «0» - ложное. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно и тем и другим оно не может.

Предложение «х+5=8» называется высказывательной формой, т.к. относительно него нельзя сказать истинно оно или ложно, оно порождает множество высказываний одной и той же формы. Пример: при х=2 высказывание «х+5=8» ложное, а при х=3 – истинное. По числу переменных, входящих в высказывательную форму различают одноместные, двуместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х,у). Пример: х+5=8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «прямая х параллельна прямой у» - двуместная (понятие высказывательной формы, содержащей 2 и более переменных, определяется аналогично). Значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание, называют множеством истинности высказывательной формы. Например: х>5, множество истинности (5; +∞), х+5=8, множество истинности (3). Множество истинности высказывательной формы обозначают Т, Т  Х.

Слова «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», «не», «неверно, что…» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называются составными. Предложения, не являющие составными, называются элементарными. Пример: «число 28 – четное и делится на 7». Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных, и умение выявлять логическую структуру высказывания.

Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х. Запись (х) А(х) означает «для всякого значения х предложение А(х) – истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение (хХ) А(х) можно читать: а) для всякого х из множества Х истинно А(х);

б) всякий элемент из множества Х обладает свойством А.

Выражение «существует х такое, что…» в логике называется квантором существования по переменной х (переменная может быть обозначена и другой буквой) и обозначается символом х. Запись (х) А(х) означает: «существует такое значение х, что А(х) - истинное высказывание». Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А(х), и тогда предложение (хХ) А(х) можно читать: а) существует такое х из множества Х, что истинно А(х);

б) хотя бы один элемент х из множества Х обладает свойством А.

Примеры: «Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2» - квантор общности. «Некоторые нечетные числа делятся на 5» - квантор существования.

Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Доказательство истинности высказываний, содержащих квантор общности, можно выполнять различными методами (рассуждения, перебор всех возможных вариантов и др.). Привести пример.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Заметим, что убедиться в ложности высказывания – это значит опровергнуть его.

В начальной школе высказывания с кванторами общности изучаются в неявном виде. Например, изучая свойства арифметических действий, дети узнают, что:

• Делить на 0 нельзя

• При умножении на 1 получается то же самое число, что и умножали (аN) а1=а

• При вычитании разность всегда меньше уменьшаемого (а-b=c, где с а)

• При сложении, если к какому-либо (т.е. любому) числу прибавить 1, то получится последующее число.

При изучении данных правил учитель делает акцент на то, что все эти свойства арифметических действий характерны для любых чисел натурального ряда, и приводит в пример свои примеры:

• 21=2, 31=3, 51=5, 281=28 и т.д.

• 15-7=8, где 815; 32-11=21, где 2132 и т.д.

• 3+1=4, 4+1=5, 47+1=48, 632+1=633 и т.д.

При изучении свойств геометрических фигур, например в теме «Квадрат. Площадь квадрата» дети знакомятся с признаком квадрата:

• «у квадрата все стороны равны, у квадрата 4 угла», который также характерен для любого (каждого) квадрата;

• также учитель показывает детям, что формула нахождения площади применима для квадрата любого размера. В качестве доказательства учитель рисует на доске несколько квадратов разного размера, показывая в каждом квадрате его признак, а затем находит площади этих фигур, показывая тем самым, что формулу эту можно применять к абсолютно любому квадрату.

При изучении правил в математике, учитель на основе закона коммутативности сложения (в начальных классах этот закон рассматривается как правило) «от перемены мест слагаемых сумма не меняется», тоже использует высказывание с квантором общности, т.к. это правило подходит для любых чисел натурального ряда. Учащиеся могут самостоятельно доказать это правило своими примерами:

15+8=23 17+4=21 6+19=25

8+15=23 4+17=21 19+6=25 и др.

Важно, чтобы дети сами сказали, что это свойство выполняется при сложении любой (всякой, каждой) пары чисел.

Или, например, при изучении правила прибавления числа к сумме (для того, чтобы прибавить число к сумме, можно прибавить это число к первому слагаемому суммы, а затем к полученному результату прибавить 2^е слагаемое. Учитель также подчеркивает, что данное правило характерно для любых чисел из натурального ряда, и показывает это на примере: (17+21)+3=(17+3)+21=41 и т.д.

Задания на знание точного смысла слов: и, или, все, каждый, некоторые.

Для уточнения смысла указанных слов целесообразно использовать первые уроки.

С помощью контрольных вопросов (заданий) выясняется, правильно ли дети понимают смысл слов: и, или, все, каждый. В случае затруднений учащихся необходимо раскрыть смысл указанных слов. Ввести слова все, каждый при выполнении, например, следующих заданий:

1) Обведите на одной строчке 3 клетки. Раскрасьте их. Вопросы: сколько клеток обвели? Сколько клеток раскрасили? (3 клетки обвели и 3 раскрыли. Можно сказать также, что обвели 3 клетки и все раскрасили, а можно сказать и по-другому: обвели 3 клетки и каждую раскрасили).

Для проверки понимания смысла введенных слов можно предложить следующие задания:

2) У Маши было 4 яблока. Все яблоки она отдала сестре?

3) Нарисуйте 5 флажков. Каждый из них раскрасьте красным карандашом. Сколько флажков нарисовали? Сколько флажков раскрасили? Почему? (Нарисовали 5 флажков и каждый раскрасили. Значит, раскрасили 5 флажков).

Умение правильно использовать слова: и, или, все, каждый, некоторые формируется при выполнении заданий, аналогичных следующим:

4) а) Верно ли, что все треугольники – красные; все круги – синие; некоторые круги – синие; каждый треугольник – красный; все квадраты – белые?

б) Выбери из слов все, некоторые, каждый нужное и запиши его вместо точек, чтобы предложения были верными:

…… треугольники – красные, …… круги – синие, …… квадрат – зеленый.

5. Учитель дал детям задание. Один ученик выполнил задание так:

Другой ученик выполнил то же самое задание так:

Учитель проверил и сказал, что оба ученика выполнили задание правильно.

Подумайте, каким было задание. Выберите правильный ответ из предложенных:

а) нарисуйте 3 квадрата и 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата и 2 треугольника;

б) нарисуйте 3 квадрата или 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата и 2 треугольника;

в) нарисуйте 3 квадрата или 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата или 2 треугольника

г) нарисуйте 3 квадрата и 2 треугольника. Раскрасьте 3 квадрата или 2 треугольника.

Для нахождения ответа учащиеся могут для каждого из предложенных ответов дать интерпретацию и путем сравнения с данными рисунками указать правильный ответ.

Вопрос 3. Понятие дедуктивного умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Примеры дедуктивных умозаключений из начального курса математики. Обучение доказательству младших школьников.

Определение I.

Дедукция (от лат. deductio – выведение) – вывод по правилам логики; цель умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. Началом (посылками) Д. являются аксиомы, постулаты или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений (“общее”), а концом – следствия из посылок, теоремы (“частное”). Если посылки Д. истинны, то истинны и её следствия. Д. – основное средство доказательства.

Определение II.

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования. (Стойлова Л. Н.)

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А₁, А₂, ... , А_n, а заключение – буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: A₁, A₂,..., Аn => В.

Часто используют такую запись: . В ней черта заменяет слово «следовательно». Дедуктивным является умозаключение, которое рассмотрено в примере 1.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: "Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Число 23 – двузначное. Следовательно, его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых 23 = 20 + 3".

Первое и второе предложения в этом умозаключении – посылки, причем одна посылка общего характера – это высказывание: "любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых", а другая – частная, она характеризует только число 23 – оно двузначное. Заключение – это предложение, которое стоит после слова "следовательно", – также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Суждения бывают единичными: в них, что – то утверждается, или отрицается относительно одного объекта.

Например: 12 – четное число; квадрат ABCD – не имеет острых углов; уравнение 23 – х = 30 – не имеет решения.

Различают суждения частные и общие.

а) в частных что – то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса, или относительно некоторого подмножества данного множества предметов. Например: "Уравнение х – 7 = 10 решается на основе взаимосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью”.

б) в общих что – то утверждается или что – то отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например: “В прямоугольнике все углы равны”.

II. Схемы дедуктивных умозаключений.

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (2), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение. Но как строить такие умозаключения и проверять их правильность?

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Для этого предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие:

– правило заключения; – правило отрицания;

– правило силлогизма.

В начальном курсе математики для доказательства используют только правило заключения (см. пример 1).

Дедуктивные рассуждения (умозаключения) с большей или меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, т. к. именно они воспитывают строгость, четкость, лаконичность мышления. Особенность дедуктивных рассуждений заключается в их тесной связи с индуктивными. А так же – то, что в нач. кл. они применяются в неявном виде, т. е. общая и частная посылка в большинстве случаев не проговариваются, уч-ки сразу приступают к действию, которое соответствует заключению. Для сознательного проведения дед. рассуж. необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления мл шк., которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться дедуктивным рассуждением.

При решении простых задач на разностное сравнение имеет смысл уже обращаться к дедуктивным рассуждениям, используя наглядность только на этапе проверки решения задачи. Например: «У Коли было 6 марок, у Пети 2 марки. На сколько марок больше у Коли, чем у Пети?» Рассуждения уч-ся: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньше (общая посылка). Умозаключение: значит, нужно из марок Коли вычесть марки Пети».

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом: «Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число». Составляя таблицы  + 1 и  – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение: «4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В данном случае общая посылка: если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше; частная посылка: 4 при счете называют раньше, чем 5; заключение: 4<5.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при вычислении значений выражений. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка выполнения действий.

Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у школьников умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при выполнении задания:

Сравни выражения, поставив знак <, > или =, чтобы получилась верная запись: 6+3 ... 6+2 6+4 ... 4+6 учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6+2 < 6+3, потому что 8<9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8<9» чаще всего не обосновывается. Хотя при выполнении данного задания они могли бы сравнить слагаемые в суммах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибегая при этом к вычислениям. Интересный опыт работы по формированию умения рассуждать отражен в опыте работы учителя В.П. Леховой. Она предлагала детям два листа, на одном из которых были написаны общие посылки, на другом – частные. Нужно установить, какой общей посылке соответствует каждая частная. Ученикам дается инструкция: «Вы должны выполнить каждое задание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь воспользовавшись одним из правил, записанных на листе 1».

Лист 1

1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, то частное увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже разделится на это число.

5. Если из данного числа вычесть предшествующее ему число, то получим 1.

Лист 2

Задания расположены в другой последовательности, чем посылки.

1. Найди разность: 84 – 83, 32 – 31, 54 – 53.

2. Назови суммы, которые делятся на 3:

9+27, 6+9, 5+18, 12+24, 3+4, 3+6.

3. Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :

125–87 ... 127–87 246–93 ... 249–93

584–121... 588–121

4. Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :

304: 8 ... 304:2 243:9 ... 243:3 1088:4 ... 1088:2

5. Как быстро найти сумму второго примера в каждом столбике:

25+13=38 134+28=162 257+375=632

27+13= … 139+28= … 257+378= …

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Вопрос 4. Понятие текстовой задачи, её структура. Основные этапы решения задачи и приёмы их выполнения. Методика формирования понятия «задача» в начальном курсе математики. Различные методические подходы к формированию умения решать задачи.

Задача – сформулированный словами вопрос, ответ на который можно получить, выполнив определённый набор операций (Истомина Н.Б.). В начальном курсе математике решению текстовых задач уделяется огромное внимание, так как они являются не только средством формирования многих математических понятий, но и средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Текстовая задача – описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П.)

Текстовая задача содержит 2 основных элемента:

1. условие задачи - утверждение задачи. В задаче обычно не одно условие, а несколько. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними.

2. требование задачи – Их может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в утвердительной форме.

Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Чтобы понять структуру задачи, надо построить высказывательную модель задачи.

Этапы решения задачи.