1. Анализ задачи.

Основное назначение этапа – понять в целом ситуацию, описанную в задаче; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Известно несколько приёмов, которые можно использовать при анализе задачи.

а) Задать официальные вопросы и ответить на них:

О чем задача?

Что требуется найти в задаче?

Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?

Что в задаче неизвестно?

Что является искомым ?

б) Приём перефразировки текста задачи.

Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Отбрасывается несущественная, излишняя информация, заменяются описания некоторых понятий соответствующими терминами; преобразовывается текст задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

Назначение этапа: установить связь между данными и исходными объектами, наметить последователь­ность действий. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели:

От данных к вопросу.	От вопроса к данным.
Решающий выделяет в тексте задачи 2 данных и на основе связи между ними определяет, какое неизвестное м.б. найдено по этим данным и с помощью какого арифм. действия. Затем, считая это это неизв. данными вновь выделяет 2 взаимосвязанных данных, опред. неизвестные и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта.	Нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить, что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Затем выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если нет, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные и т.д.

Поиск плана решения задачи может производиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.

3.Осуществление плана решения.

Назначение этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Приемы:

• запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

• запись в виде выражения.

4.Проверка решения задачи.

Назначение этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Приемы:

• Установление соответствия между результатом и условиями задачи (результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли противоречия).

• Решение задачи другим способом.

Понятие «задача» в начальном курсе математики.

При обучении младших школьников математике решению текстовых задач уделяется большое внимание, т.к.:

1. В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребёнка.

2. Решение этих задач позволяет ребёнку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.

3. В процессе их решения у ребёнка можно формировать умения, необходимые для решения любой математической задачи.

Вот, например, простейшая схема – введение в анализ задачи (1 класс.).

2 3	условие
?	вопрос
2+3=5	решение
5	ответ

Она создается на первых уроках при разборе задачи в картинках: В вазе лежало 2 яблока. Мама положила туда еще 3 яблока. Сколько яблок стало в вазе? Цель таблицы – оставить наглядный след при первом объяснении элементов задачи. Выводу схемы сопутствуют вопросы учителя – “Что в задаче известно? Что мы знаем?" Хором говорим – “Мы знаем, что в вазе было 2 яблока, и мы знаем, что мама положила туда еще 3 яблока”. При этом учитель заполняет рамку таблицы на доске и сообщает, что это условие задачи. Мы выделили условие задачи. Что спрашивается в задаче? Сколько яблок стало в вазе? (Схема на доске дополняется знаком вопроса). Это вопрос задачи. Мы выделили вопрос задачи. Сколько же яблок стало в вазе? – спрашивает учитель. Пять, - отвечают дети. Как узнали? Что сделали? К двум прибавили три. Запись на доске продолжается (2+3=5). Это решение. Вы сказали решение задачи. Сколько же стало яблок в вазе, скажите еще раз. (5). “5“ – это ответ. Мы сказали ответ задачи. Далее учитель подводит детей к обобщению только что проведенного анализа задачи: Какие же части, элементы задачи мы выделили? (условие, вопрос, решение, ответ). Схема дополняется этими словами. На следующем уроке схема перед глазами детей. Задание учителя: Назовите части задачи. Далее ребята учатся составлять задачу по картинке, выделять условие, вопрос, решение и ответ задачи.

В настоящее время существует множество методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач.

Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке по-разному. Все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач рассматривается с точки зрения 2^х принципиально отличающихся друг от друга подходов.

Один подход нацелен на формирование у учащихся умения решать задачи определенных типов (видов). Дети сначала учатся решать простые задачи, а затем составные, включающие в себя различные сочетания простых задач. При этом подходе многие учащиеся решают задачи лишь по образцу. А, встретившись с задачей незнакомого типа, заявляют: “А мы такие задачи не решали”. В этом огромный недостаток первого подхода.

Дети сначала учатся решать простые задачи, а затем составные, включающие в себя различные сочетания простых задач. М.А. Бантова и Г.В. Бельтюкова выделяют 3 группы простых задач:

1. Задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий.

2. Задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий.

3. Простые задачи, при решении которых раскрывается понятия разности и кратного отношения.

Разнообразить урок позволяют следующие виды задач (по Царевой)

1. Задачи, не требующие полного решения.

2. Установление соответствия между задачей и графической моделью.

3. Выбор среди данных задач нужной (3 задачи – 1 рисунок)

4. Выбор подходящей схемы (1 задача – 3 схемы)

5. Нахождение ошибок в схеме.

6. Классификация простых задач по действиям, которыми они могут быть решены.

7. Выбор задач, ответ на вопрос которых может быть найден в заданной последовательности действий.

8. Обнаружение ошибок в решении.

9. В качестве творческого задания можно предлагать детям придумать задачу по графической схеме.

Цель другого подхода – научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявить взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомыми и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей. При этом подходе процесс решения задач (простых и со-ставных) рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической. В основе осуществления этого подхода лежит математический анализ текста. Учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности, поэтому знакомству младших школьников с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений. Также необходимо сформировать у младших школьников (до знакомства с задачей) те логические приемы мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение), которые обеспечивали бы их мыслительную деятельность в процессе решения задач. При этом подходе значительно сложнее подготовительная работа, но решение задач более осмысленно.

Вопрос 5. Определение отношений "больше на…" и "меньше на…" на множестве натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше на…" и "меньше на…" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями.

В основе определения отношений «больше на» и «меньше на» лежит. понятие равночисленности множеств Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством У₁ другого множества У, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели. Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств выступает в качестве математической основы действий на предметном уровне.

С понятиями «больше на» и «меньше на» учащиеся знакомятся на первых уроках в первом классе в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами. Для установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами используют:

1. Наложение элементов одного множества на элементы другого:

К аких фигур больше?

Каких фигур меньше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

2. Расположение элементов одного множества под элементами другого:

К аких фигур больше?

Каких фигур меньше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

3. Образование пар, т. е. соединение элемента одного множества с одним элементом другого:

К аких фигур больше?

Каких фигур больше?

На сколько больше?

На сколько меньше?

Понятия «больше на», «меньше на» используются для случаев присчитывания и отсчитывания по единице при знакомстве с новым числом. В результате выполнения различных упражнений на каждом отрезке натурального ряда чисел, связанных с получением следующего числа (5+1=6; 6-1=5), дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше него на 1; перед числом 2 называют число 1, которое меньше него на 1 и т.п.

При обучении младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями используют графическое моделирование и установление взаимно-однозначных соответствий. Например, задача: «Коля сделал 4 флажка, а Витя – 7 флажков. На сколько флажков Витя сделал больше».

1. Рисунок: 2.Условный рисунок:

3. Чертеж: 4.Схематичный чертеж:

Отношение «больше на» означает, что во множестве флажков, сделанных Витей, столько же элементов, сколько их во множестве флажков, сделанных Колей и еще 4.

Учителю необходимо подвести детей к выводу: чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, можно из большего вычесть меньшее.

Упражнения для закрепления.

1. Каких элементов больше?

На сколько?

Каких элементов меньше?

На сколько?

2. На тарелке лежит 10 яблок и 4 апельсина. На сколько апельсинов меньше, чем яблок? Реши задачу с помощью рисунка.

3. Придумай задачу, опираясь на условный рисунок, и реши ее.

4. 8-6 Нарисуй схематический чертеж к этому выражению.

5. Составь задачу, для решения которой нужно из 15 вычесть 9. Сделай чертеж

Вопрос 6. Определение отношений "больше в … раз" и "меньше в … раз" для натуральных чисел, их теоретико-множественный смысл и способы моделирования. Методика формирования понятий "больше в … раз" и "меньше в … раз" в начальном курсе математики. Обучение младших школьников решению текстовых задач с данными отношениями

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть смысл отношений "больше в" и "меньше в ", с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач. В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если a:b=c, то можно говорить, что "a больше b в c раз" или, что"b меньше a в c раз". И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, достаточно большее число разделить на меньшее, если a=n(A), b=n(B) и известно, что "a меньше b в c раз", и поскольку a<b, то во множестве B можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству A, но так как a меньше b в c раз, то множество B можно разбить на c подмножеств, равномощных множеству A. Так как c-это число подмножеств в разбиении множества B, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве-a элементов, то c=b:a. Теоретико-множественным смыслом отношения "a больше (меньше) b в с раз" можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

A – грядки с морковкой

В – грядки с картошкой

Пример: "На участке 3 грядки моркови, грядок картошки в 2 раза больше. Сколько грядок картошки на участке?"

В задаче идет речь о двух множествах: множестве грядок моркови (А) и множестве грядок картошки (В). Известно, что n(A)=3, и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, то есть n(В).

Так как во множестве В элементов в 2 раза больше, чем во множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего во множестве В будет 3+3 или 3•2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке 6 грядок картошки.

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Важно разъяснить детям, что запись 2 • 5 можно прочитать: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5», «2 увеличь в 5 раз». В различных программах математики этот вопрос решается по-разному.

В учебнике М2М вводится понятие «больше в» и «меньше в» одновременно. Это можно сделать только после того, как дети познакомятся с делением. Работа над усвоением смысла умножения и понятием «больше в» значительно разведена во времени. Для введения понятия «больше в», «меньше в» используется комментирование рисунка. Например, к рисунку дано пояснение: «Квадратов – 3, кружков – 4 раза по 3. Кружков в 4 раза больше, чем квадратов, а квадратов в 4 раза меньше, чем кружков». Потом учащиеся выполняют задание: Сделай рисунок и реши задачу: «Для детей детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили?». Последующая работа по усвоению понятий «больше в», «меньше в» связана с решением простых задач на предметном уровне. Для того чтобы дети не путали понятие «больше в», «меньше в», им предлагается задание: "Сделай рисунок и реши задачу:

1. Сережа вырезал 4 красных квадрата, а синих в 3 раза >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезал Сережа?

2. Зина вырезала 4 красных квадрата, а синих на 3 квадрата >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезала Зина?"

Формирование представлений о смысле деления связано с введением понятий "уменьшить в несколько раз" ("меньше в") и "кратное сравнение" ("во сколько раз меньше?", "во сколько раз больше?"). Для усвоения также используются действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организованна по-разному. При одном подходе (М3М) дается образец действия. Предлагается рисунок и комментируется так: "В 1-ом ряду 8 кружков, а во втором в 4 раза меньше. Чтобы получить в 4 раза меньше кружков, чем 8, разделили 8 кружков на 4 равные части и взяли столько, сколько их в одной части. Сколько кружков положили во второй ряд?"

При другом подходе (М3И) учащимся предлагается два рисунка, которые они должны сравнить, ответив на вопросы: "Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево?

Ответы: «Слева 3 круга, а справа 3 круга повторили 4 раза». Этот ответ соотносится с 3 • 4, т.е. данная запись отражает те изменения, которые произошли с левым рисунком «Справа на 9 кругов больше, чем слева». Это высказывание соотносится с 3 + 9, которое учащиеся связываю с понятием, «увеличить на». Возникает вопрос, как увеличиться 3, если его повторить 4 раза. Говорят, что 3 увеличили в 4 раза. Далее учащиеся высказывают предположение о том, что выражение 12:4 связано с понятием "уменьшения в". Для обоснования этого предположения они используют рисунок. Справа 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим в 4 раза меньше.

Вводится это понятие по программе М_(1-4) в 3 классе (стр. 52) - индуктивно. То есть рассматривается сначала теоретико-множественный смысл на наглядном материале, далее анализируем, вследствие чего во время беседы выявляются отношения, которые указаны в правиле, а далее предоставляем систему закрепляющих упражнений:

1

А

А

. Что ты можешь сказать о длине отрезков в каждой паре?

B

N

B

N

С

M

M

помощью циркуля и линейки учащиеся отвечают на поставленный вопрос, используя понятия «больше в», «меньше в», «больше на» и «меньше на».

2. Нарисуй фигуру, которая в 2 раза меньше данной фигуры.

3. Догадайся! (М2И) Какой паре рисунков соответствует выражение 18:3 и что оно обозначает?

Выражение 18:3 обозначает, сколько раз в 18 клетках содержится по 3 клетки. В этом случае говорят, что выражение 18:3 обозначает, во сколько раз больше клеток в первом прямоугольнике, чем во втором, и во сколько раз меньше клеток во втором прямоугольнике, чем в первом.

Подумай! Какие выражения ты запишешь, чтобы ответить на вопросы:

Во сколько раз в первом прямоугольнике клеток больше, чем во втором?

Во сколько раз в третьем прямоугольнике клеток меньше, чем в первом?

4. Во сколько раз площадь верхней фигуры больше площади нижней?

А) Б)

А

Запиши ответ числовым равенством.

5. "Костя нашел ракушек в 3 раза меньше, чем Саша, а Вася в 2 раза меньше, чем Саша. Сколько ракушек нашел Саша, если Вася нашел их 6? Сколько ракушек у Кости?"

Начерти схему и запиши решение задачи по действиям.

1) 6•2=12 (р.) – нашёл Саша;

2) 12:3=4 (р.) – нашёл Костя

Вопрос 7. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Использование приема классификации при обучении математике в начальных классах.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы х₁,х₂…х_n, если выделена система подмножеств, отвечающая требованиям:

1. подмножества х₁,х₂…х_n попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств х₁,х₂…х_n совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, из множества треугольников выделить подмножество равносторонних, разносторонних и равнобедренных треугольников. Разбиения не будет, так как равносторонние треугольники являются равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа обладающие свойствами "быть кратными 3". Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, то есть, получаем еще одно подмножество натуральных чисел. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. Если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на 2 класса:

1. класс объектов обладающих этим свойством;

2. дополнение 1-ого класса до множества Х

Такую классификацию называют дихотомической.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Теорема. Множество считается разбитым на классы тогда и только тогда, когда на нем задано отношение эквивалентности.

Вообще же существование отношения эквивалентности является важным принципом математики так как:

1. Эквивалентный, следовательно, равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы.

2. Поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, то есть произвольным элементом этого класса.

3. Разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий.

Прием классификации.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.

Прием классификации – это прием разбиения множества на классы. В начальной школе можно использовать следующие упражнения, которые бы могли разделяться на разные виды:

1. Подготовительные задания. К ним относятся:

Убери (назови) "лишний" предмет (число). Назови лишнее число (пример):

8; 6; 3; 2; 10 6+1; 8+1; 3+5; 9+4; 2+7

"Нарисуй предметы такой же формы до равного количества". Сюда же можно отнести задание на развитие внимания и наблюдательности: "Какой предмет убрали?", "Что изменилось?"

2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель: 37; 61; 57; 34; 81; 64; 27 – разбейте данные числа на три группы, ориентируясь на цифры, записанные в разряде единиц; – на две группы, ориентируясь на цифры, записанные в разряде десятков.

3. Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание классификации. Переходя к таким упражнениям полезно указывать количество групп разбиения.

– разбейте данные выражения на группы; – на две группы; – на четыре группы;

3+2; 6-3; 4+5; 9-2; 4+1; 7-2; 10-1; 6+1; 3+4

В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и вычислительный прием. Для этого можно использовать следующие задания:

По какому признаку можно разбить данные выражения на две группы 57+4; 23+4; 36+2; 75+2; 68+4; 52+7; 76+7; 44+3; 88+6; 82+6

Если учащиеся не могут увидеть нужное основание для классификации, то учитель может помочь им следующим образом: "В одну группу я запишу 57+4, в другую 23+4, в какую вы запишите выражение 36+9".

Психологи утверждают, что, так как основой формирования у детей представления о геометрических фигурах является способность к восприятию формы, что позволяет ребенку различать и изображать различные геометрические фигуры, то достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Классификация геометрических фигур как прием введения понятия "прямоугольник":

1. Уберите фигуры, не имеющие прямых углов.

2. Из оставшихся выберите фигуры, имеющие хотя бы один прямой угол.

3. Из оставшихся выберите фигуры, у которых все углы прямые.

Применение приема классификации на уроках позволяет значительно расширить имеющиеся в практике приемы работы, способствует формированию положительных мотивов в учебной деятельности, так как подобная работа содержит и элемент игры и элемент поисковой деятельности, что в свою очередь повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельное выполнение работы.

Вопрос 8. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Методика обучения решению задач с прямо пропорциональными и обратно пропорциональными величинами.

В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности, с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами. В начальном курсе математики понятие функции и всё, что с ним связано, в явном виде не изучается.

Числовой функцией называется такое соответствие между числовыми множествами Х и R, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R.

Для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество Х, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества Х соответствует единственное действительное число. Существует 2 способа задания функций:1 – перечисление всех пар, участвующих в функциональном соответствии. Приёмы: график в прямоугольной (декартовой) системе координат, таблица. 2. – указание характеристического свойства (вербально – словесно или аналитически – формулой у = f(x)). Числовые функции можно представить наглядно на координатной плоскости.

Графиком функции у=2x-3, заданной на множестве R, является прямая, а графиком функции у=х², заданной также на множестве R, – парабола.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у=kx, где k не равное нулю действительное число.

Пример: Если в одном пакете муки 2кг, а куплено x таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим её через y) можно представить в виде формулы y=2x, т. е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k=2.

Свойства прямой пропорциональности.

1. Областью определения функции y=kx и областью её значения являются множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Для построения графика достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Пример: Чтобы построить график функции y=2x, достаточно иметь точку с координатами (1; 2), а затем через неё и начало координат провести прямую.

3. При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения; при k<0 – убывает на всей области определения.

4. Сформулируем основной признак прямой пропорциональности. При изменении аргумента в несколько раз, во столько же раз и точно так же изменяется значение функции. Этим свойством можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются величины, связанные прямо пропорциональной зависимостью.

Пример: За 8 часов токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение: В задаче рассматриваются величины – производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), время работы токаря, количество сделанных им деталей, причем первая величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Количество деталей и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность – k, то у=кх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8=2 (дет.) 1) 48:16=3 (раза)

2) 48:2=24 (ч) 2) 8-3=24 (ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у=2х нашли значение x при условии, что у=48. При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.

Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы: у= , где k - не равное нулю действительное число.

Пример: Если купили 12 кг муки и разложили ее в х пакетов по у кг в каждый, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х•у=12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k=12.

Свойства обратной пропорциональности

1. Областью определения функции у= и областью ее значений х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. (рис. 2)

   Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. (рис. 1)

   При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция является убывающей на всей области определения х (рис. 1). При k < 0 ветви гиперболы располо­жены во 2-й и 4-й четвертях и функция является возрастающей на всей области определения х (рис.2).

4. Сформулируем основной признак обратной пропорциональности. С увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональ­ные величины.

Пример: Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со ско­ростью 20 км/ч?

Решение: В задаче рассматриваются величины: скорость, время, расстояние, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Скорость и время движения – величины обратно пропорциональные. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость – х, а расстояние АВ – k, то получим у= т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность. Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10•6=60 (км.) 1) 20:10 = 2 (раза)

2) 60:20 = 3(ч) 2) 6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у= , нашли значение у при условии, что х=20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.

Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который можно получить, выполнив алгебраические операции. Задачи с пропорциональными величинами для младших школьников представляют особую сложность. Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождения одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству). Поэтому при решении простой задачи с пропорциональными величинами целесообразно использовать те приёмы, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин:

1. изменения одного из данных задачи.

2. сравнение результатов решения задач, в которых изменено одно из данных.

3. интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице.

4. анализ текстовых задач с недостающими и лишними данными.

Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и её схематическая интерпретация будут восприниматься ребёнком с необходимостью активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец. С самого начала знакомства с задачей нужно вести целенаправленную работу по формированию учащихся умение анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи.

Для выделения в тексте задачи пропорциональных величин, можно использовать таблицу, в которой верхняя часть может заменяться карточками с названиями различных величин (длинна одного куска проволоки, количество кусков, общая длинна; V; t; S; время чтения одной страницы, количество страниц, общее время; масса одного ящика, количество ящиков масса и т д.). Если такие карточки заготовлены заранее, то учащиеся могут сами выбрать те из них, названия которых соответствуют величинам, рассматриваемых в задачи, и приготовить таблицу к работе, а затем самостоятельно заполнить её.

Расход ситца на одну наволочку	Количество наволочек	Общий расход материала
Одинаковый	8 н.	24 м
	?	15 м.

Рассмотрим, например, задачу на нахождение 4^го пропорционального: "Из 24 метров ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м. ситца".

В эту составную задачу входят 2 простые задачи:

1. Из 24 метров ситца сшили 8 наволочек. Сколько ситца понадобится для шитья одной наволочки?

2. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м. ситца, если на шитьё одной наволочки нужно 3 м?

При решении задач с пропорциональными величинами полезно использовать схемы.

Обозначив отрезками, общий расход материала 24 м и 15 м, дети обозначают маленькими отрезками расход материала на одну наволочку.

Анализируя схему, необходимо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек (чем больше материи, тем больше наволочек; чем меньше отрезок, тем меньше наволочек.). Использование схем при решении задач на нахождение 4^го пропорционального поможет учащимся самостоятельно найти способ решения таких видов задач, как задачи на пропорциональное деление и задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй 40 л. того же бензина. Сколько заплатил за бензин каждый водитель, если вместе они заплатили 715 руб.?

На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л. бензина, второй 40 л того же бензина. Первый заплатил на 165 руб. меньше второго. Сколько заплатил за бензин каждый водитель?

Вопрос 9. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства. Формирование понятия выражения в начальном курсе математики. Обучение нахождению значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе и со скобками. Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий.

Понятие числового выражения и выражения с переменной. Записи вида 3+7, 24:8, 3•2–4, (25+3)•2–17 называется числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения. Так значение числового выражения 3•2–4 равно 2. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, 8:(4–4) не имеет смысла, так как его значение найти нельзя: 4–4=0, а деление на "0" не определено. Рассмотрим запись 2а+3. Она образована из чисел, знаков действий и буквы "а". Если вместо "а" подставлять числа, то будут получаться разные числовые выражения:

если а=7, то 2•7+3;

если а=0, то 2•0+3;

если а=-4, то 2•(-4)+3.

В записях вида 2а+3, 4в–2, 3с+4, 2в–2 буква называется переменной, а сама запись – выражением с переменной. Переменную в математике, как правило, обозначают любой строчной буквой латинского алфавита. В начальной школе используются кроме букв еще и символы, например . Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2• +3.

Определение: если f и g – числовые выражения, то f+g, f–g, f•g, f:g – числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.

Тождественное преобразование выражений.

Определение: Два выражения с переменными называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значение равны.

Пример: 5(х+2) и 5х+10 – тождественно равные выражения, так как при любых значения «х» их значения равны. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве. Например: 5(х+2)=5х+10 – тождество на множестве действительных чисел потому, что для всех действительных чисел значения выражений 5(х+2) и 5х+10 совпадают.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве. Так, заменив выражение 5(х+2) на тождественно равное ему выражение 5х+10, мы выполняем тождественное преобразование первого выражения. В начальном курсе математики выполняют, как правило, только тождественные преобразования числовых выражений. Теоретической основой таких преобразований являются свойства сложения и умножения, различные правила: прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание числа из суммы и другие.

Например, чтобы найти произведение 35•4 можно выполнить преобразование: 35•4=(30+5)•4=30•4+5•4= 120+20=140. Числовые равенства и неравенства, их основные свойства.

Числовые равенства

Числовые неравенства

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим выражение f=g, которое называют числовым равенством. Например: выражения 3+2 и 6–1 соединим знаком равенства 3+2=6–1, оно истинно. Если же соединить знаком равенства выражения 3+2 и 7–3, то получим ложное числовое равенство 3+2=7–3. Таким образом, с логической точки зрения, числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное. Числовое равенство истинно, если значение числовых выражений стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают. Свойства числовых равенств (истинных): Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так же истинное числовое равенство. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля и имеющие смысл, то получим так же истинное числовое равенство.

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f>g (или f<g), которое называется числовым неравенством. Например, если соединить выражения 6+2 и 13–7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6+2>13–7. Если соединить те же выражения знаком «<», то получим ложное числовое неравенство 6+2<13–7. Таким образом, с логической точки зрения, числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. Свойства числовых неравенств: Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим так же истинное числовое неравенство. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то получим так же истинное числовое неравенство того же смысла. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, отличное от нуля, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то получим так же истинное числовое неравенство, но обратного смысла.

Данный вопрос начинает изучаться в традиционной образовательной системе (1-4) в 1-ом классе. Вводятся термины «выражение», «значение выражения». Помимо терминологии, дети усваивают и некоторые элементы математической символики: знаки действий (+, –), знаки отношений (<, >, =); они учатся читать и записывать простейшие числовые выражения вида 5+4, 7–2, а так же более сложные выражения вида 6+(6–2). На изучение этого вопроса программой отводится около 20 часов. Вместо привычного «решения примера» в речи учителя и учащихся звучит: «найдем значение выражений», «сравним выражения» и т. п.

В программе предусмотрено ознакомление с некоторыми свойствами арифметических действий и основанными на них приемами вычислений. Так, в теме «числа от единицы до десяти» дети знакомятся с переместительным свойством сложения, учатся пользоваться приемом перестановки слагаемых в тех случаях, когда его применение облегчает вычисления (например, в случаях вида 2+7, 1+6 и т.п.). На основе практических действий с предметами учащиеся знакомятся с тем, что прибавить или вычесть число можно по частям (например, 6+3=6+2+1; 6–3=6–2–1). Таким образом учащиеся практически знакомятся с сочетательным свойством сложения, которое во II^ом классе будет специально рассмотрено и сформулировано. Ознакомление со связью между сложением и вычитанием дает возможность находить разность, опираясь на знание состава чисел и соответственных случаев сложения.

Для формирования навыков быстрых вычислений важно обеспечить своевременный переход от развернутого объяснения решения ко все более лаконичным устным пояснениям, а затем – к выполнению действий без пояснений. 11–7

1 этап: Заменю 7 суммой удобных слагаемых 1 и 6. Вычту 11–1=10, 10–6=4

2 этап: 11–1-6=4

3 этап: 11–7=4

Обучение нахождения значения выражений, содержащих более двух действий, в том числе со скобками.

Основными существенными признаками числового выражения являются числа, знаки действий, скобки. Числовые выражения бывают простые и сложные, такие как (56+151)+(12•6), они даются в IV классе. Так же выражения с переменными (2а+16). Цель: научить подставлять вместо букв числа и находить значение. Особенное внимание заслуживает рассмотрение правил о порядке выполнения арифметических действий. Эти правила вводятся постепенно, начиная с I^го класса, когда дети уже имеют дело с выражениями, содержащими только сложение и вычитание. Здесь они усваивают, что действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо. Во II^ом классе вводятся скобки как знаки, указывающие на изменение порядка выполнения действий. Правила о порядке выполнения действия усложняются при ознакомлении с умножением и делением в теме «числа от одного до ста».

В дальнейшем рассматриваются новые для учащихся правила о порядке выполнений действий в выражениях, содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Такие правила иллюстрируются довольно сложными примерами, содержащими сначала 2 – 3, а затем 3 – 4 арифметических действия. Следует подчеркнуть, что правила о порядке выполнения действий – один из сложных вопросов курса. Работа над ним требует многочисленных, распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы на конец обучения в начальной школе. Основная цель изучения данной темы – познакомить учащегося с правилами порядка выполнения действий в выражениях и сформировать у них умение пользоваться ими.

Задания:

1 класс (1 – 4) М.И.Моро. стр. 86 № 1 стр. 87 № 1 стр. 120 № 6

2 класс стр. 17 № 1 стр. 54 № 3 стр. 73 № 2

3 класс стр. 5 № 2 стр. 17 № 2 стр. 42 № 3 стр. 67 № 5 стр. 127 № 6

4 класс М.И.Моро стр. 20 № 99 стр. 21 № 106 стр. 45 № 250

Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий.

В начальных классах эти правила обычно формулируются в таком виде.

Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание, или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражения без скобок сначала выполняется по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках, затем по порядку слева направо выполняется умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Анализ приведенных правил позволяет выделить те же основные признаки выражений, на которые учащиеся будут ориентироваться при вычислении их значения. А именно: выражения без скобок и со скобками, содержащие только сложения и вычитание, или умножение и деление; выражения, обладающие признаками: наличие скобок и все четыре арифметических действия.

Следует иметь ввиду, что уже до знакомства с правилами порядка выполнения действий учащиеся вычисляли значение выражений, содержащих сложение и вычитание, или умножение и деление, то есть действовали в соответствии с правилом 1. Кроме того, уже в I^ом классе они познакомились с тем, что действия, записанные в скобках, выполняются первыми. Необходимость введения этого правила обуславливалась изучением свойств арифметических действий сочетательного свойства сложения или способов прибавления числа к сумме и суммы к числу. Во II^ом классе это правило использовать при изучении сочетательного и распределительных свойств умножения и при делении суммы на число. Поэтому дети воспринимали это правило скорее как один из способов вычисления определенных выражений, нежели как общий способ действий. Для подготовки учащихся к восприятию правил как общего способа действий при вычислении значений выражений нужно прежде всего научить их анализировать различные числовые выражения с точки зрения тех признаков, на которые сориентировано каждое правило.

При пользовании данными правилами возможны ошибки порядка выполнения действий. Дети могут путать знаки действий или просто их не замечать. Для предупреждения возможных ошибок можно использовать следующую систему упражнений:

Задания.

1. Сравни выражения в каждой паре, чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре?

72–9–3+6 48–6+7+8 27–3+2–7

72:9•3:6 48:6•7:8 27:3•2:7

2. Догадайся! По какому признаку записаны выражения в каждом столбике?

29–8+24 72:9•3

32+9–7+14 48:6•7:8

64–7+16–8 27:3•2:6•9

3. Можно ли утверждать, что значение выражений в каждом столбике одинаковы?

56:7 54:9

7•8(32:4) 9•6:(36:4)

(65–9):(24:3) (72–18):(27:3)

4. Какие числа нужно вставить в «окошко» чтобы получить верное неравенство?

2 4+4•3= +24

5. Расставь порядок выполнения действий на каждой схеме:

 +  :  +  •  - 

 •  + (  +) - 

 :  +  - - ( +)

 -  • ( +) +  : -

( -) : ( - ) • ( +) +

( - ) • + + ( - ) •  -  : 

6. Вычисли:

(25–5):4+2 (13 • 2) + ( 4 • 3) (12 + 4) • (5 + 2) • (5 – 1)

Вопрос 10. Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Формирование представлений об уравнении в начальном курсе математики. Методика обучения решению простейших уравнений.

Возьмем 2 выражения с переменной: 4х и 5х+2, соединим их знаком равенства, получим предложение: 4х=5х+2. П ри х=–2 предложение обращается в истинное числовое равенство, а при х=1 – ложное. Предложение 4х=5х+2 – высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

Определение: Пусть f(х) и g(х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f(х)=g(х) называется уравнением с одной переменной. Значение переменной «х» из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение – это значит найти множество его корней. Следовательно, корнем уравнения 4х=5х+2 на множестве R действительных чисел является –2.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его преобразовывают, заменяя более простым. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Два уравнения, множества корней которых совпадают, называют равносильными.

Определение: Два уравнения f₁(х)=g₁(х) и f₂(х)=g₂(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Пример: уравнения х²–9=0 и (2х+6)•(х–3)=0 равносильны, так как имеют своими корнями числа 3 и –3. Для выяснения вопроса о видах преобразований, позволяющих получать равносильные уравнения, рассмотрим теоремы.

Теорема №1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или выражение, имеющее смысл, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие из Т1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема №2. Если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же число или выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим уравнение равносильное данному.

Следствие из Т2. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число или выражение, отличное от нуля, то получи уравнение, равносильное данному.

Пример: 6–2х=х

6 =х+2х по Т1

6=3х : 3≠0 по Т2

х=2.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число, и решается оно на основе правил взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий. Этот вопрос изучается в традиционной образовательной системе по программе 1 – 4 в 3 классе на стр. 133. Вводится это понятие контекстуально – остенсивно. Даны 2 предложения +4=12 и х+4=12. Буквой х(икс) обозначено неизвестное число, которое надо найти. х+4=12 – это уравнение. Решим уравнение: узнаем, какое число надо представить вместо «х», чтобы равенство было верным. Это число 8, так как 8+4=12 – верное равенство.

Н едостатки такого подхода: при введении понятия уравнения в данном виде не ясно по какой причине только предложение х+4=12 является уравнением. Следовательно, например, предложение 5–у=12 – не уравнение. Необходимо обговорить все возможные варианты, не только сумму, но и разность, произведение и частное.

Пример: d–4=10

17:х=17 все это уравнения

12ху=24

Так же необходимо вводить не только букву «х» для обозначения неизвестного, но и рассматривать другие буквы латинского алфавита. Знакомство младших школьников с понятием уравнения можно разделить на 3 этапа:

1 этап – подготовительный. Это примеры с окошками. Учащиеся решают данные примеры с помощью подбора. Вводятся с 1 кл. Пример: +2=10.

На данном этапе учащиеся учатся читать, записывать и решать данные выражения. Пример: Запиши. Если к неизвестному числу прибавить 2, то получим 10. Реши данный пример.

2 этап – В 3 классе вводятся буквенные обозначения. Так же решаются подбором. Пример х+7=14

На данном этапе вводится и существенные признаки: 1. Знак равенства.

На выделение существенных признаков необходимо прорешать систему упражнений (см. далее).

3 этап – Уравнение решаем на основе зависимости компонентов. По алгоритму:

• На какое действие данное уравнение?

• Назови компоненты этого действия?

• Какой компонент неизвестен?

• Как найти неизвестный компонент?

Важным является то, что учащихся надо приучить делать проверку. Пример.

Термин «решение» употребляется в 2-х смыслах:

• Обозначает как число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство;

• Процесс отыскания этого числа, то есть способ решения уравнения.

Можно познакомить учащихся с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. Можно приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений. Для осознания взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, необходимо опираться на предметную деятельность. В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образ и большое количество тренировочных упражнений. Учащиеся руководствуются внешними признаками. Например, 8+х=6 – получаем от учащихся х=8–6, это наиболее распространенная ошибка. Более позднее изучение уравнений позволяет использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия.

Система упражнений:

1. Из данных выражений выдели уравнения.

а + 2 = 4

10 + 1 = 11

d – 4 = 17

2 + х = 13

1 4 - = 2

2. Придумайте свое уравнение.

3. Реши сказочные уравнения (2 кл.).

€ + 3 = 12 7 + €= 25

£ – 10 = 15 1000 – ¥= 5

4. Составь уравнение по схеме (3 кл.).

5. Объясни, почему уравнение соответствует данной схеме (3 кл.).

х + 40 = 56 + 32

6. По данному рисунку придумай задачу, которую можно записать уравнением (3 кл.).

40х=28•20

х см

20 см

40 см

28 см

Вопрос 11. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счёта элементов конечного множества. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Натуральное число как результат измерения величины. Определение отношения «меньше» для натуральных чисел, его теоретико-множественный смысл. Формирование у младших школьников представлений о счёте, порядковом и количественном числе, последовательности и названии чисел натурального ряда. Методика формирования у младших школьников понятий «меньше» и «больше» для натуральных чисел.

В аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа, но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как взаимосвязаны эти два смысла, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, счёт элементов конечного множества.

Определение: Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа . Таким образом, можно записать: N_a= { и }. Например: Отрезок N₇ – множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, тот есть N₇ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Отметим важные свойства отрезков натурального ряда:

1. любой отрезок N_a содержит единицу (свойство вытекает из определения отрезка N_a).

2. Если число содержится в отрезке N_a и , то и непосредственно следующее за ним число также содержится в N_a.

Определение: Множество A называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_a натурального ряда. Например: Множество A вершин треугольника – конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃= {1, 2, 3}, то есть A ~ N₃.

Определение: Если непустое конечное множество A равномощно отрезку N_a, то натуральное число называют числом элементов множества A и пишут n(A)= . Например: A – множество вершин четырёхугольника, то n (A)=4.

Определение: Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного дискретного множества A и отрезком натурального ряда называется счётом элементов множества A. Таким образом, всякое натуральное число можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества A. Натуральное число имеет при этом количественный смысл. С теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например: Натуральное число «три» – это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника.

Число «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества: 0=n(Ø). Таким образом, натуральное число как характеристику количественного множества можно рассматривать с двух позиций:

1. как число элементов во множестве A, получаемых при счёте, то есть =n(A), причём A~N_a;

2. как общее свойство класса конечных равномощных дискретных множеств.

Натуральное число как результат измерения величины, показывает, из скольких мерок состоит величина, значение которой измеряется.

Связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».

Число меньше числа тогда и только тогда, когда при счёте число называют раньше числа . Данная трактовка позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду.

Число играет огромную роль в жизни людей, следовательно, необходимо раннее формирование числовых представлений у ребёнка. Слова – числительные ребёнок соотносит с определённым образом: 2 – глаза, 1- рот и т. д. Таким образом, натуральное число – это целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов, следовательно, на вопрос «сколько?» он может ответить, не владея операцией счёта. Ребёнок осознаёт количественную характеристику групп предметов, устанавливая взаимно однозначное соответствие между ними. Тогда количественная характеристика числа выражается в понятиях «больше», «меньше», «столько же». При обучении учащихся устанавливать взаимно однозначное соответствие можно использовать следующие приёмы:

1. наложение предметов одного множества на предметы другого;

2. расположение предметов одного множества под предметами другого;

3. образование пар.

Это подготавливает детей к сознательному овладению операцией счёта. Для овладения операцией счёта необходимо запомнить порядок слов – числительных. Эта деятельность выполняется по образцу в процессе однотипных упражнений, увеличивая количество пересчитываемых предметов. Выполнение данных упражнений приводит к непроизвольному запоминанию порядка слов – числительных. В 6-7 лет дети уже владеют этим навыком, однако, возможны и ошибки. Для усвоения и уточнения порядка слов – числительных при счёте можно использовать различные формулировки заданий. Анализируя картинки с точки зрения различных признаков предметов (цвет, форма, количество), учащиеся упражняются в счёте. Таким образом, операция счёта есть нумерация данных объектов в определённой последовательности.

После усвоения слов – числительных можно переходить к формированию операции счёта и к обозначению каждого числа (к цифрам). Необязательно ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду (точка зрения Н.Б. Истоминой). Учащиеся должны осознавать различия между числом и цифрой. Это является сложной задачей и для ребенка, и для учителя. Рекомендуется познакомить учащихся с другим обозначением чисел: I, II, III, IV и т.д. Необходимо понять связь между количественным и порядковым числом. Каждое число, названное при счёте – и количественное, и порядковое, так как указывает на порядок предмета при счёте, а количественное, так как указывает на количество всех перечисленных предметов. Усвоить разницу помогут задания, при выполнении которых нужно ответить на вопросы: «который по счёту?», «сколько?». Порядковая и количественная характеристики тесно связаны. Овладение учащимися операцией счёта предполагает усвоение порядка слов – числительных и определённых правил: первым при счёте может быть указан любой объект совокупности, важно, чтобы ему соответствовало числительное «один». Ни одному объекту нельзя поставить в соответствие два слова – числительных. Ни один объект не должен быть пропущен при счёте.

Таким образом. В основе формирования понятия «число» лежит:

• счёт предметов;

• общая характеристика класса эквивалентных множеств;

• установление взаимно однозначного соответствия.

Определим, какие задачи стоят перед учителем при изучении этой темы:

1. Научить образовывать числа первого десятка;

2. совершенствовать умение называть эти числа;

3. научить читать и записывать числа от 1 до 10;

4. систематизировать знания о составе чисел 1 – 10;

5. формировать представления о месте каждого числа в натуральном ряде.

Вопрос 12. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел, смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом сложения. Типы ситуаций с предметными множествами, раскрывающими смысл сложения.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.

Теорема: Пусть А и В – конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем n(AB)=n(A) + n(B).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(А), в = n(В): а+в = n(А) + n(В) = n(АВ), если АВ=

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет также обосновать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Миша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?». В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и множество, являющееся их объединением. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(A)=3, n(B)=4 и АВ=, то n(АВ)=3 + 4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 =7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.

Выясним, кокой смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема: Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и в можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и в: а+в=m_e(Y) + m_e(Z) = m_e(Y+Z). Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах – массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови. Если построить вспомогательную модель задачи, то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс – слагаемых. Получаем выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в соответствии с которыми сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно пересекающихся конечных множеств. При этом теоретико-множественная терминология и символика не используются. Далее учащиеся интерпретируют предметные действия в виде графических и символических моделей и устанавливают соответствия между различными моделями. Основная цель – осознание предметного смысла числовых выражений и равенств. При формировании у детей представлений о сложении можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

Название ситуации	Модель	Пример
а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов	оооооо	У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2 марки. Покажи, сколько марок стало у Коли.	Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки и движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее предметное действие описывается математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4 + 2 = 6). Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и «равенство».
б) увеличение на несколько предметов множества, равносильного данному	оооо оооооо	В вазе лежало 4 груши, а апельсинов столько же и еще 2. Покажи, сколько апельсинов в вазе.	В процессе выполнения предметных действий, связанных с данной предметной ситуацией, у детей формируются представления о понятии «больше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же») и ее увеличении на несколько предметов («еще»). Совокупность, полученная в результате, является объединением совокупностей предметов, обозначаемых терминами «столько же» и «еще».
в) составление одного предметного множества из двух данных	оооо оо	У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли.	Ситуацию вида а) фактически можно свести к ситуации в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество. Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношение целого и его частей. В этом случае для приведенной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили». Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение 4 + 2 или 4 + 2 = 6.

Практически работу по ознакомлению учащихся со смыслом сложения можно организовать так:

1.Подготовительная работа:

Может быть направлена на соотнесение числа и предметного множества и наоборот (учитель показывает определенное количество предметов, ученики называют цифру, которой можно их обозначить; учитель называет, показывает цифру, учащиеся составляют соответствующее предметное множество), повторение понятий «больше», «меньше», «столько же» (положите 5 О, под ними расположите столько , чтобы можно было сказать, что их меньше, чем О. Положите столько , чтобы можно было сказать, что их больше, чем О. Что можно сказать о  и ?; какие предметы изображены, сосчитайте их; о каких предметах можно сказать, что их «больше», «меньше», «столько же»?

    

О О О О О О 

2.Объяснение нового

В учебнике Математика 1 класс (1-4) стр.21 для ознакомления учащихся со знаком «+» и смыслом сложения предлагается последовательно рассмотреть 3 сюжетные картинки и составить к каждой из них математическую модель. Работу можно построить следующим образом: – Что изображено на 1-ой картинке? (1 кошка). – Как записать это на языке математики? (цифрой «1») (учитель записывает на доске).

– Что изменилось на следующей картинке? (пришла еще одна кошка). – Как обозначить количество пришедших кошек? (число 1) (учитель записывает рядом с числом 1 еще число 1) Можно ли по этой записи определить, увеличилось или уменьшилось количество кошек? (нет). Увеличение некоторого количества предметов называется сложением. Это действие обозначается знаком «+» (учитель записывает на доске 1+1). Эта запись читается так: «к одному прибавить один». – Что изображено на последней картинке? (2 кошки). – Как это записать? (числом 2). Чтобы показать на языке математики, что к 1 прибавить 1 получится 2, используем знак «=».

3.Система закрепляющих упражнений.

Для закрепления изученного материала можно использовать следующие задания:

1) соотнесение предметных действий с математическими записями:

У Димы было 2 ручки. Еще одну ручку ему дал брат. Сколько ручек стало у Димы?

Ученик выполняет предметные действия у доски и выбирает, какое из предложенных математических записей к ним подходит: 2 – 1 = 1; 3 – 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 – 2 = 1

2) соотнесение математической записи с графическими моделями

О О

 2 + 3 = 5

О О О



  2 + 1 = 3



3) заполнение окошек в выражениях и равенствах на основе анализа предложенных сюжетных картинок (с.23, 24) – Сколько белочек на левой картинке? (2). Как обозначено их количество? – Что произошло с белочками? (пришла еще 1). Как записать, что белочек стало на 1 больше? Прочитайте эту запись (к 2 прибавить 1).

4) чтение математических выражений и равенств и создание на их основе предметных ситуаций.

Прочитайте запись. Придумайте ситуацию, которую можно записать этой записью.

1 +1 = 2 2 + 1 = 3

5) создание на основе сюжетной картинки графической, а затем и математической модели:

  О О О      3+5=8

Следует добавить, что изучение смысла сложения и вычитания происходит параллельно. Поэтому можно использовать в данных заданиях как ситуации связанные со сложением, так и с вычитанием.

Вопрос 13. Теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Условие существования разности на множестве натуральных чисел. Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Ознакомление учащихся младших классов со смыслом вычитания. Типы ситуаций с предметными действиями, раскрывающие смысл вычитания.

С теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B до множества A, если a=n(A), b=n(B) и BA:

a–b = n(A) – n(B) = n(A\B), если BA

Пример: Объясним, используя данное определение, что 8 – 3 = 5. 8 = n(A), 3 = n(B), причем BA. Возьмем, например, множества A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B={1, 2, 3} => A\B={4, 5, 6, 7, 8,} => n(A\B)=5 => 8 – 3 = 5. Очевидно, что в качестве множеств A и B можно выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность a –b не зависит от выбора множеств A и B, удовлетворяющих условиям n(A) = a, n(B) = b и BA.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «В аквариуме живет 7 рыбок, из них 4 золотые рыбки, остальные – сомики. Сколько сомиков живет в аквариуме?». В задаче рассматриваются 3 множества: A – множество всех рыбок, B – множество золотых рыбок, C = B\A – множество сомиков. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Т.к. по условию n(A) = 7, n(B) = 4 и BA, то n(C) = n(A\B) = n(A)–n(B) = 7– 4. Разность 7– 4 – математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7– 4 = 3 => в аквариуме живет 3 сомика.

Разность натуральных чисел существует не всегда, т.к. BA => n(B) <n(A) => a – b натуральных чисел, таких, что a=n(A), b=n(B) и BA, существует тогда и только тогда, когда b<a. Действие, при помощи которого находят разность a-b – вычитание, a – уменьшаемое, b – вычитаемое. Действие вычитания является обратным сложению, а разность натуральных чисел a и b можно определить, как такое натуральное число c, сумма которого и числа b равна a

Выясним теперь, какой смысл приобретает вычитание натуральных чисел, если эти числа получены в результате измерения величин. Например, длины отрезка. Пусть отрезок а состоит из отрезков b и c и длинны отрезков а и b выражаются натуральными числами m_e и n_e (е – мерка), то значение длины отрезка с равно разности значений длин отрезков a и b: c = m_e – n_e, т.е. разность натуральных чисел m – n можно рассматривать как значение длины отрезка c, являющейся разностью длин отрезков a и b, выраженных натуральными числами m и n соответственно. Подход к вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

В учебниках математики для начальных классов много задач, в которых рассматриваются различные величины и действия над ними. Определение смысла вычитания натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновать выбор действия при решении таких задач.

Например, рассмотрим задачу: «Масса гуся 7 кг, а кролик на 3 кг легче. Узнай массу кролика». В задаче рассматривается величина – масса. Е = 1 кг. m_e = 7 – численное значение массы гуся, n_e = 3 – численное значение дополнения к массе кролика до массы гуся. Необходимо найти численное значение массы кролика – с, по определению, численное значение массы кролика с = m_e – n_e = 7 – 3 = 4.

В начальном курсе математики первоначально вычитание целых неотрицательных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества – дополнения выделенного подмножества, при этом теоретико-множественная терминология и символика не используется. Далее учащиеся интерпретируют предметные действия в виде графических и символических моделей и устанавливают соответствие между различными моделями. Основная цель – осознание предметного смысла числовых выражений и равенств.

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации.

Название ситуации	Модель	Пример
I. Уменьшение данного предметного множества на несколько предметов		У Маши было 5 шаров. 2 она подарила Тане. Покажи шары, которые у Маши остались.	Для разъяснения смысла вычитания можно использовать представление детей о соотношении целого и части. В этом случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из 2 частей: «Шары, которые она подарила и шары, которые у нее остались». Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение 6 – 2 или равенство 6–2=4
II. Уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов.		В вазе лежало 5 груш, а апельсинов столько же, но без 2. Покажи сколько апельсинов в вазе?	В процессе выполнения предметных действий, связанных с данной предметной ситуацией, у детей формируются представления о понятии «меньше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же») и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же».
III. сравнение двух предметных множеств, т.е. ответить на вопрос: На сколько предметов в одном множестве больше (меньше) чем в другом?»		В каком ряду кругов больше? На сколько?	При рассмотрении данной ситуации детям предлагается установить взаимно однозначное соответствие между элементами 2х пре-дметных множеств на основе практических действий, удаление парных элементов, а затем ответить на вопрос: «В каком множестве элементов больше?» Далее учащимся предлагается решить ту же задачу без опоры на наглядность. В результате у учащихся формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: чтобы узнать, насколько одно число больше (меньше) другого, можно из большего числа вычесть меньшее.

Практически работу по ознакомлению учащихся со смыслом вычитания можно организовать так:

1. Подготовительная работа.

М ожет быть направлена на соотношение числа и предметного множества. И наоборот. Учитель показывает определенное количество предметов 1 или 2, ученики называют цифру, которой можно его обозначить; учитель называет, показывает цифру, учащиеся составляют соответствующее ей предметное множество. Повторение понятий «больше», «меньше», «столько же» (положите 5 кружков, под ними расположите столько треугольников, чтобы можно было сказать, что их меньше, чем кружков, положите столько четырехугольников, чтобы можно было сказать, что их больше, чем кружков. Что можно сказать о и ?; Какие предметы изображены, сосчитайте их; о каких предметах можно сказать что их «больше», «меньше», «столько же».

2. Объяснение нового.

В учебнике М1(1-4) стр. 21 для ознакомления учащихся со знаком "–" и смыслом вычитания предлагается последовательно рассмотреть 3 сюжетные картинки и составить к каждой из них математическую модель. Работу можно построить следующим образом. Что изображено на 1-ой картинке? (2 воробья). Как записать это на языке математики? (цифрой 2, учитель записывает на доске). Что изменилось на следующей картинке? (1 воробей улетел). Как обозначить количество улетевших воробьев? (числом 1, учитель записывает рядом с числом 2 число 1). Можно ли по этой записи определить, увеличилось ли количество воробьев или уменьшилось? (нет). Уменьшение некоторого количества предметов на несколько предметов называется вычитанием. Это действие обозначается знаком "–" (учитель записывает на доске 2–1). Эта запись читается так: из 2 вычесть 1. Что изображено на следующей картинке? (1 воробей остался). Как это записать? (1). Это можно обозначить знаком "=" (из 2 вычесть 1 получится 1).

3. Закрепление.

Для закрепления изученного материала можно использовать следующие задания:

1. С оотнесение предметных действий с математическими записями.

Было 3 , 2 убрали. Сколько осталось?

(Ученик выполняет предметные действия у доски и выбирает, какая из предложенных математических записей к ним подходит.). 2+1=3, 3–1=2, 2–1=1, 3–2=1

Ученик должен не только соотнести ситуацию и ее запись, но и правильно прочитать запись

У Светы было 2 яблока, одно она отдала Маше. Сколько яблок осталось у Светы? 2–1=1

2. Соотнесение математической записи с графическими моделями.

3. Заполнение окошек в выражениях и равенствах на основе анализа предложенных сюжетных картинок (стр. 23, стр. 25).

Сколько зайчиков на левой картинке? (3). Верно ли обозначено их количество? Что изменилось на следующей картинке? (2 ушли). Как записали, что зайцев стало 3 без 2 (на 2 меньше)? Прочитайте эту запись (из 3 вычесть 2). Сколько зайчиков осталось, запишите это? (1)

Пользуясь рисунком вставьте числа в «окошки».

 

4. Чтение математических выражений и равенств. И создание на их основе предметных ситуаций.

Прочитай запись. Придумай ситуацию, которую можно определить этой записью.

3–2=1 3–1=2

5. Создание на основе сюжетной картинки графической, а затем и математической модели.

3–1=2

Следует добавить, что изучения смысла сложения и вычитания происходит параллельно, поэтому можно использовать в данных записях как ситуации, связанные с вычитанием, так и со сложением. Понимание учащимися смысла вычитания очень важно, т.к. создает основу для дальнейшего изучения арифметического материала.

Вопрос 14. Определение умножения натуральных чисел через сложение, его теоретико-множественный смысл. Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом умножения целых неотрицательных чисел.

В начальной школе умножение рассматривается как сложение одинаковых слагаемых, что соответствует следующему определению: Если а,b – целые неотрицательные числа, то произведением a b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1. а • b = а + а + … + а, если b>1

2. b слагаемых

   а • b = а, если b=1

3. a • b = 0, если b=0

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А₁, А₂,…,А_b имеют по а элементов, то их объединение А₁  А₂  …  А_b содержит a • b элементов. ТО, с точки зрения теоретико-множественной трактовки произведение a • b (b>1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а • b = n(A₁  A₂  …  A_b), если n(А₁)=n(A₂)= … =n(A_b)=a и А₁, А₂,…,А_b попарно не пересекаются.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема. Пусть А и B – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: n(AхB)= n(A) х n(B).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а • b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A)=a, n(B)=b, а • b = n(A) х n(B) = n(AхB)

Рассматривая смысл умножения натуральных чисел, являющихся мерами величин, возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение натуральных чисел? Что бы ответить на него, проанализируем задачу: Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько кг муки купили? В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но при помощи другой единицы – килограмма при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения, массы муки при единице – кг, можно представить в таком виде: 3пак.=3х1пак.=3х(2кг)=3х2кг =(3х2)кг. Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением, и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которого равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а х b.

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка Х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а • b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁: а • b = m_Е(Х) m_Е (Е)= m_Е (Х)

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других (положительных) скалярных величин.

Данный вопрос в традиционной образовательной системе (1-4) изучается во 2 классе. Для подготовки учащихся к усвоению смысла умножения целых неотрицательных чисел, целесообразно вести счет групп предметов. Например: считай двойками, считай тройками и т.д. А так же предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых.

Например:

1) В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

2) В первой коробке 3 карандаша, во второй – 6, в третьей – 8. сколько всего карандашей в коробках?

Подобные задачи полезно иллюстрировать предметными рисунками. Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых. Затем сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6 • 4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, записью умножения, усваивают роль множителей.

Пример. Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка? Учащиеся записывают решение: 5+5+5+5=20 Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (они одинаковые). Сколько их?(4). Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5 • 4=20. Читают эту запись так: по 5 взяли 4 раза, получили 20. здесь выполнили действие умножения. Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. Умножение обозначается знаком (•). Что показывает в этой записи число 5? (число 5 – слагаемое). Что показывает число 4? (сколько раз взяли слагаемым число 5).

Умножение целых неотрицательных чисел можно ввести иначе: при помощи предметных действий, что позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изучаемый материал.

Учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные части (квадраты). Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Учащиеся, естественно, начинают действовать способом поединичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Учитель ставит задачу: найти более простой путь поиска ответа. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (9) и повторить это число слагаемым 6 раз (9+9+9+9+9+9). После этого учитель вводит новую запись: 9 • 6=54 и предлагает сопоставить эти две записи. Выясняется, что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых).

Проверить усвоение смысла умножения целых неотрицательных чисел можно при помощи следующей системы закрепляющих упражнений:

1. замени, где возможно, сложение умножением:

7+7+7+7 19+19+119

3+3+13+3+13 0+0+0+0

8+8+8 1+1+1+1+1+11

2. замени умножение сложением:

6 • 5, 9 • 2, 3 • 8

3. выбери рисунок, который соответствует записи 2 • 6

4. не вычисляя значений произведений, поставь знаки < или >, чтобы получить верные неравенства:

12 • 9 … 12 • 11

24 • 7 … 24 • 5

5. можно ли, не вычисляя произведений, ответить на вопрос: на сколько значение первого произведения в каждом столбике меньше значения второго произведения?

6 • 4 5 • 3 7 • 8 6 • 3 7 • 2

6 • 5 5 • 4 7 • 9 6 • 5 7 • 4

6. вычисли значения произведений в каждом столбике, пользуясь данным равенством:

9 • 5=45 8 • 7=56 7 • 6 =42

9 • 4 8 • 6 7 • 5

9 • 6 8 • 8 7 • 7

Вопрос 15. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Методика ознакомления учащихся начальных классов со смыслом деления натуральных чисел.

В аксиоматической теории деление рассматривается как операция, обратная умножению, таким образом между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а•в=с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель. Если а•в=с, то а=с:в, в=с:а.

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с:в и с:а. Произведение а•в=с – это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т. е. с = а•в=n(А₁А₂_…А_в ), где n(А₁)= n (А₂)=…=n(А_в). Т.к. множества А₁, А₂,…, А_в попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество А, в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А_2,…, А_в. Тогда частное с:а – это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с:в – число элементов в каждом подмножестве этого разбиения. Т.о., если а=n(A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества и если:

в – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:в – это число таких подмножеств;

в – число подмножеств, то частное а:в – это число элементов в каждом подмножестве.

Например: «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?» и «12 карандашей надо разложить в коробки по 3 карандаша в каждую. Сколько надо коробок?».

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤a. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Выясним теперь смысл частного, полученного в результате измерения величин. Рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты по 2 кг в каждый. Сколько понадобится пакетов?». В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – кг, и известно численное значение этой массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что 1п.=2кг; 1кг=½ п.=½ • (1п.); 6кг=6•1кг=6•(½ п.)=(6•½)•1 п.=(6:2) п.

Ответ на вопрос задачи находится делением, и оно связано с переходом от одной единицы массы к другой.

Теорема: Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из в отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а:в.

Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число в – мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а:в – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁: а:в=м_Е (х):м_Е (Е₁)=м_Е (х). Например: «Из 12м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4м. Сколько платьев сшили?». 12м=12•1 м=12•(¼ пл.)=(12•¼) пл.=(12:4) пл.

В традиционной образовательной системе 1-4 этот вопрос изучается во 2 классе. Деление как алгебраическая операция вводится на основе предметных действий. Основой формирования у младших школьников представления о смысле деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Этот подход позволяет опираться на жизненный опыт ребенка при введении новой терминологии и математической записи. Например: « Раздали 10 яблок по 2 каждой девочке. Сколько яблок получила каждая девочка?». Получить ответ на вопрос ребенку помогает наглядное изображение.

     . На языке ребенка это означает, что он разделил все яблоки на части по два яблока в каждой, т.е. узнал, «сколько раз по два содержится в 10». Математическая запись: 10:2=5. Доступно и такое задание: «Раздай 10 яблок двум девочкам поровну».

а) одни будут брать по одному яблоку и раздавать девочкам по очереди, пока не раздадут все;

б) другие могут брать по два яблока и делить их между девочками, пока не раздадут все.

Можно использовать рисунок для того, чтобы учащиеся осознали результат выполненного предметного действия.  .

Первый случай (5 частей по 2 яблока) – деление по содержанию. Второй (2 части по 5 яблок) – деление на равные части.

В практике сначала рассматривается первый случай, затем второй. Можно ввести соответствующие термины. В первом случае нужно говорить «10 разделили по 2», а во втором – « 10 разделили на 2».

Есть и другой подход, когда учащиеся устанавливают смысл деления не в процессе решения простых задач, а устанавливая соответствие между предметными моделями и математической записью (М₂)

   

   

   

1. 2.

   

   

   

Необходимо выяснить, чем похожи и чем отличаются картинки (в каждой 12 кружков, они разделены на части, в каждой части одинаковое количество кружков. Части равны). Это позволяет им самостоятельно выполнить рисунки других способов деления 12 кругов на равные части:

3. 4. 5.

     

     

 	 	 
 	 	 

			
			
			

Последующая работа сводится к выбору выражения, соответствующего каждой картинке.

Например, выражение 12:4 соответствует 1. и 2. картинкам.

В результате такой деятельности у детей формируется представление о предметном смысле деления.

Система закрепляющих упражнений может включать следующие задания:

1. Сравни рисунки в каждой паре и объясни, что обозначает каждое число в данных равенствах.

 

 

 

 



 10:2=5 8:2=4

2. Какому рисунку соответствуют 3 выражения:

2•6 12:2 12:6

а) 

б) 

в) 

3. Сделай рисунок, к которому можно записать 3 выражения:

а) 5•4, 20:4, 20:5

б) 4•5, 20:4, 20:5

Запиши к каждому рисунку 3 выражения:

а) 

б) 

В процессе выполнения заданий учащиеся осознают связь умножения и деления, которая обобщается в виде правил: