Правило знаходження частинних похідних
При знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна .
Тому частинні похідні знаходяться за формулами і правилами обчислень похідних функцій однієї змінної.
Частинна похідна характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі .
Геометричний зміст частинних похідних. Графіком функції є деяка поверхня (рис. 1). Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, дістанемо, що , де – кут між віссю Ох і дотичною, проведеною до кривої в точці . Аналогічно
Рис. 1
Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних , де ,
.
Щоб знайти частинну похідну , треба знайти звичайну похідну функції по змінній , вважаючи решту змінних сталими.
Приклад:
Знайти частинні похідні функції:
Якщо функція z = f (x, у) задана в області D і має частинні похідні , в усіх точках (х; у) D, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області D. Тому має сенс питання про існування частинних похідних від цих функцій по якій-небудь змінній в точці (х; у) D.
Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають .
Якщо існує частинна похідна по змінній від функції , то її називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають .
Для функції двох змінних розглядають чотири похідні другого порядку .
Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім:
.
Теорема (про мішані похідні)
Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , причому та неперервні в точці , то в цій точці .
Приклад. Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції .
2. Диференційовність функції
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо прирости так, щоб точка належала розглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці :
.
Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді
,
де – дійсні числа, які не залежать від ,
– нескінченно малі функції при .
Властивості функції двох змінних:
Теорема 1 (неперервність диференційовної функції)
Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.
Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції)
Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та і .
Теорема 3 (достатні умови диференційовності)
Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці , то функція диференційовна в точці .
Наслідок (з теореми 2 і теореми 3)
Щоб функція була диференційовною в точці необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні і достатньо, щоб вона мала в цій точці неперервні похідні.