Лекція №10. Функція багатьох змінних, її границя та неперервність

1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка

2. Границя функції багатьох змінних

3. Неперервність функції багатьох змінних

1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка

Нехай задано множину упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і та записують .

Приклади:

а) площу прямокутника із сторонами та знаходять за формулою . Кожній парі значень і відповідає єдине значення площі, тобто - функція двох змінних: ;

б) за законом Ома електрорушійна сила , сила струму та опір замкнутого електричного кола пов’язані співвідношенням . Тут є функцією змінних та : .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар значень та , для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають або .

Множину значень позначають або .

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній системі координат єдина точка площини, що те саме, точка двовимірного простору , і навпаки, кожній точці площини відповідає єдина впорядкована пара чисел , то функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати . Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини . Зокрема областю визначення функції може бути вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями.

Значення функції в точці позначають або , або .

Лінію, що обмежує область , називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називають внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки, називається відкритою. Якщо до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами. Ми користуватимемось, як правило, аналітичним способом, коли функція задається за допомогою формули. Областю визначення такої функції вважається множина всіх тих точок площини, для яких задана формула має зміст.

Приклади:

Знайти область визначення та множину значень функцій:

а)

Вираз існує і невід’ємний для будь-яких значень та . Тому областю визначення функції є вся площина , а множиною значень – проміжок .

б)

Область даної функції – множина тих точок , для яких вираз має зміст, тобто множина точок, для яких .

Щоб зобразити область геометрично, знайдемо її межу , або . Це рівняння визначає в площині еліпс з півосями та . Даний еліпс ділить всю площину на дві частини. Для точок однієї з цих частин , а для другої .

Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умову , достатньо перевірити цю умову для якої-небудь однієї точки, яка не лежить на еліпсі. Наприклад, точка належить області , тому що .

Отже, внутрішніми точками області даної функції є точки, обмежені еліпсом. Сам еліпс також належить області, тому що для точок еліпса . Це замкнена область (рис. 1). Множина значень заданої функції – відрізок .

Рис. 1

в)

Область визначення цієї функції визначається з нерівності . Межа області (парабола ) не належить їй, тобто це відкрита область (рис. 2). Множина значень даної функції – інтервал .

Рис. 2

Функцію двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні.

Графіком функції в прямокутній системі називається геометричне місце точок , проекція яких належить області . Це геометричне місце точок в тривимірному просторі певну поверхню (рис. 3), проекція якої на площину є множина .

Рис. 3

В аналітичній геометрії розглядались поверхні, які є графіками функцій двох змінних.

Верхня частина сфери є графіком функції , а нижня її частина – графіком функції .

Еліптичний параболоїд є графіком функції .

Гіперболічний параболоїд є графіком функції .

Побудова графіків функцій двох змінних часто пов’язана із значними труднощами. Тому для зображення функцій двох змінних користуються методом перерізів, який полягає у тому, що поверхню , перетинають площинами та і за графікам кривих та визначають графік функції (рис. 4).

Рис. 4

Можна фіксувати не чи , а саму функцію , тобто перетинати дану поверхню площинами , де - довільне число, взяте з множини значень даної функції. При цьому одержимо криву , яку називають лінією рівня (або ізокривою) функції. Інакше кажучи, лінія рівня на площині - це проекція кривої, яка утворюється при перетині поверхні площиною . Будуючи лінії рівня для різних значень , можна дістати певне уявлення про графік функції двох змінних (рис. 5).

Рис. 5

Приклад.

Знайти лінії рівня і побудувати графік функції .

Лінії рівня знайдемо з рівняння , де . Маємо , тобто лініями рівня даної функції є еліпс з півосями та (рис. 6).

Рис. 6

Узагальнимо поняття функції двох змінних на випадок трьох і більшого числа незалежних змінних.

Нехай - деяка множина упорядкованих трійок дійсних чисел, тобто точок тривимірного простору .

Якщо кожній точці за певним законом відповідає єдине число , то кажуть, що на множині визначено функцію від трьох змінних , і записують або .

При цьому змінну називають залежною змінною (функцією), - незалежними змінними (аргументами), множина - областю визначення функції.

Область визначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякої частини тривимірного простору. Але саму функцію геометрично зобразити вже не можна, тому що наш простір тривимірний і четверту координатну вісь для значень зобразити неможливо.

Поверхнею рівня функції називають множину всіх точок , для яких задана функція набуває одне й те саме значення .

Якщо число незалежних змінних більше трьох, то їх частіше позначають . Якщо кожній точці за певним законом відповідає єдине число , то кажуть, що на множині визначено функцію від змінних: і записують .