Задача 6. Построение уравнения регрессии

Постройте уравнения регрессии Y(X), Z(X), Z(X) графическим способом.

Y(X):

Решение:

Линия регрессии представлена на графиках в Задании 5.

На линии регрессии выбираем две точки, ближе к краям диапазона значений.

Уравнение регрессии имеет вид .

Составляем систему уравнений ‑ два уравнения с двумя неизвестными:

; ;

Уравнение регрессии

Z(X):

; ;

Уравнение регрессии

Z(Y):

; ;

Уравнение регрессии

Задача 7. Вычисление линейных коэффициентов корреляции

Вычислите линейные коэффициенты корреляции , и . Сделайте вывод о тесноте линейной связи между признаками.

Решение:

Л инейный коэффициент корреляции вычисляется следующим образом:

Вычислим коэффициент rxy:

Вычислим коэффициент rxz:

Вычислим коэффициент ryz:

При < 0,3 связь считается слабой, при 0,3 < < 0,7 – средней, при > 0,7 ‑ сильной, или тесной.

Задача 8. Проверка существенности коэффициентов корреляции

После определения коэффициентов корреляции , и . необходимо проверить их существенность с помощью T-критерия Стьюдента.

Решение:

Величина t-критерия имеет вид

где r – выборочный коэффициент корреляции; n – объем выборки.

Проверим существенность коэффициента корреляции rxy:

0,408<2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю подтверждается с уровнем значимости 5 %. Аналогично .

11,28>2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю опровергается с уровнем значимости 5 %.

Задача 9. Вычисление параметров теоретического уравнения регрессии

С помощью метода наименьших квадратов (МНК) постройте уравнения регрессии Y(X), Z(Y), Z(X). Нанесите линии регрессии на корреляционное поле.

Решение:

Преобразуя полученные уравнения, получаем систему нормальных уравнений МНК для прямой:

Решая систему, получаем оценки неизвестных коэффициентов a и b:

1. Найдем уравнение регрессии Y(x):

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

,

2. Найдем уравнение регрессии Z(x):

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

,

3. Найдем уравнение регрессии Z(y):

Отсюда, линейное уравнение парной регрессии и имеет следующий вид:

Задача 10. Нахождение средней и предельной ошибки выборки

Найдите среднюю и предельную ошибки выборки X, Y, Z. Постройте доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью р = 90 %; 95 %; 99,7 %.

Решение:

Рассчитаем по Х:

Разница между выборочным средним и генеральным средним называется предельной ошибкой выборки:

Составим вспомогательную таблицу:

Табл.16

xi
9..13,8	2	11,4	22,8	259,9
13,8..18,2	1	16,2	16,2	262,4
18,2..23,4	1	21	21	441
23,4..28,2	5	25,8	129	3328,2
28,2..33	1	30,6	30,6	936,36
	10	-	219,6	5227,9

Найдем выборочную среднюю:

Найдем дисперсию:

Определим среднюю ошибку выборки (μ):

где ‑ дисперсия

Коэффициент доверия t определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной доверительной вероятности:

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

1. р = 90 %:

2. р = 95 %:

3. р = 99,7 %:

Рассчитаем по У:

Ход решения такой же, как и при расчетах по Х.

Y:

Табл.17

yi
-83..-72	3	-77,5	-232,5	18018,75
-72..-61	2	-66,5	-133	8844,5
-61..-50	2	-55,5	-111	6160,5
-50..-39	3	-44,5	-133,5	5940,75
Σ	10	-	-610	38964,5

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

1)р = 90 %:

2)р = 95 %:

3)р = 99,7 %:

Рассчитаем по Z:

Ход решения такой же, как и при расчетах по Х.

Z:

Табл.18

zi
-68..-55,75	2	-61,86	-123,72	7653,32
-55,75..-43,5	1	-49,63	-49,63	2463,14
-43,5..-31,25	5	-37,38	-186,9	6986,32
-31,25..-19	2	-25,13	-50,26	1263,03
	10	-	-410,51	18365,81

P(t)	0,683	0,9	0,950	0,954	0,990	0,997
t	1,00	1,64	1,96	2,00	2,58	3,00

1)р = 90 %:

2)р = 95 %:

3)р = 99,7 %: