2. Зчисленні множини та їх властивості

Означ.Множина еквівалентна множині N всіх натуральних чисел наз. зчисленною. Потужність зчисленної множини позначають а. N=а

Прикл.1)А={1,3,5,..,2n-1,..} A⊂N,nєN<->(2n-1)єА

N	1	2	3	…	n	…
А	1	3	5	…	2n-1	…

2)z – цілих чисел

N	1	2	3	…	n
Z	0	1	-1	2

NєZ

Всі цілі числа розташовані у вигляді послідовності за зрозумілим правилом. Послідовність може задаватися по – різному,навіть без задавання загального члена. Якщо (елементи) множ. подано у вигляді послідовності попарно різних елементів,то така множина є зчисленною(послідовність , , ,… …).Не можна вважати означенням зчисленної множини,яке еквівалентне першому.3) А=1, , , Множина зчисленна,оскільки її елементи розташовані у вигляді послідовності А∩N={1}.

Властивості зчисленних множин. Називатимемо незчисленними всі нескінченні множини, які не є зчисленними.

Теорема1: З кожної незакінченої множини М можна виділити зчисленну підмножину А так, щоб множина М|А була нескінченною.Доведення:Вилучимо з множини М два елементи, які назвемо та . З множини М без М|{ , } вилучимо , і т.д. Утворяться 2-і зчисленні підмножини множини М.

А={ , … …}

B={ , … …} Процес вилучення продовжуватимемо нескінченно, оскільки множина М – нескінченна . Отже, 1) вилучено з множини М зчисленну підмножину А. 2) множина М|А містить нескінченну множину В, тому вона є нескінченною. Наслідок:Серед усіх нескінченних множин найменшу потужність має зчисленна множина.

Теорема2: Будь – яка нескінченна підмножина зчисленної множини є зчисленною.Доведення: Нехай множина М – зчисленна, А⊂М і А – нескінченна,тоді А≤М або А≤а. З іншого боку серед нескінченних множин найменшу потужність має скінченна(наслідок),тому а≤А. Отже, а≤А≤а⇒А=а. Отже, множина – зчисленна.

Теорема3: Якщо елементи нескінченної множини М, М={ } визначаються 2 – ма індексами i,k, кожен з яких незалежно від іншого набуває натур.значення, то множина М є зчисленною.

Наслідок1: Об’єднання зчисленної множини зчисленна множина є множиною зчисленною.

Наслідок2: Об’єднання зчисленної і скінченної множини є множина зчисленна.

Наслідок3: Об’єднання зчисленної кількості зчисленних множин є множина зчисленна.

Наслідок4: Об’єднання зчисленної множини скінченних множин, які попарно не перетинаються(не мають спільних елементів) є множина зчисленна.

Теорема4: Множина раціональних чисел Ǫ – зчисленна.

Теорема5: Якщо до нескінченної множини М приєднати скінченну або зчисленну множину А, то одержана множина (М∩А)~М(потужність множини не зміниться).

Теорема6: Якщо з незчисленної множини М вилучити скінченну або зчисленну множину А, то одержана множина (М|А)~М(потужність не зміниться).

Теорема7: Якщо елементи множини М={ } визначаються за доп. n- індексів, кожен з яких незалежно від інших пробігає зчисленну множину значень,то множина М – зчисленна.

Теорема8: Множина всіх многочленів з раціональним коефіцієнтом – є зчисленною.

Теорема9(Кантора): Множина всіх алгебраїчних чисел це множина всіх коренів многочленів з раціональним коефіцієнтом.

У такого многочлена степеня n рівно n коренів, тому множина алгебраїчних чисел є обєднанням зчисленної множини.Тому за наслідком 4:множина алгебраїчних чисел А має потужність не більше ніж а (оскільки множини коренів многочленів можуть перетинатися).Але будь – яке раціональне число є алгебраїчним Ǫ⊂А⇒ Ǫ≤А або а≤А,таким чином А=а.

Наслідок: Множина всіх дійсних алгебраїчних чисел є зчисленною. Доведення: Дійсні алгебраїчні числа є нескінченною підмножиною всіх алгебраїчних (наприклад тому,що включ.в себе рац. – нескінченна множина).Тому за теоремою2:множина дійсних алгебраїчних зчисленна.