2. Форми запису задач лінійного програмування. Перехід від однієї форми запису до іншої, їх еквівалентність.

Форми запису:

1. загальна

max(min)Z=c₁x₁+c₂x₂+….+c_n x_n

2. стандартна

Z =

Або:

Z =

3. канонічна

max(min)Z=c₁x₁+c₂x₂+….+c_n x_n

Для переходу від однієї форми запису до іншої виконуються наступні перетворення:

1. будь-яку задачу на max можна представити у вигляді задачі на min, і навпаки.

2. завжди можна змінити знак нерівності, помноживши обидві частини її на (-1).

3. будь-яку нерівність виду:

можна представити у вигляді рівняння:

, де

А нерівність виду:

можна представити у вигляді:

4. будь-яке рівняння:

можна представити як систему рівнянь

5. якщо деяка змінна може набувати як додатніх, так і від’ємних значень, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних змінних:

, де .

1. Загальна модель лінійного програмування. Цільова функція задачі математичного програмування. Основні і неосновні обмеження. Оптимальні та допустимі розв’язки задачі лінійного програмування.

Лінійне програмування – це розділ математичного програмування, в якому розглядаються задачі, цільова функція яких та обмеження в системі є лінійними.

Модель такої задачі:

max(min)Z=c₁x₁+c₂x₂+….+c_n x_n - цільова функція

- основні обмеження система обмежень

– неосновні обмеження

Допустимий розв’язок - пара чисел Х1 та Х2, які при підстановці в систему обмежень кожну нерівність перетворюють у правильну.

Оптимальний розв’язок – допустимий розв’язок задачі, який дає найбільше або найменше значення цільової функції.

3. Двоїста задача лінійного програмування, правила її побудови. Пошук розв’язку двоїстої задачі.

Задача, до якої поставлено двоїсту – пряма.

Пряма задача з двоїстою – взаємоспряжені.

Двоїста задача будується на основі таких правил:

• якщо пряма задача на max, то двоїста на min; якщо пряма на min, то двоїста на max.

• кількість змінних двоїстої задачі рівна кількості прямих основних обмежень прямої задачі. Кожному основному обмеженню прямої задачі відповідає певна змінна двоїстої задачі.

• кількість основних обмежень двоїстої задачі рівна кількості змінних прямої задачі.

• вільні члени осн. обмеж. прямої задачі (числа, що стоять справа) стають коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі.

• коефіцієнти, що стоять при х1 прямої задачі, стають коефіцієнт. І-ого обмеження двоїстої задачі. Коефіцієн., що стоять при х2 стають К-ми ІІ-ого обмеження.

• К-ти цільової функції прямої задачі є вільними членами в осн. обмеженнях двоїстої задачі.

• якщо двоїста змінна відповідає нерівності прямої задачі, то на неї необхідно накласти умову невід’ємності. Якщо ж вона відповідає рівнянню, то вона може набувати будь-яких значень.

• якщо про змінну х_і сказано, що вона набуває тільки невід’ємних значень, то відповідно їй обмеження двоїстої задачі є нерівністю, в іншому випадку рівнянням.

• якщо задача на max, то всі нерівності повинні бути виду « », якщо на min, то « ».

Для того, щоб розв’язати двоїсту задачу симплексним методом, потрібно ввести додаткові y₄, y₅, y₆, y₇.Поділяють: 1) основні; 2) додаткові.

Основні Додаткові

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇

y₄ y₅ y₆ y₇ y₁ y₂ y₃

Розв’язок двоїстої задачі рівний модулям оцінок, які мають відповідні змінні прямої задачі в останній симплексній табл.

4. Транспортна задача лінійного програмування. Методи побудови опорних розв’язків транспортної задачі.

В транспортних задачах вимагається знайти такий план перевезень(маршрут), при якому були виконані всі зобов’язання стосовно перевезення товару і при цьому сумарні витрати на ці перевезення були б мінімальними.

Особливість їх полягає в тому, що для розв’язку цих задач застосовується «свій метод» розв’язку і можуть бути розв’язані симплексним методом.

Для знаходження опорного розв’язку застосовується 2 методи:

1. Метод Пн.-Зх. кута

Недоліком цього метода є те, що при побудові опорного розв’язку не враховується вартість перевезень, тому знайдений опорний розв’язок може бути «далеким» від оптимального і розв’язок задачі буде довгим.

2. Метод найменшого елемента

5. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

Теорема 1.

Нехай x^_д та y^-_д є деякими допустимими розв’язками двоїстої задачі.

Якщо виконується умова Z(x^_д) = f(y^-_д), то обидва ці розв’язки є оптимальними відповідно прямої та двоїстої задачі.

Теорема 2.

Якщо одна із взаємоспряжених задач має оптимальний розв’язок, то розв’язок має і друга задача. Причому буде виконуватись умова Z(x^_д) = f(y^-_д), де x^_д та y^-_д – є оптимальними розв’язками прямої та двоїстої задач.

Якщо одна із задач має несумісну систему обмежень, то цільова функція в другій задачі є необмеженою.

6. Базисний та опорний розв’язки задачі лінійного програмування. Штучний базис задачі лінійного програмування.

В системі рівнянь, що розв’язується симплексним методом, існує базис.

Базис складається зі змінних, що задовольняє такі умови:

• перед базисною змінною завжди стоїть К +1.

• в одному рівнянні може міститься лише 1 змінна(базисна)

• кількість базисних змінних повинна бути рівна кількості рівнянь

Усі інші змінні в системі – вільні.

Базисний розв’язок – розв’язок, при якому вільним змінним надаються значення 0 і обчислюється чому рівні базисні змінні.

Опорний розв’язок – розв’язок, при якому базисний розв’язок не містить від’ємних чисел.

Якщо в деякому рівнянні задача лінійного програмування відсутня базисна змінна, то тоді вводиться штучна базисна змінна – омега.

В цільовій функції перед штучними базисними змінними омега записують К +М, якщо задача на min, і –М, якщо задача на max, де М – деяке дуже велике число.

7. Задачі цілочисельного програмування та методи їх розвитку.

Прикладом математичної моделі цілочисельної задачі є:

max(min) Z =

, де N – деяка підмножина множини

Якщо N = , то це задача повністю цілочисельного лінійного програмування, у протилежному випадку – задача частково цілочисельного лінійного програмування.

Методи розв’язку:

• Метод Гоморі

Він полягає в послідовному відокремленні від допустимої множини нецілочисельної задачі ЛП – підмножини, які не містять точок із цілими координатами. Таке відокремлення здійснюється введенням у задачу деяких додаткових обмежень.

• Графічний метод.

8. Поняття задачі динамічного програмування. Принцип оптимальності Беллмана

До задач динамічного програмування належать такі, що пов’язані з оптимальним розподілом капіталовкладень, розподілом продукції між різними регіонами, визначенням найкоротшого шляху завезення товарів споживачам, задачі щодо заміни устат­кування, оптимального управління запасами тощо.Поставимо задачу динамічного програмування в загальному вигляді.

Нехай аналізується деякий керований процес, подання якого допускає декомпозицію на послідовні етапи (кроки), кількість яких n задана. Ефективність всього процесу Z може бути подана як сума ефективностей окремих кроків, тобто: ,що має назву адитивного критерію. Для прийняття оптимального рішення на k-му кроці багатокрокового процесу потрібна оптимальність рішень на всіх його попередніх кроках, а сукупність усіх рішень дає оптимальний розв’язок задачі лише в тому разі, коли на кожному кроці приймається оптимальне рішення, що залежить від параметра етапу , визначеного на попередньому кроці.

Цей факт є основою методу динамічного програмування і є сутністю так званого принципу оптимальності Р. Белмана, який формулюється так: Оптимальний розв’язок багатокрокової задачі має ту властивість, що яким би не був стан системи в результаті деякої кількості кроків, необхідно вибирати управління на найближчому кроці так, щоб воно разом з оптимальним управлінням на всіх наступних кроках приводило до максимального виграшу на всіх останніх кроках, включаючи даний.

9. Метод найменших квадратів для побудови економетричних моделей.

Оцінка параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів, що дає змогу проаналізувати залишки і відповісти на запитання: чи не суперечить специфікація моделі передумовам “класичної” моделі лінійної регресії. Oцінювати параметри економетричної моделі з допомогою 1МНК, можна в тому разі, коли:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто М(u) = 0;

2) дисперсія залишків стала, тобто ;

3) пояснювальні змінні моделі не пов’язані із залишками, тобто ;

4) пояснювальні змінні моделі не мультиколінеарні, тобто .

Метод найменших квадратів полягає в тому,що оцінки параметрів моделей β1^ i β2^ повинні бути такими,щоб сума квадратів похибок була якомога найменшою,тобто ∑(Уі-[β0^+β1^Хі ])²→min

Якщо виконуються всі необхідні умови для застосування 1МНК, то оцінки параметрів економетричної моделі мають такі властивості:

1) незміщеності;2) обгрунтованості;3) ефективності;4) інваріантності.

10.Оцінка якості економетричної моделі

Просто побудувати модель є недостатньо.Модель будується з певною метою.При здійснені прогнозу важливо знати яким він є якісним чи ні. Для цього необхідно вказати на якість самої моделі,щоб знати на скільки можна довіряти тим висновкам і результатам,що отримані на основі побудованої моделі.Величини,які характеризують якість моделі:

1)Коефіцієнт детермінації (R²)-статистична величина,яка характеризує адекватність побудованої моделі. R²=1-∑U_i/∑(Y_i-Y)²

Якщо R²→1,то модель якісна, якщо R²→0,то модель неякісна

2)Критерій Фішера(F). F=[ R²/(1- R²) ] *[ n-m/m-1]. При використанні пакету аналізу слід звернути увагу на «Значение F».Це число показує ймовірність того,що знайдене F буде вказувати на те що модель якісна.Якщо «Значение F».<0.05,то це значить,що модель неякісна.

3)Для одно факторної моделі визначають коефіцієнт кореляції r_yx.

11. Здійснення прогнозу на основі економетричної моделі, види прогнозів

Одним з важливих завдань економетричного моделювання — оцінити прогнозне значення залежної змінної за умови, що пояснювальні змінні задані на перспективу.Прогнози поділяються на 1)справжній та несправжній,2)точковий та інтервльний,3)прогноз математичного сподівання та прогноз індивідуального значення прогнозованої величини. На основі економетричної моделі можна отримати точковий та інтервальний прогнози залежної змінної на перспективу.

Точковим називається прогноз регресанта ^Упр., яке знаходять шляхом підстановка значень незалежних змінних (регресорів­,для яких шукають прогноз)в отриману модель.

Інтервальний прогноз-це прогноз,коли задаються довірчі інтервали в межах яких буде знаходитись дійсне значення прогнозу – індивідуального значення – те,чому воно буде рівно,коли подія відбудеться.

Довірчі інтервали для мат.сподівання прогнозу обчислюється за формулою: Упр.-tтаб.^ σ² e <=М(Упр) <=Упр.+ tтаб. ^ σ² e,де Упр.-це точковий прогноз.

Довірчий інтервал індивідуального значення обчислюється за формулою:

Упр.-tтаб.*^ σ² e(і) <=М(Упр) <=Упр.+ tтаб.* ^ σ² e(і), де ^ σ² e(і)= ^ σ² e+^ σ² uі

12.Перевірка коефіцієнтів економетричної моделі на значущість, довірчі інтервали оцінок параметрів моделі .

Довірчі інтервали коефіцієнтів моделі обчислюються за формулою:

^β₀ –tтаб.*^ σ²_β0 <=β₀ <=^β0.+ tтаб .* ^ σ²_β0,

^β₁ –tтаб.*^ σ²_β1<=β₁ <=^β1.+ tтаб .* ^ σ² σ²_β1

^β₂ –tтаб.*^ σ²_β2 <=β₂ <=^β2.+ tтаб .* ^ σ² σ²_β2

tтаб.:(α;n-m)

Довірчі інтервали для економічної моделі знаходяться з наступних причин:

1.регресійна модель будується на основі вибірки, а не на основі генеральної сукупності.Взалежності від того якою є вибірка ми будем отримувати ті чи інші оцінки параметрів моделі,які певною мірою будуть відрізнятись від справжніх значень коефіцієнтів моделі,тому необхідно вказати інтервали,в межах яких будуть лежати справжні значення параметрів моделі.

2.Коефіцієнти економетричних моделей мають певний економічний зміст,який розглядається при аналізі того процесу,який моделюється.Тому з метою отримання адекватних і ефективних висновків необхідно вказувати довірчі інтервали.

Для того , щоб перевірити коефіцієнти на значущість необхідно виконати кроки:

1)Обчислити Т-статистику t_βі =^βі / σ²_βі

2)Порівняти модуль знайдених чисел з tтаб .Якщо t_βі< tтаб , то відповідний коефіцієнт є незначущий,якщо t_βі > tтаб то відповідний коефіцієнт є значущим.

13.Нелінійні економетричні моделі, лінеаризація нелінійних моделей

В економіці існує багато процесів, які описати можна тільки нелінійними моделями. Всі нелінійні моделі модна поділити на 2 класи:1.нелінійні моделі,які є внутрішньо лінійними.2.усі інші моделі. Внутрішньолінійними називаються моделі, які за допомогою певних математичних перетворень можна звести до лінійних.: ^y=^B₀+^B₁/x_i.Лінеаризація нелінійних процесів є досить складною математичною задачею.Зведення нелінійної задачі до лінійної дає змогу отримати симплексним методом розв’язок близький до розв’язку початкової нелінійної задачі. Однак з вище розглянутого прикладу, бачимо, що при побудові наближених лінійних задач можливо отримати надто грубий розв’язок, який непридатний для використання

Основні види внутрішньо лінійних моделей:

1. y = β₀ +^β₁/Х_і

2.У= β₀ +Х ₁^β1*Х₂^β2

3. У= β₀ + β₁х_і+ β₂х_і²

14.Автокореляція залишків. Причини виникнення, наслідки, методи виявлення та усунення

Одним із припущень класичного регресійного аналізу є припущення про незалежність випадкових величин u_і = 1, ..., n, тобто якщо це припущення порушується , то ми маємо справу з явищем, яке називається автокореляцією залишків. Автокореляція залишків виникає найчастіше тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься й кореляція послідовних значень залишків, так звані лагові затримки (запізнювання) в економічних процесах.Може виникати через інерційність і циклічність багатьох економічних процесів. Провокувати автокореляцію також може неправильно специфікована функціональна залежність у регресійних моделях. Виявлення наявності автокореляції, як правило, здійснюється за d-тестом Дарбіна - Уотсона, хоча існують й інші не менш відомі тес-ти: критерій фон Неймана, нециклічний коефіцієнт автокореляції, циклічний коефіцієнт автокореляції. Наслідки: необґрунтовано зростають довірчі інтервали коефіцієнтів моделі та прогнозу, що призводить до неефективності прогнозу і деяких помилок при аналізі моделі. Способи усунення:1)змінити вид функціональної залежності;2)знайти і включити в модель той фактор,який чинить суттєвий вплив на зміну У.3)зробити перерозрахунок моделі на основі нової таблиці статистичних даних.17. Загальна схема побудови та дослідження економетричної моделі

Загальна схема побудови: 1) Дослідження об’єкта чи явища, модель якого буде будуватися, визначення з економічної точки зору факторів, які впливають на досліджуваний об'єкт (визначення, що буде Х, а що буде Х2), побудова моделі долсліджуваного явища; 2) Визначення, які фактори є суб’єктивні а які ні (залишаємо тільки суттєві). Здійснюється збір даних; 3) Перевірка регресорів на наявність мільтиколінеарності, Увипадку присутності необхідно здійснити кроки по її усуненню, з врахуванням мети побудови економ-мат моделі; 4) Оцінка параметрів моделі (побудова моделі); 5) Перевірка моделі на адекватність (якість моделі): коеф детермінації, критерій Фішера (для одно факторної моделі), перевірка параметрів моделі на значущість (t- статистика), визначення довірчих інтервалів; 6) Перевірка моделі на наявність автокореляції (тільки якщо модель побудована на основі динамічних статистичних даних), перевірка на наявність гетероскедатичності. У випадку наявності автокореляції або гетероскедатичності необхідно їх усунути; 7) Економічний аналіз побудованої моделі. Формування пропозицій стосовно удосконалення побудованої моделі; 8) Застосування моделі (прогноз).

15. Гетероскедатичність залишків, причини виникнення, наслідки, методи виявлення та усунення.

При застосуванні метода найменших квадратів для побудови економічної моделі висувають гіпотезу, що дисперсія залишків є величина стала, тобто σ²_ui= const.Таке явище називається гомоскедатичність.

Ц е означає, що точки навколо моделі розміщені в середньому на однаковій відстані від прямої , тобто розсіювання точок вздовж прямої є рівномірним. Якщо ж дисперсія залишків величина не постійна σ²_ui≠ const, таке явище називається гетероскедатичність. При наявності гетероскедастичності оцінки параметрів моделі методом найменших квадратів будуть незміщеними, обгрунтованими, але не ефективними.

Ц е означає, що величина відхилення від прямої (розсіювання) залежить від деякого параметра Х.

Причини виникнення гетероскедатичності: 1)Неправельно ідентифікована модель, а саме не враховано деякий фактор, який має вплив на змінну У; 2)Накопичення похибки вимірювання; 3)Удосконалення методики збору статистичної інформації; 4)Об'єктивні властивості економічних процесів.

Наслідки гетероскедатичності – головним наслідком гетеросккедатичності є необґрунтоване зростання довірчих інтервалів, що призводить до погіршення якості моделі та її ефективності.

Виявлення гетероскедатичності. Для того, щоб визначити чи присутня гетероскедатичність моделі використовують ряд тестів, серед яких найбільш вживаними є:

1)Графічний метод.

Якщо точки розміщені навколо горизонтальної прямої, то гетероскедатичність відсутня. Якщо ж починається спостерігатись залежність Ui² від якогось із значень моделі, то це означає , що в моделі присутня гетероскедатичність.

2) Тест Гольдфельда – Квандта: 1. Проводимо ранжування стат. Ряду по одній із змінних Х. 2.Розбиваємо стат. ряд на дві частини (рівні частини). При необхідності, середина відкидається. Якщо стат. Ряд досить великий (більше 30 ), то бажано незначну частину середину відкинути. 3. Для кожної частини стат. Ряду будуємо модель і знаходимо суму квадратів похибок. ∑ (Ui²)₁; ∑ (Ui²)₂ або використовують σ²_ui .4. Знаходимо F-статистику, поділивши більше число на менше F=. ∑ (Ui²)/ ∑ (Ui²)_2;

5. Порівнюємо отримане число F з табличним, яке залежить від ά,( n₁-m,), (n₂-m). Якщо F› Fтабл , то в моделі присутня гетероскедатичність.

Усунення гетероскедатичності: 1) якщо гетероскедатичність пов’язана з тим, що в моделі не включений фактор, що суттєво впливає на змінну Х, то бажано знайти цей фактор і включити його в модель. 2) В заелжності від того, як сааме змінна Х впливає на дисперсію иохибки σ²_ui здійснюється перетворення моделі, а відповідно базис стат. даних, на основі яких будується медель.

16. Мультиколінеарність регресорів, причини виникнення, наслідки, методи виявлення та усунення.

Нехай задано деяку багатофакторну економетричну модель (для прикладу трьохфакторну). Уі=ẞ₀+ ẞ₁ х_1і+ẞ₂х_2і . Дана модель показує, що регресори Х1,Х2,Х3 впливають на регресант У, проте регресори Х1, Х2,Х3 також між собою взаємопов’язані, тобто один із регресорів впливає на інший регрессор. Таке явище називається мультиколінеарність. Явище мільтиколінеарності полягає в тому, що усі або деякі з незалежних змінних між собою корелюються, тобто є пов'язаними економічно або статистично. Причини виникнення мультиколінеарності: 1) ряд економічних факторів, які по суті не пов'язані між собою мають тенденцію до одночасної зміни з часом; 2) включення в модель двох факторів, які взаємопов’язані між собою з економічної точки зору; 3) мала довжина статистичного ряду. Наслідки мультиколінеарності – при наявності мільтиколін. Необґрунтовано , дуже сильно зростають довірчі інтервали, як параметрів моделі, так і прогнозів. При наявності мільтиколінеарності ряд статистичних тестів є неправильними, зокрема перевірити коефіцієнт на значущість неможливо, оскільки t- тест буде вказувати на те, що вони є незначущими. Виявлення мультиколінеарності 1) для двофакторної моделі достатньо знайти коеф. Кореляції між Х1 та Х2, якщо цей коеф. кореляції прямує до 1 або до – 1 (Ч_х1х2 →1), то існує зв’язок між Х1 та Х2, а отже існує мультиколінеарність. Бажано, особливо у випадку коли Ч_х1х2 прямує до 1 або до – 1 обчислити t-статистику.

t= Якщо t>t табл., то коеф. кореляції є значущість, а відповідно існує мільтиколінеарність. Тест Фаррара-Глобера : 1) Нормалізація регресорів (незалежних змінних) Х_хі* = , тобто обчислюємо таблицю нових незалежних змінних

σ² = або ДИСПР

2) Обчислюємо кореляційну матрицю Чkx=X*^{т *.} В матриці Х* відсутній стовпчик з одиницями, ця матриця містить стільки ж стовпчиків, скільки незалежних змінних. 3) Обчислюємо число χ²= , де |Чkx|- визначник кореляційної матриці. Знайденен число порівнюють з табличним, якщо χ² ≥ χ² табл, то мільтиколінеарність присутня, в іншому випадку ні. Зауважимо якщо вказано,що мультиколінеарність відсутня, то наступні кроки алгоритму можна не робити.4) Обчислюємо матрицю С=Ч^-1 хх, що є оберненою до кореляційної; 5) Обчислюємо F- критерій та коефіцієнт детермінації

R² χ = , Fk= ; Сkk- діагональний елемент матриці С= С=Ч^-1 хх, тобто елемент, який має однакові індекси, таких елементів буде стільки, скільки незалежних змінних в моделі. Відповідно ж стількиж буде коефіц. Детермінації та чисел F. Якщо Fk>Fтабл., це означає , що коеф. Детермінації є значущим, і якщо R²→1, то відповідна незалежна змінна є залежною від інших.6) Обчислюємо парний коеф. Кореляції та t-статистику Чху= , tkj= , якщо t>tтабл, то відповідний коеф. Кореляції є значущим, і якщо він прямує до 1 , то існує тісний зв’язок між змінними Xk та Yj.

Усунення мультиколінеарності : 1) Якщо в моделі присутні змінні , які об’єктивно , економічно між собою пов’язані і внаслідок чого виникає мультиколінеарність, то одну із змінних можна усунути із моделі в залежності від мети і завдання побудови моделі або ж вибираємо ту , у якої найбільший коеф. Детермінації. 2) Збільшуємо довжину статистичного ряду (якщо це можливо); 3) Рідж-регресія; 4) замість абсолютних величин взяти прирости, темпи росту, темпи приросту цих величин; 5) Змінити ідентифікацію моделі, тобто включити в модель не окремо 2 змінні, а їх різницю чи відношення, при цьому такі різниці або відношення повинні мати економічний зміст.